Apuntes de J. Lorente 3.3 5 Las fórmulas de diferenciación regresiva (BDF) Aquı́ usamos una técnica de interpolación, no sobre f (x, y), sino sobre la solución y(x) del P.V.I.; es decir, supongamos que Qn,k (x) es el interpolante de y(x) en los nodos {xn , . . . , xn+k }; entonces, podemos escribir: k X −t j Qn,k (x) = (−1) ∇j yn+k j j=0 donde t = x−xn+k . h Por lo tanto, tomando la aproximación: y 0 (xn+k ) ' 1 dQ dQ |x=xn+k = |t=0 dx h dt el método asociado a esta aproximación serı́a: k X 1 dQ 1 j |t=0 = fn+k ó ∇ yn+k = hfn+k h dt j j=1 (3.14) Un método de la forma (3.14) es conocido como FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN REGRESIVA (ó, en inglés, B.D.F.) y es IMPLÍCITO. Por ejemplo, • Si k = 1, se tiene: ∇yn+1 = hfn+1 ; es decir, yn+1 − yn = hfn+1 que es el método de Euler implı́cito. • Si k = 2, se tiene: ∇yn+2 + 12 ∇2 yn+2 = hfn+2 ; es decir, 4 1 2 yn+2 − yn+1 + yn = hfn+2 3 3 3 3.4 Métodos predictor-corrector. Dado un MML implı́cito, yn+k − k−1 X αj yn+j = h j=0 k X βj fn+j (3.15) j=0 éste es aplicable bajo condiciones de existencia de solución de la ecuación no lineal; es decir, h < 1 . |βk |L Para obtener el valor de yn+k podemos proceder de dos formas diferentes: • Bajo criterios de convergencia de la sucesión: (m) yn+k − k−1 X αj yn+j = h j=0 k−1 X (m−1) βj fn+j + hβk f (xn+k , yn+k ) m = 1, 2, . . . j=0 (0) y valor inicial yn+k cualquiera. (0) • Partir de un valor inicial yn+k obtenido mediante un método explı́cito adecuado (predicción) y, a continuación, aplicar el implı́cito un número pequeño de veces (correcciones) 6 Métodos de un paso. La segunda opción es lo que se conoce globalmente como MML predición(P)-corrección(C). Ası́, un MML predicción-corrección de k-pasos tiene el aspecto (básico) siguiente: P : C m : (0) yn+k (ν) yn+k = = k−1 X αj∗ yn+j k−1 X +h j=0 j=0 k−1 X k−1 X αj yn+j + h j=0 βj∗ fn+j (3.16) (ν−1) βj fn+j + hβk f (xn+kj , yn+k ) (3.17) j=0 ν = 1, . . . , m (0) donde por C m queremos indicar que hacemos m correcciones desde el valor inicial yn+k . Ahora bien, la aplicación práctica del método tiene dos posibles finalizaciones en cada etapa: (m) (m) • tras la última corrección (ν = m) se realiza la evaluación de fn+k = f (xn+k , yn+k ) (m) • no se utiliza el valor fn+k Para distinguir ambas opciones notaremos al MML como P (EC)m E para el primer caso y P (EC)m (j) para el segundo donde por E entenderemos evaluación de f (xn+k , yn+k ). Ası́, una forma más precisa de descripción del MML P-C es: P : (EC)m : (m) k−1 X j=0 j=0 k−1 X (m) k−1 X (0) k−1 X (ν) yn+k = yn+k = αj∗ yn+j + h αj yn+j + h j=0 (m−s) βj∗ fn+j (m−s) βj fn+j (3.18) (ν−1) + hβk f (xn+kj , yn+k ) (3.19) j=0 ν = 1, . . . , m E: calcular (m) f (xn+kj , yn+k ) (3.20) (ν−1) Observe que cada pareja (EC) indica la evaluación de f (xn+k , yn+k ) y la corrección según (3.19). Por lo tanto, si el método es del tipo P (EC)m E aplicamos (3.18) con s = 0, (3.19) y (3.20); pero, si el método es P (EC)m , aplicamos (3.18) con s = 1 y (3.19). Ejemplo: Método de Adams-Bashforth-Moulton de orden 5. Combinando un MML AB (predicción) de 5 pasos con uno de AM de 4 pasos (corrección) se tiene el MML PC ABM siguiente: h (1901fn+4 − 2774fn+3 + 2616fn+2 − 1274fn+1 + 251fn ) 720 h = yn+4 + (251fn+5 + 646fn+4 − 264fn+3 + 106fn+2 + 19fn+1 ) 720 P := yn+5 = yn+4 + C := yn+5