28 El campo eléctrico 28.1. Los campos

Capítulo 28
28 El campo eléctrico
El 25 de agosto de 1989, doce años después de su lanzamiento, la nave espacial
Voyager 2 pasó cerca del planeta Neptuno, a una distancia de 4.4 ×109 km. de la
Tierra. Entre otros descubriminetos, el Voyager reportó la observación de seis lunas
previamente desconocidas de Neptuno y un sistema de anillos.
La clave para entender este tipo de comunicación está en el campo electromagnético. Los electrones que se mueven en los circuitos eléctricos del Voyager establecen
un campo eléctrico y las variaciones de su movimiento causan perturbaciones en el
campo para viajar a la velocidad de la luz. Más de 4 horas más tarde, los electrones en los cricuitos de la Tierra detectan estos cambios en el campo y se mueven en
concordancia con estas.
28.1.
Los campos
En la matemática se estudia a los campos escalares y a los campos vectoriales. Las
distribuciones de temperatura o presión en un recinto son ejemplos de campos escalares que asocian un valor numérico a cada punto en el espacio, en tanto que una
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1
Fisica II
Capítulo 28
distribución de velocidades en un fluído y la aceleración gravitacional son ejemplos
campos vectoriales que asocian un vector a cada punto en el espacio.
Cuando se estudió al campo gravitacional g, se definió como la fuerza gravitacional F por unidad de masa de prueba m 0 , o
F
.
(28.1)
m0
Este es un campo vectorial y es, generalmente, estático cuando la distribución de
masas del cuerpo gravitacional permanece constante. Cerca de la superficie de la
Tierra, y en puntos cercanos entre sí, el campo es uniforme, lo que significa que g
tiene la misma magnitud y dirección en los puntos vecinos.
En el caso gravitacional se tiene que una masa interactúa directamente con otra
g=
masa masa
pero más propiamente la interacción se puede expresar como
masa campo masa
.
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2
Fisica II
Capítulo 28
28.2.
El campo eléctrico E
Haciendo una analogía con la fuerza gravitacional, la fuerza de Coulomb entre las
cargas invita a representar la interacción entre cargas como
carga carga.
Y si de nuevo se tiene a un intermediario, entonces
carga campo carga.
Esto es, la primera carga establece un campo eléctrico y la segunda interactúa con
dicho campo. Así, el problema de determinar la interacción entre las cargas se reduce
a: (1) determinar, mediante mediciones o cálculos, el campo eléctrico establecido por
la primera carga en cada punto del espacio y (2) calcular la fuerza que el cmapo
ejerce sobre la segnuda carga puesta en un punto particular del espacio.
Así, por analogía con el caso gravitacional, y usando una carga de prueba positiva
q 0 en un punto partivcular, se tiene
E=
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F
.
q0
3
(28.2)
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Capítulo 28
La dirección de E es la misma que la de F ya que q 0 > 0. En el SI la unidad de
medida es (N/C).
Figura 28.1
La figura 28.1 ilustra el campo eléctrico que actúa como intermediario en la
interacción entre dos cargas. En la figura 1a, la carga q 1 establece un campo eléctrico
en el espacio que la rodea. El campo actúa sobre la carga q 2 , que resulta en la fuerza
F2 . La figura 1b muestra la situación simétrica.
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4
Fisica II
Capítulo 28
Estrictamente lo correcto es considerar
F
.
q 0 →0 q 0
E = lı́m
(28.3)
Ejercicio 1. Se coloca a un protón dentro de un campo eléctrico uniforme E. ¿Cuál
debe ser la magnitud y dirección de la fuerza electrostática que actúe sobre el protón
para balancear justo su peso?
Solución. De la ecuación (28.2), reemplazando q 0 por e y F por mg, se tiene
E=
F
mg (1.67 × 10−27 kg)(9.8 m/s2 )
= 1.0 × 10−7 N/C
=
=
q0
e
1.60 × 10−19 C
que apunta verticalmente hacia arriba.
28.3.
El campo eléctrico debido a cargas puntuales
Sea q 0 una carga de prueba positiva colocada a una distancia r de una carga puntual
q. La magnitud de la fuerza que experimenta q 0 debida a la presencia de q es
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5
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Capítulo 28
F=
Figura 28.2
1 qq 0
.
4π²0 r 2
La magnitud del campo eléctrico en el sitio en el que se
encuentra q 0 es
E=
F
1 q
=
.
q 0 4π²0 r 2
(28.4)
La figura 28.2 muestra la magnitud y dirección de E en varios puntos alrededor
de una carga puntual.
