29 La ley de Gauss 29.1. El flujo de un campo vectorial

Capítulo 29
29 La ley de Gauss
La ley de Coulomb se puede usar para calcular E para cualquier
distribución discreta o continua de cargas en reposo. Cuando se
presenten casos con alta simetría será más conveneinte utilizar la
ley de Gauss, que facilita los cálculos en casos particulares.
29.1.
El flujo de un campo vectorial
El flujo (Φ) es un apropiedad de cualqueir campo vectorial. Se puede considerar como una medida de la penetración de los vectores
del campo a través de una superficie imaginaria.
La figura 29.1 muestra un campo vectorial y varias superficies
imaginarias dentro del campo, que forma diferentes ángulos con
las superficies, que son fragmentos de planos.
Halliday, Resnick, Krane
1
Fisica II
Capítulo 29
A
A
A
A cos q
A
A
v
A
A
A
A
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 29.1
El concepto de flujo nos da la abstracción que más tarde se utilizará en la ley de Gauss.
|Φ| de un campo de velocidades de un fluido se puede expresar
|Φ| = vA
(29.1)
donde v es la magnitud de la velocidad en la localización de la suHalliday, Resnick, Krane
2
Fisica II
Capítulo 29
perficie. Así, el flujo del campo eléctrico puede considerarse como
una medida del número de líneas de campo que pasan a través de
la superficie.
En la figura 29.1b A cos θ es el área proyectada por la superficie
de área A después de rotarla, de modo que la proyección A cos θ es
perpendicular a las líneas de campo, así que
|Φ| = vA cos θ .
(29.2)
En la figura 29.1c se tiene que Φ = 0.
Como se verá más adelante, la ley de Gauss está relacionada
con las superficies cerradas, por lo que es necesario identificar la
orientación de las superficies (ver Cálculo, Marsden y Tromba,
“Campos vectoriales” y “Integrales de superficie de funciones vecHalliday, Resnick, Krane
3
Fisica II
Capítulo 29
toriales”). En la figura 29.1e se tiene
Φ = Σv · A,
(29.3)
donde v es el vector velocidad en la superficie.
Ejercicio 1. Considere la superficie cerrada de la figura 29.1e que
muestra un volumen encerrado por cinco superficies. Suponiendo
que el campo de velocidades es uniforme, encuentre el flujo total a
través de la superficie cerrada.
Usando la ecuación (29.3) se tiene
Φ = v · A1 + v · A2 + v · A3 + v · A4 + v · A5 .
Observando la figura 29.1e se tiene que Φ = 0.
Halliday, Resnick, Krane
4
Fisica II
Capítulo 29
Cuando el campo vectorial no es uniforme, se puede hacer una
generalización para el cálculo del flujo, de modo que
Z
Φ = v · dA.
(29.4)
29.2.
El flujo del campo eléctrico
Recordando la figura 29.1, y usando E en lugar de v se tiene que
X
ΦE = E · A,
(29.5)
que puede considerarse como una medida del número de líneas que
atraviesan a la superficie.
Halliday, Resnick, Krane
5
Fisica II
Capítulo 29
Considere un campo como el de la figura 29.2. Se divide a la
superficie en pequeños cuadrados de área ∆ A, suficientemente pequeños para que se les pueda considerar como planos.
Figura 29.2
Halliday, Resnick, Krane
6
Fisica II
Capítulo 29
Cada elemento de área se puede representar por ∆A normal
a la superficie y de magnitud ∆ A. ∆A apunta hacia afuera de la
superficie.
Los vectores E y ∆A que caracterizan a cada cuadrado forman
un ángulo θ entre ellos. En la figura 29.2 se puede observar el ángulo entre cada par de vectores E y ∆A.
Como un a definición provisional se tiene
X
ΦE = E · ∆A,
(29.6)
así, en el límite,
ΦE =
I
E · dA.
(29.7)
Esta integral de superficie indica que la superficie en cuestión
se ha dividido en elementos infinitesimales de área dA y que la
Halliday, Resnick, Krane
7
Fisica II
Capítulo 29
cantidad escalar E· dA tiene que evaluarse en cada elemento y sumarlo sobre toda la superficie, que “debe” ser cerrada, según lo
indica el circulo sobre la integral.
Ejercicio 2. La figura 29.3 muestra un cilindro hipotético, cerrado,
de radio R, inmerso en un campo eléctrico uniforme E, con su eje
paraleo al campo. ¿Cuál es φE a través de esta superficie cerrada?
dA
E
b
dA
a
E
E
c
dA
Figura 29.3
Halliday, Resnick, Krane
8
Fisica II
Capítulo 29
El flujo ΦE se puede escribir como la suma de tres términos,
una integral sobre (a) la tapa izquierda del cilindro, (b) la superficie
cilínrica y (c) la tapa derecha. Entonces
I
Z
Z
Z
ΦE = E · dA = E · dA + E · dA + E · dA.
a
b
c
En (a) se tiene θ = 180°, así que E · dA = −E d A, en la pared
cilíndrica se tiene que E ⊥ dA por lo que E · dA = 0 y en la tapa de
la derecha θ = 0°, así que E · dA = E d A, por lo tanto
I
ΦE = E · dA = 0.
