5.5.14. Demostrar que la sucesión: parte fraccionaria de ( )n no está

5.5.14. Demostrar que la sucesión: parte fraccionaria de
está uniformememnte distribuida.
√ n
1+ 5
2
no
Solución: En primer lugar, recordemos de nuestro curso de Matemática
Discreta que se cumplı́a la siguiente identidad (Fn = “n-ésimo número de Fibonacci”):
√ !n
√ !n
1+ 5
1− 5
1
1
−√
Fn = √
2
2
5
5
Para los olvidadizos, veamos una prueba rápida:
√
√
Denotemos, para mayor limpieza, φ = 1+2 5 y φ̃ = 1−2 5 . Nótese que tanto
φ como φ̃ son soluciones de la ecuación x2 = x + 1. Luego, multiplicando
recursivamente (serı́a análogo para φ̃), tenemos:
φ2 = φ + 1
φ = φ(φ + 1) = φ2 + φ = 2φ + 1
φ4 = φ(2φ + 1) = 2φ2 + φ = 3φ + 2
..
.
3
φn = Fn φ + Fn−1 ,
(1)
φ̃n = Fn φ̃ + Fn−1
Luego, restando ambas igualdades y despejando Fn , tenemos:
Fn =
φn − φ̃n
1
1
φn − φ̃n
= √
= √ φn − √ φ̃n
5
5
5
φ − φ̃
Vamos con la prueba del ejercicio. Para empezar, nótese que por la
igualdad probada anteriormente, y por (1), tenemos que
1
1
1
1
hφn i = hFn φi = h √ φn+1 − √ φ̃n+1 + √ φ̃n+1 − √ φ̃n φi =
5
5
5
5
1
= hFn+1 + √ φ̃n (φ̃ − φ)i = hFn+1 − φ̃n i = h−φ̃n i
5
y como resulta que
sigue
grande,
< 1, se
|φ̃|
que para cierto N suficientemente
1
9
n
n
n
hφ i = h−φ̃ i ∈ 0, 10 ∪ 10 , 1 si n ≥ N ; y por consiguiente hφ i no puede
tener distribución uniforme en [0, 1).
Problema escrito por Miguel Monsalve