Cuando se tienen N cargas puntuales se aplica el principio de superposición
para calcular el campo eléctrico en un punto dado (diferente de la localización de las
cargas puntuales), de modo que E en el punto de interés es
E = E1 + E2 + E3 + . . . =
N
X
Ei .
(28.5)
i =1
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6
Fisica II
Capítulo 28
Ejercicio 2. En un átomo de helio ionizado (un átomo de helio en el que se ha
eliminado a uno de sus dos electrones), el electrón y el núcleo están separados por una
distancia de 26.5 pm. ¿Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la localización
del electrón?
Solución. De la ecuación (28.4), con q 0 (la carga total del núcleo) igual a +2e :
E=
2´
1 q ³
2(1.60 × 10−9 C)
9N·m
=
8.99)
×
10
= 4.086 × 1012 N/C.
4π²0 r 2
C2 (26.5 × 10−12 m)2
Ejercicio 3. La figura 28.3 muestra una carga q 1 =+1.5 µC y una carga q 2 = +2.3
µC. La primera carga está en el origne del eje x y la segunda está en una posición
x = L, donde L = 13 cm. ¿En cuál punto P, a lo largo del eje x el campo eléctrico es
cero?
De la ecuación (28.4) se tiene que
1 q1
1
q2
=
,
2
4π²0 x
4π²0 (L − x)2
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7
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q1
x
q2
E2 P E1
L
x
Figura 28.3
Solución. El punto debe estar entre las posiciones de las
cargas debido a que sólo en esta región las fuerzas ejercidas
por q 1 y q 2 sobre una carga de prueba se oponen mutuamente. Si E1 es el campo eléctrico debido a q 1 y E2 el debido
a q 2 , las magnitudes de estos vectores deben ser iguales, o
E1 = E2.
donde x es la coordenada del punto P. Resolviendo para x
x=
13cm
L
=
= 5.8 cm.
p
p
1 + q 2 /q 1 1 + 2.3µC/1.5µC
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8
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Capítulo 28
El dipolo eléctrico
q
z
q
d
r
x
q
r
P
E
q
x
q
E
q
E
La figura 28.4 muestra una carga positiva y una negativa de la misma magnitud, q, y separadas una
disdtancia d; a esta configuracion se le llama dipolo
eléctrico. Se pretende calcular E en el punto P, a una
distancia x a lo largo del bisector perpendicular de la
línea que pasa a través a las cargas.
Figura 28.4
E = E+ + E− .
E+ = E− =
1 q
1
q
=
,
2
2
4π²0 r
4π²0 x + (d/2)2
(28.6)
es la magnitud del campo.
Haciendo el desarrollo en forma vectorial: las posiciones de las cargas son (0, d/2)
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9
Fisica II
Capítulo 28
para q + , (0, − d/2) para q − y (x, 0) para el punto P. Así que
µ
¶
q
xî − (d/2)ĵ
− qd ĵ
xî + (d/2)ĵ
1
E=
− 2
.
=
2
2
3/2
2
3/2
2
4π²0 [x + (d/2) ]
4π²0 [x + (d/2)2 ]3/2
[x + (d/2) ]
Como puede verse, coincide con el resultado que se muestra en la figura 28.4.
Así, se define a p como el momento dipolar eléctrico:
p = qd.
(28.7)
El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas,
que con frecuencia tienen una carga positiva y una carga negativa de la misma
magnitud, separadas por una distancia definida.
En muchas ocasiones se observa al campo eléctrico de un dipolo desde puntos P
desde una distancia x À d. Usando la expansión binomial
(1 + y)n = 1 + n y +
n(n − 1) 2
y +...,
2!
se puede aproximar
·
µ ¶2 ¸−3/2
·
µ
¶µ ¶2 ¸
1 p
1
1 p
d
1 p
3 d
E=
=
1+
=
1+ −
4π²0 x3 [x2 + (d/2)2 ]3/2 4π²0 x3
2x
4π²0 x3
2 2x
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10
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Capítulo 28
E=
¸
¶µ ¶2
·
µ
3 d
1 p
+
.
.
.
1
+
−
4π²0 x3
2 2x
por lo que
E=
1 p
.
4π²0 x3
(28.8)
0
2
E(x) x1010
6
4
8
La figura 28.5 muestra la magnitud del campo eléctrico como función de la distancia.
1
2
3
4
x x10-10
5
6
Figura 28.5
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11
Fisica II
Capítulo 28
Tal como se esperaba, a medida que crece la distancia entre P y el dipolo ambas
expresiones dan resultados cada vez más parecidos.