Halliday, Resnick, Krane
9
Fisica II
Capítulo 29
29.3.
La ley de Gauss
Dada una distribución de cargas es posible construir una superficie
cerrada que se llamará superficie Gaussiana, que puede encerrar
algunas cargas. La ley de Gauss se relaciona con ΦE a través de la
superficie cerrada y la carga neta q encerrada por la superficie de
modo que
²0 Φ E = q
(29.8)
o
²0
I
E · dA = q.
(29.9)
La ley de Gauss predice Φ = 0, como en el ejercicio 2.
La magnitud del campo eléctrico es proporcional al número de
líneas que atraviesan un elemento de área perpendicular al campo.
Halliday, Resnick, Krane
10
Fisica II
Capítulo 29
La elección de la superficie gaussiana es arbitaria, aunque es
preferible considerar la simetría de la distribución del campo.
Figura 29.4
Halliday, Resnick, Krane
11
Fisica II
Capítulo 29
La figura 29.4 muestra la líneas de fuerza alrededor de un dipolo y se han dibujado cuatro superficies Gaussianas.
Figura 29.5
La ley de Gauss y la ley de Coulomb
Se aplica la ley de Gauss alrededor de una
carga puntual. Primero se analiza la distribución del campo y luego se decide cuál
es la superficie Gaussiana más adecuada,
aprovechando la simetría de la distribución.
En la figura 29.5 se observa que el campo apunta radialmente hacia afuera.
Halliday, Resnick, Krane
12
Fisica II
Capítulo 29
Así, E · dA=E d A, en cada punto de la superficie.
Entonces
I
I
I
²0 E · dA = ²0 E d A = ²0 E d A = q,
es decir
E=
1 q
4π²0 r 2
(29.10)
¡La ley de Coulomb es un caso particular de la de Gauss!
29.4.
Un conductor aislado y cargado
Un exceso de carga puesto sobre un conductor aislado se mueve
completamente hacia la superficie del conductor. Ningun exceso de
carga se encuentra dentro del cuerpo del conductor.
Halliday, Resnick, Krane
13
Fisica II
Capítulo 29
La figura 29.6a muestra la sección transversal de un conductor aislado, con carga neta q. La línea interrumpida representa
a una superficie Gaussiana.
Figura 29.6
Halliday, Resnick, Krane
14
Fisica II
Capítulo 29
Un conductor aislado con una cavidad
La figura 29.6b muestra al mismo conductor pero con una cavidad
en su interior.
Dentro del conductor se tiene E=0. Es posible construir una superficie Gaussiana apenas por debajo de la superficie más externa
del conductor, de modo que el campo sólo existe afuera del conductor.
El campo eléctrico externo
Como en la figura 29.6d se elige una superficie Gaussiana con forma de cilindro recto, con tapas de área A. Las tapas del cilindro
son paralelas a la superficie del conductor. Entonces
I
Z
Z
Z
ΦE = E · dA =
E · dA +
E · dA +
E · dA
tapa ext
Halliday, Resnick, Krane
tapa int
15
pared
Fisica II
Capítulo 29
El flujo total es
ΦE = E A + 0 + 0 = E A.
E se obtiene entonces de
²0 ΦE = q,
y como q(= σ A), entonces
es decir
E=
²0 E A = σ A
σ
.
(29.11)
²0
Si se tiene una lámina conductora, la carga depositada sobre
ella se distribuye uniformememnte en ambas caras de la lámina,
ver la figura 29.7.
Considerando cada cara de la lámina se encuentra que el campo está dado por EL = σ/2²0 en el punto A y por ER = σ/2²0 en el
punto C de la figura. Así que el cmapo total es σ/2²0 + σ/2²0 = σ/²0 .
Halliday, Resnick, Krane
16
Fisica II
Capítulo 29
EL
ER
A
L
+
R
+
+
+
+ B +
+
EL
+ ER
+
+
+
+
C
EL
ER
Figura 29.7
En el punto B se tiene E = 0, como se esperaba, ya que se trata
del interior del conductor.
Ejercicio 3. El campo elécrtico, justo en la superficie de un tambor
de fotocopiadora que está cargado uniformemente, tiene magnitud
E de 2.3×105 N/C. ¿Cuál es la σ en el tambor?
Halliday, Resnick, Krane
17
Fisica II
Capítulo 29
De la ecuacion (29.11) σ = ²0 E = 2.0 µC/m2 .
