TEMA 3: INFERENCIA ESTADISTICA

ESTADÍSTICA, CURSO 2008–2009
1
TEMA 3: INFERENCIA ESTADISTICA
1
INTRODUCCION
• Población.
• Muestra, muestreo.
• Objetivos de la inferencia estadı́stica.
• Métodos paramétricos y no paramétricos.
2
TEORIA ELEMENTAL DEL MUESTREO
2.1
CONCEPTOS BASICOS
• Muestreo aleatorio.
• Muestreo con y sin reemplazamiento.
• Parámetros poblacionales.
• Distribución de probabilidad conjunta:
P (X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xn = xn ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 )f (x2 ) . . . f (xn )
• Estadı́stico.
• Distribución muestral de un estadı́stico.
2.2
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
X=
X1 + X2 + . . . + Xn
n
;
x=
x1 + x2 + . . . + xn
n
E(Xi ) = µXi = µ
E(X) = E
X1 + X2 + . . . + Xn
n
=
⇒
1
1
(E(X1 ) + E(X2 ) + . . . + E(Xn )) = (nµ)
n
n
µX = E(X) = µ
2
Var(Xi ) = σX
= σ2
i
Var(X) = Var
X1 + X2 + . . . + Xn
n
=
1
1
1
Var(X1 ) + 2 Var(X2 ) + . . . + 2 Var(Xn ) =
n2
n
n
ESTADÍSTICA, CURSO 2008–2009
=n
1 2
σ
n2
2
σ2
2
σX
= E (X − µ)2 = Var(X) =
n
⇒
Muestreo sin reemplazamiento:
2
σX
σ2
= Var(X) =
n
N −n
N −1
Para una distribución cualquiera la variable tipificada:
Z=
X −µ
√
σ/ n
tiende N (0, 1) cuando n tiende a ∞.
Pn
Y − i=1 µi
nX − nµ
X −µ
√
= √
=
Z = pPn
2
2
σ/ n
nσ
i=1 σi
√
Si la población es N (µ, σ) la media muestral es N (µ, σ/ n), con independencia de n.
2.3
DISTRIBUCION MUESTRAL DE UNA PROPORCION
µP = E(P ) = µ = p
σ2
=
n
σP2
2.4
;
σP2 = Var(P ) =
N −n
N −1
pq
=
n
σ2
pq
p(1 − p)
=
=
n
n
n
N −n
N −1
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS
Dadas dos poblaciones cualesquiera caracterizadas por (µ1 , σ1 ) y (µ2 , σ2 )
µX1 −X2 = µX1 − µX2 = µ1 − µ2
2
σX
1 −X2
2
2
= σX
+ σX
=
1
2
σ12
σ2
+ 2
n1
n2
La variable tipificada:
Z=
(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
q 2
σ1
σ22
n1 + n2
tiende a N (0, 1) cuando n1 y n2 tienden a ∞.
En la práctica, se utiliza esta aproximación cuando n1 + n2 > 30 y n1 ' n2 .
Distribución muestral de la diferencia de proporciones:
µP1 −P2 = µP1 − µP2 = p1 − p2
σP2
1 −P2
= σP2 + σP2 =
1
2
p1 q1
p2 q2
+
n1
n2
ESTADÍSTICA, CURSO 2008–2009
2.5
3
VARIANZA MUESTRAL
S2 =
Pn
− X)2
n−1
i=1 (Xi
s2 =
;
Pn
− x)2
n−1
i=1 (xi
E(S 2 ) = µS 2 = σ 2
Demostración:
n
n
n
n
X
X
X
2 X
(Xi − X)2 =
(Xi − µ)2 − 2(X − µ)
(Xi − µ) + n(X − µ)2
(Xi − µ) − (X − µ) =
i=1
i=1
i=1
=
i=1
n
n
X
X
(Xi − µ)2 − n(X − µ)2
(Xi − µ)2 − 2(X − µ)n(X − µ) + n(X − µ)2 =
i=1
i=1
2
Pn
E(S ) = E
1
E(S ) =
n−1
2
− X)2
n−1
i=1 (Xi
n
X
!
2
σX
i
−
2
nσX
n
X
1
=
n−1
=
i=1
!
E (Xi − µ)
2
− nE (X − µ)
2
i=1
1
n−1
σ2
1
(n − 1)σ 2 = σ 2
nσ 2 − n
=
n
n−1
Definición alternativa:
S
02
Pn
i=1 (Xi
=
− X)2
n
2
E(S 0 ) =
n−1 2
σ
n
Muestreo sin reemplazamiento:
2
E(S ) = µS 2 =
2.5.1
N
N −1
σ2
Distribución muestral de (n − 1)S 2 /σ 2
S2
(n − 1) 2 =