Tarea: Complete la Tabla 1 considerando el cálculo del campo eléctrico alrededor de
una carga puntual q = 5µC, localizada en (5, 5)m. Los valores de E x , E y y E
proceden de un factor multiplicativo de 1/8000 para efectos del trazo de los
vectores. Las direcciones están dadas en grados (°).
Tabla 1. El vector campo eléctrico en las proximidades de una carga
puntual q=5 mC, localizada en (5, 5)m.
x
[m]
5.5
5.3
5.0
4.5
4.0
3.3
2.7
2.2
1.9
1.7
1.8
2.2
2.9
Halliday, Resnick, Krane
y
[m]
5.9
6.3
6.6
6.8
6.8
6.7
6.3
5.7
5.0
4.1
3.2
2.2
1.4
Ex
[N/C]
2.1
0.7
0.0
‐0.3
‐0.5
‐0.6
‐0.6
‐0.5
‐0.5
‐0.4
‐0.3
‐0.2
‐0.1
Ey
[N/C]
3.6
2.5
1.8
1.3
0.9
0.6
0.3
0.1
0.0
‐0.1
‐0.2
‐0.2
‐0.2
12
E
[N/C]
4.1
2.6
1.8
1.3
1.0
0.8
0.7
0.5
0.5
0.4
0.3
0.3
0.3
Direccion
°
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
Fisica II
Capítulo 28
28.4.
Las líneas de fuerza
Michael Faraday no apreció el concepto del vector campo eléctrico pues lo consideraba en términos de líneas de fuerza.
1
Las líneas de fuerza indican la dirección del campo eléctrico en cualquier
punto.
2
Las líneas de fuerza se originan en las cargas positivas y teminan en las
negativas.
3 Las líneas de fuerza se trazan de manera que el número de líneas por unidad de sección transversal (perpendicular a las líneas) sea proporcional a la
magnitud del campo eléctrico.
28.5.
El campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga
Aunque la carga eléctrica está cuantizada, una colección de un gran número de
cargas elementales se puede ver como una distribución continua de carga.
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13
Fisica II
Capítulo 28
El campo establecido por una distribución continua de cargas se puede calcular
dividiendo a la distribución en elementos infinitesimales dq. Cada elemento de carga
establece un campo dE en un punto P, y el campo resultante se en P se encuentra
usando el principio de superposicion, de modo que
Z
E = dE.
(28.9)
En coordenadas rectangulares
Z
Z
E x = dE x ,
E y = dE y
Z
y
Ez =
dE z .
Por lo que
1 dq
,
(28.10)
4π²0 r 2
donde r es la distancia entre el elemento de carga dq y el punto P.
Una distribución continua de carga está descrita por su denisdad de carga.
En una distribución lineal, con densidad lineal de carga λ se tiene
dE =
dq = λ ds,
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14
(28.11)
Fisica II
Capítulo 28
Si la distribución de cargas es uniforme entonces λ es constante y si L es la
longitud del objeto
q
dq = ds.
(28.12)
L
Si la carga está distribuida sobre una superficie, con densidad superficial de
carga σ se tiene
dq = σ d A,
(28.13)
Si la distribución de cargas es uniforme entonces σ es constante y si A es el área
superficial del objeto
q
dq = d A.
(28.14)
A
Cuando la carga está distribuida en tres dimensiones, con densidad volumétrica
de carga ρ se tiene
dq = ρ dV ,
(28.15)
Si la distribución de cargas es uniforme entonces ρ es constante y si V es el
volumen del objeto
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15
Fisica II
Capítulo 28
dq =
q
dV .
V
(28.16)
Un anillo de carga
La figura 28.6 muestra un anillo delgado de radio R que porta una densidad lineal
de carga uniforme λ alrededor de su circunferencia.
z
dE cos q
dE
dE
q
q
P
q
r
z
y
R
ds
x
Figura 28.6
¿Cuál es el campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del plano del anillo y
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16
Fisica II
Capítulo 28
a lo largo de su eje central?
Considere un elemento ds del anillo en alguna posición arbitraria del mismo. El
elemento de carga es dq = λ ds, y establece un elemento diferencial de campo dE en
el punto P.
1
λ ds
− xî − yĵ + zk̂
dE =
(28.17)
p
2
2
2
4π²0 x + y + z
x 2 + y2 + z 2
es la contribución al campo.