Ejercicio 4. La magnitud del campo eléctrico promedio presente normalmente en la atmósfera de la Tierra, justo arriba de
su superficie, es de unos 150 N/C, dirigido hacia abajo. ¿Cuál es la
carga neta en la superficie de la Tierra? Suponga que la Tierra es
un conductor.
De la ecuacion (29.11) σ = ²0 E = −1.33 nC/m2 .
La carga total de la Tierra es
q = σ4πR 2 = −680kC
Halliday, Resnick, Krane
18
Fisica II
Capítulo 29
29.5.
Las aplicaciones de la ley de Gauss
Se puede usar la ley de Gauss para calcular E si la hay una alta
simetría en la distribución de cargas.
La línea infinita de carga
La figura 29.8 muestra una sección de una línea infinita de carga con λ = dq/ds constante. Se busca determinar E a una distancia
r de la línea.
Superficie
Gaussiana
l
E
dA
r
h
Halliday, Resnick, Krane
Figura 29.8
19
Fisica II
Capítulo 29
Considerando la carga encerrada por la superficie gaussiana
I
²0 E · dA = q,
es decir,
²0 E(2π rh) = λ h,
o
E=
λ
2π²0 r
.
(29.12)
La ley de Gauss facilita este tipo de cálculo.
La hoja infinita de carga
La figura 29.9 muestra una porción de una hoja de extensión
infinita, delgada, no conductora, con σ constante.
El campo eléctrico en las proximidades de la hoja es uniforme.
La superficie gaussiana más adecuada es un cilindro de área A,
Halliday, Resnick, Krane
20
Fisica II
Capítulo 29
Figura 29.9
por lo que
²0
I
E · dA = q,
²0 (E A + E A) = σ A,
es decir,
donde σ A es la carga encerrada por la superficie, entonces
E=
Halliday, Resnick, Krane
σ
2²0
21
.
(29.13)
Fisica II
Capítulo 29
En realidad no es posible tener hojas infinitas, pero se considera como buena aproximación hacer el cálculo en regiones alejadas
de los bordes de hojas finitas.
El cascarón esférico de carga
La figura 29.10 muestra la sección transversal de un carcarón
esférico de radio R, delgado, cargado uniformemente, con σ constante y carga total q (=4πR 2 σ).
S1
q
Halliday, Resnick, Krane
S2
R
Superficies
Gaussianas
Figura 29.10
22
Fisica II
Capítulo 29
La ley de Gauss permite establecer un par de teoremas relacionados con esta distribución de carga.
; Para puntos externos, un cascarón esférico de carga se comporta
como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la
distribución.
;
Un cascarón esférico de carga no ejerce fuerza electrostática
alguna sobre una partícula cargada colocada en el interior.
Considere una superficie gaussiana S 1 , para el cual r > R, la
ley de Gauss da
²0 E(4π r 2 ) = q,
o
E=
1 q
4π²0 r 2
Halliday, Resnick, Krane
(cascarón esferico, r > R).
23
(29.14)
Fisica II
Capítulo 29
Luego, aplicando la ley de Gauss y usando la superficie gaussiana S 2 ,
E=
1 q
4π²0 r 2
(cascarón esferico, r < R).
(29.15)
El cascarón esférico de carga
La figura 29.11 muestra un distribución esférica de carga.
Halliday, Resnick, Krane
Figura 29.11
24
Fisica II
Capítulo 29
En cualquier punto de la distribución se tiene que ρ depende
sólo de la distancia entre dicho punto y el centro de la distribución.
Esta distribución de carga puede verse como un conjunto de cascarones uno tras otro, de modo que cada cascarón tendrá ρ constante.
Primero se aplica la ley de Gauss usando una superficie esférica de radio r > R, como se ve en la figura 29.11a, entonces
Z
Z
1 dq
E = dE =
4π²0 r 2
es decir
E=
1 q
,
4π²0 r 2
(29.16)
donde q es la carga total encerrada por la superficie gaussiana...
¡cómo si se tratara de una carga puntual!
Halliday, Resnick, Krane
25
Fisica II
Capítulo 29
Ahora se considera una superficie gaussiana esférica de radio
r < R, como en la figura 29.11b, por lo que la ley de Gauss da
²0
I
E · dA = ²0 E(4π r 2 ) = q0 ,
o
E=
1 q0
,
4π²0 r 2
(29.17)
donde q0 es la carga contenida dentro de la superficie gaussiana
(q0 < q)+, pero
4
πr3
q0
= 43
,
3
q
3 πR
Halliday, Resnick, Krane
o
26
q0 = q
³ r ´3
,
R
Fisica II
Capítulo 29
con lo que
E=
1 qr
,
4π²0 R 3
Halliday, Resnick, Krane
(esfera uniforme, r < R).
27
(29.18)
Fisica II