σ
n
X
(Xi − µ)2 =
n
X
Pn
i=1 (Xi
σ2
− X)2
(Xi − X)2 + n(X − µ)2
i=1
i=1
2
n X
Xi − µ
(n − 1)S 2
=
+
σ2
i=1
σ
X −µ
√
σ/ n
2
(χ2n = χ2n−1 + χ21 )
Entonces, la siguiente variable aleatoria obedece a una distribución χ2 con (n − 1) grados de libertad:
χ2n−1 = (n − 1)
S2
σ2
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2.6
4
EL ESTADISTICO t
t=
t=
X −µ
√
S/ n
√
(X − µ)/σ
(X − µ)/(σ/ n)
Z
√ =
p
=q
(S/σ)/ n
2
S 2 /σ 2
χn−1 /(n − 1)
El estadı́stico t sigue una distribución t de Student con (n − 1) grados de libertad.
2.7
DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA RAZON DE VARIANZAS
F =
χ2n1 −1 = (n1 − 1)
S12
σ12
F =
S12 /σ12
S22 /σ22
χ2n2 −1 = (n2 − 1)
;
S22
σ22
χ2n1 −1 /(n1 − 1)
χ2n2 −1 /(n2 − 1)
El estadı́stico F tiene una distribución F de Fisher con (n1 − 1) y (n2 − 1) grados de libertad.
3
ESTIMACION DE PARAMETROS
• Estimación de parámetros poblacionales.
• Estimador
• Propiedades de un estimador A de un parámetro poblacional α:
1. Insesgado:
E(A) = µA = α
2. A1 más eficiente que A2 :
2
2
σA
< σA
1
2
3. Consistente
lim A = α
n→∞
• Estimación puntual y por intervalos de confianza.
;
2
lim σA
=0
n→∞
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3.1
3.1.1
5
ESTIMACION PUNTUAL
Principales estimadores puntuales
• Población N (µ, σ). Estimadores puntuales de µ y σ 2 son la media X y la varianza muestral S 2
respectivamente. Insesgados pues:
E(X) = µ
E(S 2 ) = σ 2
;
• Distribución binomial de parámetro p. Estimador: proporción de éxitos P . Insesgado pues:
E(P ) = p
• Distribución de Poisson con parámetro λ. Estimador:
Pn
λ=
3.1.2
i=1
Xi
n
El método de máxima verosimilitud
Función de verosimilitud:
L(X1 , X2 , . . . , Xn ; α) = f (X1 , X2 , . . . , Xn ; α) = f (X1 , α)f (X2 , α) . . . f (Xn , α)
El estimador de máxima verosimilitud es el valor de α que hace máxima L:
1 dL
d ln L
=
=0
dα
L dα
• Distribución binomial:
f (x, p) = px (1 − p)1−x =
L=
n
Y
1−p
p
;
;
x=0
x=1
f (xi , p) = pf (1 − p)n−f
i=1
ln L = f ln p + (n − f ) ln (1 − p)
d ln L
f
n−f
= −
=0
dp
p
1−p
p(n − f ) = f − f p
⇒
p(n − f + f ) = f
• Distribución normal N (µ, σ):
L=
n
Y
(xi −µ)2
1
√ e− 2σ2
σ 2π
i=1
⇒
p=
f
n
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ln L =
n X
i=1
6
√
(xi − µ)2
− ln 2π − ln σ −
2σ 2
=−
n
n
1 X
ln 2π − ln σ 2 − 2
(xi − µ)2
2
2
2σ
∂ ln L
1 X
(xi − µ) = 0
= − 22
∂µ
2σ
X
(xi − µ) = 0
⇒
X
⇒
Pn
xi − nµ = 0
⇒
µ=
i=1
xi
n
n 1
1 X
∂ ln L
=
−
+
(xi − µ)2 = 0
∂σ 2
2 σ2
2σ 4
2
nσ =
3.2
X
(xi − µ)
2
⇒
2
σ =
Pn
i=1 (xi
− µ)2
n
ESTIMACION POR INTERVALOS DE CONFIANZA
• Intervalo de confianza.
• Estimador por intervalo:
L1 = f1 (X1 , X2 , . . . , Xn )
;
L2 = f2 (X1 , X2 , . . . , Xn )
• Nivel de confianza 1 − α (β = parámetro poblacional):
P (L1 < β < L2 ) = 1 − α
Sea un estadı́stico B con distribución muestral normal:


