PROBABILIDAD. 1. Experimento aleatorio. Aquel cuyo resultado no puede predecirse. Lanzar moneda. Tirar dado. Extraer una bola de una bolsa con bolas de colores. Etc. Lo contrario es determinista: Tiempo en recorrer una distancia a una determinada velocidad. Fuerza para levantar un objeto. Etc. 2. Espacio muestral. Es el formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa mediante E. Al lanzar un dado tetraédrico: E={1,2,3,4} Al tirar una moneda: E={C,X} Al extraer una carta de una baraja y mirar el palo: E={O,C,E,B} 3. Suceso. Es cada subconjunto del espacio muestral. Al tirar un dado: par={2,4,6} menor de 3={1,2} 4. Espacio de sucesos. Es el conjunto formado por todos los sucesos, incluido el conjunto vacío y el propio espacio muestral. Se representa por S. El número de elementos del espacio de sucesos de un experimento de espacio muestral con n sucesos, es 2n. Al tirar un dado tetraédrico: S {0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}} Al lanzar una moneda: E={C,X} S={0,{C},{X},{C,X}} 5. Tipos de sucesos. Seguro. Sucede siempre. Es el espacio muestral. Imposible. No sucede nunca. Es el conjunto vacío. Contrario o complementario de un suceso. Es el que sucede cuando no ocurre el __ suceso considerado. En el lanzamiento de un dado: 3 {3,4,5,6} Compatibles. Pueden verificarse simultáneamente. Si no, incompatibles. En el lanzamiento de un dado: <4 y par son compatibles. Son incompatibles <3 y >4 Dependientes. El que se verifique uno influye en que ocurra el otro. Si no, independientes. Todas las extracciones sin devolución son sucesos dependientes. 6. Operaciones con sucesos. Unión. U Es el suceso formado por los elementos que pertenecen a alguno o a los dos sucesos iniciales. A={2,3,4} B={3,4,5,6} AUB={2,3,4,5,6} Intersección. ∩ Es el suceso formado por los elementos que pertenecen a los dos sucesos considerados. A={2,3,4} B={3,4,5,6} A∩B={3,4} Diferencia. A-B es el suceso formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se cumple que A B A B A A B Complementario o contrario. Es el suceso que se verifica cuando no ocurre el __ suceso considerado. Como vimos: 3 {3,4,5,6} Leyes de Morgan a. AUB A B el complementario de la unión es la intersección de los complementarios. b. A B A B el complementario de la intersección es la unión de los complementarios. Ejemplo: E={1,2,3,4,5,6} A={1,2,3,4} B={3,4,5} {6}={6} A B A B {1,2,5,6}={1,2,5,6} A B A B 7. Probabilidad casos favorables casos posibles Sólo es válida cuando los casos son equiprobables. 1 Ejemplo: al lanzar un dado: P(6)= 6 3 1 P(<4)= 6 2 b. Definición a posteriori. Ley de los grandes números. La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse alrededor de un número que es su probabilidad. fi P lim lim hi N N N Tiene el inconveniente de tener que efectuar el experimento previamente un número elevado de veces. Ejemplo: en 1000 tiradas de dado hemos obtenido 150 seises. 150 15 3 P(6)= 1000 100 20 a. Definición a priori. Ley de Laplace. P 8. Propiedades. 0 P 1 ya que P(suceso imposible)=0 y P(E)=1 P ( A) 1 P ( A) ya que E=A+ A Ejemplo: en una urna hay 2N, 3 R y 5 A. