MEDIDAS DE POSICIÓN. Las medidas de posición se usan para describir la posición que tiene un dato específico en relación con el resto de los datos. Dos de estas medidas de posición más conocidas son los cuartiles y los percentiles. Cuartiles. Son los valores de una variable que dividen en cuartos a los datos ordenados; Cada conjunto de datos posee tres cuartiles. El primer cuartil, Q1, es el número tal que cuando mucho el 25% de los datos es menor que el valor de Q1. El segundo cuartil es la mediana. El tercer cuartil, Q3, es un número tal que cuando mucho el 75% de los datos es menor que Q3. Esto se muestra en el siguiente esquema: 25% 25% Min Q1 25% Q2 25% Q3 Max n Percentiles. Son los valores de una variable que dividen al conjunto de datos ordenados en 100 subconjuntos; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles. El k-esimo percentil, Pk, es un valor tal que cuando mucho (100-k) % de los datos es mayor. Esto se muestra en el siguiente esquema: 1 % Min 1 % P1 1 % P2 1 % P3 P4 1 % P5 1 % P6 1 % P7 Así hasta P97 1 % P98 1 % P99 1 % Max Observaciones. El primer cuartil y el 25avo percentil son iguales; es decir, Q1=P25. También, Q3=P75. La mediana, el segundo cuartil Q2, y el 50avo percentil son iguales, Mediana = Q 2 = P50 , así cuando se pida encontrar Q2 o P50, aplique el procedimiento para encontrar la mediana. CUARTILES Y PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS. El procedimiento para determinar el valor de los cuartiles es el mismo que para los percentiles y se muestran a continuación: Paso 1. Ordenar los datos del menor al mayor. nk , donde n es el tamaño de la muestra y k la medida de posición 100 buscada (cuartil o percentil). Paso 2. Calcular Paso 3. a) Si el resultado del cálculo anterior ( nk ) es un número entero, se le deberá sumar 0.5 100 nk ) 100 tomar como el siguiente entero más grande. b) Si el resultado del cálculo anterior ( no es un número entero, este se deberá Paso 4. Con la posición encontrada en el paso anterior, remitirse a los datos ordenados y verificar a que valor de nuestros datos le corresponde la posición buscada. Ejemplo resuelto. Los siguientes datos corresponden al número de autos que llegan a diario al taller de la empresa Dodge para su reparación, durante los meses de marzo y abril (40 días), de lunes a viernes. Determinar: a) Primer cuartil Q1 b) Tercer cuartil Q3 c) El 45 percentil. 10 14 15 15 11 17 25 20 20 19 10 19 24 22 20 11 17 21 14 10 12 22 24 25 19 11 10 15 18 17 22 24 21 20 16 18 18 19 13 12 Paso 1. Ordenar los datos de menor a mayor. 10 12 17 19 22 10 13 17 19 22 10 14 17 20 22 10 14 18 20 24 11 15 18 20 24 11 15 18 20 24 11 15 19 21 25 12 16 19 21 25 Para el primer cuartil Q1. Paso 2 . n= 40 datos, k=25, ya que Q1= P25 (primer cuartil es igual al 25 percentil) Q1= nk 100 Q1= 40( 25) 1000 = = 10 100 100 nk = 10, el 10 es un número entero, por lo que se deberá de agregar 0.5, 100 entonces el Q1 se encuentra en la posición 10.5, entonces está entre 10 y 11avo dato. Paso 3. Como Paso 4. Q1 en este caso está entre 13 y 14 autos, Q1= 13 + 14 27 = = 13.5 2 2 Q1=13.5 autos. Para el tercer cuartil Q3. Paso 2. n= 40 datos, k=75, ya que Q3= P75 (tercer cuartil es igual al 75 percentil) Q3= nk 100 Q3= 40(75) 3000 = = 30 100 100 nk = 30, el 30 es un número entero se deberá de agregar 0.5, por lo que Q3 100 se encuentra en la posición 30.5 Paso 3. Como Paso 4. Entonces Q3 está entre 30 y 31avo dato, Q3 está en este caso entre 20 y 21autos, 20 + 21 41 Q3= = = 20.5 Q3=20.5 autos. 