Considerando un elemento ds del lado diametralmente opuesto (haciendo una
rotación de180° alrededor del eje z), se localizará en (− x, − y, z), así el elemento diferencial del campo eléctrico es
dE =
xî + yĵ + zk̂
1
λ ds
p
2
2
2
4π²0 x + y + z
x 2 + y2 + z 2
Por lo que sumando estas dos contribuciones se tiene
dE =
Halliday, Resnick, Krane
1
λ ds
zk̂
p
4π²0 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
17
(28.18)
Fisica II
Capítulo 28
Este resultado es el mismo para cada pareja de elementos ds que sean diametralmente opuestos, asqí que
µZ
¶
1
zλ ds
E=
k̂
(28.19)
4π²0 (R 2 + z2 )3/2
Entonces,
zλ
E=
4π²0
µZ
ds
¶
(R 2 + z2 )3/2
zλ(2πR)
µ
k̂ =
4π²0 (R 2 + z2 )3/2
¶
k̂.
(28.20)
Pero q = λ(2πR), así que
E=
qz
4π²0 (R 2 + z2 )3/2
k̂.
(28.21)
La magnitud de E en la ecuación (28.21), ¿da la dirección correcta para el campo
cuando z < 0?, y ¿cuando q < 0?
Para puntos z À R se tiene
µ
¶
1 q
E≈
k̂
(z À R).
(28.22)
4π²0 z2
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18
Fisica II
Capítulo 28
¡A grandes distancias la distribución de cargas se parece a una carga puntual!
Un disco de carga
La figura 28.8 muestra un disco circular de plástico de radio R, que porta una
densidad de carga superficial uniforme σ en su superficie superior.
¿Cuál es del campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del disco a lo largo
de su eje?
z
dE
P
z
dw
y
w
R
x
Figura 28.7
Conviene dividir al disco en sectores anulares de radio w y anchura dw, de modo
Halliday, Resnick, Krane
19
Fisica II
Capítulo 28
que su carga es
dq = σ d A = σ(2πw)dw.
(28.23)
Usando el resultado del ejercicio anterior se tiene
µ
dE =
zσ2πw dw
¶
4π²0 (z2 + w2 )3/2
Así
Z
dE =
E=
σz
4² 0
R
µZ
4² 0
σz
µ
k̂ =
0
2
¶
(z2 + w2 )−3/2 (2w)dw k̂.
2 −3/2
(z + w )
¶
(2w)dw k̂.
(28.24)
(disco cargado).
(28.25)
Integrando se obtiene
E=
σ
2² 0
µ
1− p
z
¶
z2 + R 2
k̂
Para R À z se tiene que la magnitud del campo es
E=
Halliday, Resnick, Krane
σ
2² 0
(hoja infinita).
20
(28.26)
Fisica II
Capítulo 28
La línea infinita de carga
La figura 28.8 muestra una sección de una línea infinita de carga con λ constante.
¿Cuál es el campo E a una distancia “y” de la línea de carga?
z
r
z
y
-z
dz
dEz
q
P
q
dE
q
dEy
y
r
dq
x
Figura 28.8
De acuerdo con la figura 28.8, la posición del punto P es (0, y, 0) y la posición de
dq es (0, 0, z) así, la contribución de dq al campo total es
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21
Fisica II
Capítulo 28
1
yĵ + zk̂
λ ds
p
2
2
4π²0 y + z
y2 + z 2
dE =
(28.27)
y considerando un elemento dq en el lado diametralmente opuesto se tiene
dE =
yĵ − zk̂
λ ds
1
p
2
2
4π²0 y + z
y2 + z 2
(28.28)
dE =
λ ds
2yĵ
1
.
p
2
2
4π²0 y + z
y2 + z 2
(28.29)
por lo que la suma da
Por lo que
E=
2π²0
o bien
E=
Halliday, Resnick, Krane
ÃZ
λ
λ
2π²0
z=∞
z=0
µZ
!
dz
ĵ,
p
2
2
y2 + z2 y + z
y
z=∞
z=0
cos θ
22
¶
dz
ĵ.
y2 + z 2
(28.30)
(28.31)
Fisica II
Capítulo 28
De la figura 28.8 se observa que
z = y tan θ .
Derivando se tiene
dz = y sec2 θ d θ .
Así,
E=
λ
θ =π/2
µZ
2π²0
θ =0
por lo que
µ
λ
¶
cosθ d θ ĵ,
¶
ĵ.
(28.32)
2π²0 r
Como puede verse, este resultado corresponde a un sistema de referencia en
coordenadas rectangulares, así que considerando la simetría cilíndrica del problema
se tiene, en coordenadas cilíndricas:
µ
¶
λ
r̂.
(28.33)
E=
2π²0 r
E=
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23
Fisica II
Capítulo 28
28.6.