 P (µB − σB < B < µB + σB ) = 0.6827
 P (B − σB < µB < B + σB ) = 0.6827
P (µB − 2σB < B < µB + 2σB ) = 0.9544 ⇒
P (B − 2σB < µB < B + 2σB ) = 0.9544


P (µB − 3σB < B < µB + 3σB ) = 0.9973
P (B − 3σB < µB < B + 3σB ) = 0.9973
P (B − 1.96σB < µB < B + 1.96σB ) = 0.95
P (B − 2.58σB < µB < B + 2.58σB ) = 0.99
P (B − zα/2 σB < µB < B + zα/2 σB ) = 1 − α
3.2.1
Intervalos de confianza para la media
A) Distribución normal:
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7
• Varianza poblacional σ 2 conocida:
P (X − zα/2 σX < µX < X + zα/2 σX ) = 1 − α
P
⇒
σ
σ
=1−α
X − zα/2 √ < µ < X + zα/2 √
n
n
P
−zα/2 <
X −µ
√ < zα/2
σ/ n
=1−α
σ
I = X ± zα/2 √
n
Muestreo sin reemplazamiento en población finita:
"
σ
I = X ± zα/2 √
n
r
N −n
N −1
#
• Varianza poblacional σ 2 desconocida y n > 30:
S
S
P X − zα/2 √ < µ < X + zα/2 √
=1−α
n
n
S
I = X ± zα/2 √
n
• Varianza poblacional σ 2 desconocida y n < 30:
X −µ
√ < tα/2,n−1 = 1 − α
P −tα/2,n−1 <
S/ n
P
S
S
X − tα/2,n−1 √ < µ < X + tα/2,n−1 √
n
n
=1−α
S
I = X ± tα/2,n−1 √
n
B) Para muestras grandes de cualquier población:
S
I = X ± zα/2 √
n
• Intervalo de confianza para una proporción (distribución binomial)

P P − zα/2
s
P (1 − P )
< p < P + zα/2
n

I = P ± zα/2
s
s

P (1 − P ) 
=1−α
n

P (1 − P ) 
n
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8
• Intervalo de confianza para el parámetro λ de una distribución de Poisson

s
λ
< λ < λ + zα/2
n
P λ − zα/2
s 
λ
=1−α
n

s 
λ
I = λ ± zα/2
n
3.2.2
Intervalos de confianza para la diferencia de medias
A) Poblaciones normales:
• Varianzas poblacionales σ12 y σ22 conocidas:

s
P (X1 − X2 ) − zα/2
σ12
σ2
+ 2 < µ1 − µ2 < (X1 − X2 ) + zα/2
n1
n2

s
I = (X1 − X2 ) ± zα/2
s

σ12
σ22 
+
=1−α
n1
n2

σ12
σ22 
+
n1
n2
• Varianzas poblacionales σ12 y σ22 desconocidas y n1 + n2 > 30 (con n1 ' n2 ):