2 2 Para el 45 percentil P45. Paso 2. n= 40 datos, k=45 P45= nk 100 P45= 40( 45) 1800 = = 18 100 100 nk = 18, el 18 es un número entero se deberá de agregar 0.5, por lo que 100 P45 se encuentra en la posición 18.5, entonces está entre 18 y 19avo dato. Paso 3. Como Paso 4. P45 en este caso está entre 17 y 17 autos, P45= 17 + 17 34 = = 17.5 2 2 P45=17.5 autos. CUARTILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS. Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencia, los cuartiles y los percentiles se determinan de la siguiente manera: El primer cuartil es aquel que divide al 25% de los elementos del 75% de los valores restantes, en una muestra o población y se calcula utilizando, la siguiente expresión: n − Fa 4 (Ac) Q1 = L ri + f Donde: Q1=Primer cuartil. Lri=Límite real inferior de la clase que contiene el primer cuartil. n= Tamaño de muestra. Fa= Número acumulado de las observaciones que preceden a la clase que contiene el primer cuartil. f = Frecuencia de la clase que contiene al primer cuartil. Ac= Es el tamaño o amplitud de la clase donde se localiza el primer cuartil. El tercer cuartil, es el valor que separa al 75% del 25% superior de los elementos de una muestra y lo podemos obtener de la siguiente forma: 3n − Fa 4 Q 3 = L ri + (Ac) f Q3= Tercer cuartil. Lri=Límite real inferior de la clase que contiene el tercer cuartil. n= Tamaño de muestra. Fa= Número acumulado de las observaciones que preceden a la clase que contiene el tercer cuartil. f = Frecuencia de la clase que contiene al tercer cuartil. Ac= Es el tamaño o amplitud de la clase donde se localiza el tercer cuartil. La amplitud cuartilica será = Q3 - Q1 De manera semejante, 99 percentiles dividen a una distribución en 100 partes iguales. La amplitud percentilica es por lo general la distancia entre percentil 10 y el percentil 90. Los percentiles se calculan de manera semejante a los cuartiles, Utilizando las siguientes expresiones: 10n − Fa 100 10°Percentil = L ri + (Ac) f 90n − Fa 100 90°Percentil = L ri + (Ac) f Ejemplo resuelto. Si los datos del ejercicio anterior se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, hallar el primer cuartil (Q1), el tercer cuartil (Q3) y el 45 percentil (P45) Tabla de distribución de frecuencias Clase N° 1 2 3 4 5 6 Límites de clase Li Ls 9 11 12 14 15 17 18 20 21 23 24 26 Límites reales de clase Lri Lrs 8.5 11.5 11.5 14.5 14.5 17.5 17.5 20.5 20.5 23.5 23.5 26.5 Frecuencia Frecuencia relativa fi fri 7 0.175 5 0.125 7 0.175 11 0.275 5 0.125 5 0.125 40 marca de clase mi 10 13 16 19 22 25 frecuencia frecuencia relativa acumulada acumulada fai frai 7 0.175 12 0.3 19 0.475 30 0.75 35 0.875 40 1 Primer cuartil. Como n 40 = = 10 en el decimo dato esta el primer cuartil, el cual corresponde a la clase 2. 4 4 n − Fa 4 Q1 = L ri + (Ac) f 40 −7 Q1 = 11.5 + 4 (3) 5 10 − 7 (3) 5 9 Q1 = 11.5 + 5 Q1 = 11.5 + 1.8 = 13.3 Q1 = 11.5 + Por lo tanto el cuartil Q1 es 13.3 autos. Tercer cuartil (Q3). 3n 3(40) 120 = = = 30 4 4 4 clase 4. Como en el 30avo dato esta el tercer cuartil, el cual corresponde a la 3n − Fa 4 Q 3 = L ri + (Ac) f 3(40) − 19 4 Q 3 = 17.5 + (3) 11 30 − 19 (3) 11 11 Q 3 = 17.5 + (3) 11 Q 3 = 17.5 + (3) Q 3 = 17.5 + Q3 es de 20.5 autos. Percentil 45 P45 Como 45(40) 1800 = = 18 , en el 18avo dato esta el P45, el cual corresponde a la clase a la 100 100 clase 3. 45n − Fa 100 45°Percentil = L ri + (Ac) f 45(40) − 12 100 45°Percentil = 14.5 + (3) 7 45°Percentil = 14.5 + 18 − 12 (3) 7 6 45°Percentil = 14.5 + (3) 7 45°Percentil = 14.5 + 2.57 = 17.07 45° Percentil es de 17.07 autos.