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola salga R ó A? 2 4 P(R o A)=1-P(N)=1- = 10 5 9. Probabilidad de la unión. a. En sucesos incompatibles: P(AUB)=P(A)+P(B) Ejemplos: al extraer una carta de una baraja, la probabilidad de que sea <6 ó >8: 20 8 28 7 p(<6 U >8)=p(<6)+p(>8)= 40 40 40 10 al lanzar un dado, la probabilidad de que sea <3 ó >5 es: 2 1 3 1 p(<3 U >5)= 6 6 6 2 b. En sucesos compatibles: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B) Ejemplos: Al extraer una carta, la probabilidad de que sea oro o figura: 10 12 3 19 P(oro U figura)=P(oro)+P(figura)-P(oro∩figura)= 40 40 40 40 El caso b incluye al a, siendo entonces P(A∩B)=0 10. Probabilidad de la intersección. a. En sucesos independientes. P(A∩B)=P(A)·P(B) Ejemplos: Al extraer dos cartas, devolviendo la primera, la probabilidad de que la primera sea oro y la segunda figura: 10 12 3 P(oro ∩ figura)=P(oro)·P(figura)= 40 40 40 b. En sucesos dependientes: P(A∩B)=P(A)·P(B/A) siendo P(B/A) la probabilidad de B suponiendo que ha ocurrido previamente el suceso A. Al extraer dos cartas, sin devolución de la primera, la probabilidad de que la primera sea oro y la segunda copa: 10 10 5 P(oro ∩ figura)=P(oro)·P(copa/oro)= 40 39 78 Ejemplo: Al extraer 2 cartas de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea copas? Posibilidades: CX XC CC 10 30 30 10 10 9 23 P 40 39 40 39 40 39 52 30 29 23 Más sencillo por complementario: P=1- C =1 40 39 52 11. Probabilidad condicionada. Despejando de la probabilidad de la intersección P( A B) P(A∩B)=P(A)·P(B/A) tenemos que P ( B / A) P ( A) 1. En una urna hay 7 bolas rojas y 3 blancas. Se extraen dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea roja si la primera fue blanca? 7 P( R / B) 9 2. a. Calcula la probabilidad de obtener par en el lanzamiento de un dado. 3 1 P(par)= 6 2 b. ¿Y si sabemos que la puntuación obtenida ha sido mayor de 3? 2 directamente, aplicando Laplace: P 3 2 P( 3 par ) 6 2 P(>3 ∩ par)=P(>3)·P(par/>3) P( par / 3) 3 3 P( 3) 6 Al tirar dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea 8 si el primero no fue 5? 4 P ( s 8 1º 5 36 2 P(s=8/1º 5 )= 5 15 P (5) 6 P(B) = 30 / 36. Porque de las 36 parejas posibles, 6 tienen 5 en el primer dado. P(A y B) = 4 / 36. Porque sólo se obtiene 8, con las parejas (2,6), (3,5), (4,4) y (6,2) La pareja (5,3) sí suma ocho pero tiene un 5 en el primer dado]. y, usando la fórmula. 3. El 60% de los alumnos estudia y el 55% estudia y aprueba todo. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que estudia apruebe? P(Estudia∩Aprueba)=P(Estudia)·P(Aprueba/Estudia) P ( E A) 0,55 P( A / E ) 0,9166 91,7% P( E ) 0,60 4. En una clase hay 10 chicos y 20 chicas. De los chicos estudian 4 y de las chicas 8. ¿Cuál es la probabilidad de que una chica estudie? O A E 4 8 12 6 12 18 E 10 20 30 8 2 directamente: P(E/A)= 20 5 8 8 2 mediante la fórmula de la probabilidad condicionada: P ( E / A) 30 20 20 5 30 5. En una clase de 30 alumnos hay 20 chicas de las que el 25% estudian. ¿Cuál es la probabilidad de que una chica estudie? 5 P ( E A) 30 5 P ( E / A) 0,25 20 20 P ( A) 30 6. En una clase de 25 alumnos, hay 10 chicos, de los que 6 han aprobado un examen. ¿Cuál es la probabilidad de que un chico apruebe? P(A/O)= 6 P ( A O) 25 6 3 0,6 10 10 5 P (O) 25 7. El 60% de los alumnos de un Instituto son chicas y el 40% chicos. La mitad de los chicos lee el periódico, mientras que sólo el 30% de las chicas la lee. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que un alumno elegido al azar lea la revista. b) Si el alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de forma razonada la probabilidad de que sea chica. L L A 18 42 60 a) O 20 38 P(L)= 38 100 20 62 40 100 42 P ( A L) 100 42 21 b) P ( A / L) 62 62 31 P ( L) 100