Una carga puntual dentro de un campo eléctrico
¿Qué sucede cuando se coloca una carga puntual
dentro de un campo eléctrico?
Se sabe que F = qE, así que el movimiento de
la partícula se puede describir con la segunda ley
de Newton. Se considerará que F es constante,
ver la figura 28.9, donde E es uniforme y por ello
constante en la región central entre las placas.
Se omiten los efectos de borde.
y
qE
E
mg
Figura 28.9
Ejercicio 5. Se mantiene en equilibrio a una gota de aceite cargada, de radio
R =2.76µm y densidad ρ =920kg/m3 , bajo la influencia combinada de su peso y un
campo eléctrico que apunta hacia abajo, E =1.65×106 N/C, ver la figura 28.9. (a) Calcule la magnitud y signo de la carga en la gota. Exprese el resultado en términos
de la carga elemental e. (b) La gota se expone a una fuente radiactiva que emite
electrones. Dos electrones se impactan con la gota y esta los captura, cambiando su
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24
Fisica II
Capítulo 28
carga en dos unidades. Si el campo eléctrico mantiene su valor constante, calcule la
aceleración resultante de la gota.
Solución. (a) Para mantener a la gota en equilibrio, mg=qE. La condición de
equilibrio es
ΣF = mg + qE = 0, o bien − mg + q(−E) = 0
así que
q=−
4
πR 3 ρ g
mg
=−3
= −4.8 × 10−19 C.
E
E
Por lo tanto
n=
q
= 3.
−e
(b) Si se añaden dos electrones, entonces
q0 = (n + 2)(− e) = 5(−1.6 × 10−19 C = −8.0 × 10−19 C.
De la segunda ley de Newton
ΣF = mg + q0 E = ma,
Halliday, Resnick, Krane
por lo que
25
a = − g − (q0 E/m) = +6.5 m/s2 .
Fisica II
Capítulo 28
Ejercicio 6. La figura 28.10 muestra el sistema de electrodos para la desviación de
una impresora de inyección de tinta. Una gota de tinta cuya masa m es 1.3×10−10 kg
porta una craga q de −1.5×10−13 C y entra en el sistema de placas para la desviación
con una rapidez v = 18 m/s. La longitud L de las placas es 1.6 cm y la magnitud del
campo eléctrico E entre las placas es 1.4×106 N/C. ¿Cuál es la desviación vertical de
la gota al alcanzar el borde de las placas? Ignore las variaciones del campo eléctrico
en los bordes de las placas.
Input
signals
y
E
Drop
generator
Deflecting
plates
Charging
unit
L
Gutter
m, q
E
x
(a)
(b)
Figura 28.10
Halliday, Resnick, Krane
26
Fisica II
Capítulo 28
Solución. Sea t el tiempo de paso de la gota a través del sistema de desviación.
Los desplazamientos vertical y horizontal están dados por
1
y = at2
2
y
L = vt,
por lo que
y=
28.7.
− qEL2
= 0.64 mm.
2mv2
Un dipolo en un campo eléctrico
La dirección de la fuerza sobre la carga positiva del dipolo tiene dirección opuesta a
la ejercida sobre la carga negativa.
Aquí se define al vector p (= qd) con dirección que parte de − q y termina en q.
La figura 28.11 muestra a un dipolo dentro de un campo eléctrico uniforme, E.
La torca neta alrededor del centro del dipolo tiene magnitud
τ=F
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d
d
sin θ + F sin θ = F d sin θ ,
2
2
27
(28.34)
Fisica II
Capítulo 28
q
d
F
q
p
-F
E
q
t
q
p
(a)
E
(b)
Figura 28.11
con lo que
τ = (qE)d sin θ = (qd)E sin θ = pE sin θ ,
(28.35)
τ = p × E.
(28.36)
o bien
Así, cuando las fuerzas son conservativas
Z
W=
Halliday, Resnick, Krane
Z
dW =
θ
θ0
τ · dθ =
28
Z
θ
θ0
(−τ d θ ) ,
(28.37)
Fisica II
Capítulo 28
por lo que
Z
W=
θ
θ0
− pE sin θ d θ = pE(cos θ − cos θ0 ).
(28.38)
Considerando el teorema del trabajo y la energía
∆U ≡ U(θ ) − U(θ0 ) = −W = − pE(cos θ − cos θ0 ),
(28.39)
y si θ0 = 90°, entonces
U = − pE cos θ ,
(28.40)
U = −p · E.
(28.41)
o bien
Entonces, el mínimo se alcnza cuando p y E son paralelos.
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29
Fisica II