s
P (X1 − X2 ) − zα/2
S12
n1
+
S22
n2
s
< µ1 − µ2 < (X1 − X2 ) + zα/2

s
I = (X1 − X2 ) ± zα/2
S12
n1

+
S22 
n2
=1−α

S12
S22 
+
n1
n2
• Varianzas poblacionales σ12 y σ22 desconocidas con σ1 = σ2 (muestras pequeñas):
Z=
(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
q 2
r =
2
σ1
σ2
+
σ 2 n11 + n12
n1
n2
χ2n1 +n2 −2 =
(n1 − 1)S12
(n2 − 1)S22
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
+
=
2
2
σ
σ
σ2
(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
r T =
σ 2 n11 + n12
,s
Sp2 =
(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
q
=
σ 2 (n1 + n2 − 2)
Sp n11 + n12
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
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9


(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
q
<
< tα/2,n1 +n2 −2  = 1 − α
Sp n11 + n12
P −tα/2,n1 +n2 −2
r
r
1
1
1
1
P (X1 − X2 ) − tα/2 Sp
+
< µ1 − µ2 < (X1 − X2 ) + tα/2 Sp
+
=1−α
n1
n2
n1
n2
r
1
1
I = (X1 − X2 ) ± tα/2,n1 +n2 −2 Sp
+
n1
n2
• Varianzas poblacionales σ12 y σ22 desconocidas con σ1 6= σ2 (muestras pequeñas):
T =
(X1 − X2 ) − (µ1 − µ2 )
q 2
S1
S22
n1 + n2
f=

s
P (X1 − X2 ) − tα/2,f
S12
n1
+
S22
n2
S12
n1
+
(S12 /n1 )2
n1 +1
+
S22
n2
2
(S22 /n2 )2
n2 +1
−2
s
< µ1 − µ2 < (X1 − X2 ) + tα/2,f

s
I = (X1 − X2 ) ± tα/2,f
S12
n1
S12
n1

+
S22 
n2
B) Distribuciones no normales y muestras grandes:

s
I = (X1 − X2 ) ± zα/2
S12
n1

+
S22 
n2
• Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones
σp21 −p2 =
p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 )
+
n1
n2

I = (P1 − P2 ) ± zα/2
s

P1 (1 − P1 ) P2 (1 − P2 ) 
+
n1
n2

+
S22 
n2
=1−α
ESTADÍSTICA, CURSO 2008–2009
3.2.3
10
Intervalo de confianza para la varianza
P
P
(n − 1)S 2
2
χ21−α/2,n−1 <
<
χ
=1−α
α/2,n−1
σ2
χ21−α/2,n−1
(n − 1)S 2
P
χ2α/2,n−1
1
< 2 <
σ
(n − 1)S 2
!
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
< σ2 < 2
2
χα/2,n−1
χ1−α/2,n−1
"
=1−α
⇒
!
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2
I=
,
χ2α/2,n−1 χ21−α/2,n−1
=1−α
#
Desviación tı́pica:
"s
I=
3.2.4
(n − 1)S 2
,
χ2α/2,n−1
s
#
(n − 1)S 2
χ21−α/2,n−1
Intervalo de confianza para la razón de varianzas
P
F1−α/2;n1 −1,n2 −1 <
P
=1−α
S12
1
σ2
S2
1
< 12 < 12
2
S2 Fα/2;n1 −1,n2 −1
σ2
S2 F1−α/2;n1 −1,n2 −1
P
S12 /σ12
< Fα/2;n1 −1,n2 −1
S22 /σ22
S12
1
σ2
S2
< 12 < 12 Fα/2;n2 −1,n1 −1
2
S2 Fα/2;n1 −1,n2 −1
σ2
S2
3.2.5
Determinación del tamaño de la muestra
σ
l = 2zα/2 √
n
P (X − < µ < X + ) = 1 − α
σ
= zα/2 √
n
⇒
2
n = zα/2
σ2
2
=1−α
1
S2
S12
, 12 Fα/2;n2 −1,n1 −1
I=
2
S2 Fα/2;n1 −1,n2 −1 S2
=1−α