Capítulo 27 27 La carga eléctrica y la ley de Coulomb Muchas de las propiedades de los materiales residen en sus propiedades electromagnéticas. Aquí se inicia con el estudio de la cargá eléctrica, algunas propiedades de los cuerpos cargados y la fuerza eléctrica fundamental de interacción entre dos cuerpos. 27.1. Una revisión del electromagnetismo Desde el año 600 A. C. hasta 1820 lo que se sabía de la electricidad y el magnetismo sólo eran observaciones de los fenómenos naturales. Hans Christian Oersted encontró una conexión entre ambas ciencias: una corriente eléctrica a través de un alambre puede desviar al compás magnético de una brújula. El desarrollo experimental del electromagnetismo fue desarrollado por Michael Faraday (1791–1867) y la matemática por James Clerk Maxwell (1831–1879). Maxwell concluyó que la luz es de naturaleza elecromagnética y que su velocidad se puede deducir sólo de mediciones eléctricas y magnéticas. Por lo que la óptica está íntimamente ligada con el electromagnetismo. Más adelante el electromagnetismo fue desarrollado más ampliamente por: Oliver Heaviside (1850–1925), H. A. Lorentz (1853–1928) y Heinrich Hertz (1857–1894) entre otros. En 1979 Glashow, Weinberg y Salam obtuvieron el Premio Nobel por el desarrollo de la teoría electrodébil Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II Capítulo 27 27.2. La carga eléctrica Los rayos en una tormenta, como en la figura 27.1, son bien conocidos por todos, y son una manifestación de la existencia de la cargas eléctricas. Figura 27.1 La neutralidad eléctrica de los objetos visibles se debe al equilibrio entre el número de cargas eléctricas positivas y negativas. La naturaleza revela los efectos de desequilibrio de cargas con diferentes fenómenos. Cuando hay un desbalance de cargas se dice que un cuerpo está “cargado”. Los cuerpos cargados ejercen fuerzas mutuas de interacción, ver la figura 27.2. El tipo de carga (positiva o negativa) se asigna de manera convencional, de mod que a partir de la figura se puede decir que: Las cargas del mismo signo se repelen y las de distinto signo se atraen. Por ahora sólo se estudiará a la electrostática, es decir a las cargas en reposo. A pesar de que Halliday, Resnick, Krane 2 Fisica II Capítulo 27 Figura 27.2 las fuerzas de interacción entre las cargas pudieran dar lugar al movimiento, se considera que las cargas se encontrarán fijas en todo momento. 27.3. Los conductores y los aislantes Cualquier carga depositada en un conductor fluye con facilidad mas no sucede así en los materiales aislantes. Con el efecto Hall, se demuestra que las cargas que se pueden mover a través de metales son electrones (cargas negativas). Existe un tipo de materiales entre los conductores y los aislantes, conocidos como semiconductores, entre cuyas propiedades se encuentra una de mucha utilidad que consiste en el hecho de que la densidad de los electrones de conducción cambia drásticamente mediante pequeños cambios en las condiciones del material. Halliday, Resnick, Krane 3 Fisica II Capítulo 27 27.4. La ley de Coulomb Charles Augustin Coulomb (1736–1806) encontró experimentalmente que si se tienen dos cargas, q1 q2 F∝ 2 . r donde q 1 y q 2 son las magnitudes de las cargas y r es la distancia que separa sus centros y F es la magnitud de la fuerza de interacción mutua. Así, puede preguntarse: ¿cuál es la fuerza que ejerce q 1 sobre q 2 ?, o bien, ¿cuál es la fuerza que ejerce q 2 sobre q 1 ? Aunque también puede plantearse: ¿cuál es la fuerza que experimenta q 1 debida a la presencia de q 2 ? ¿cuál es la fuerza que experimenta q 2 debida a la presencia de q 1 ? Y para que se cumpla la igualdad q1 q2 F=k 2 . (27.1) r conocida como la ley de Coulomb, que sólo se cumple para objetos puntuales. En el SI la unidad de carga es el coulomb (C), que se define como la cantidad de carga que fluye en 1 segundo cuando se establece una corriente de 1 ampere. Esto es, dq = i dt, (27.2) 1 . 4π²0 (27.3) Por lo que en el SI k se expresa como: k= Halliday, Resnick, Krane 4 Fisica II Capítulo 27 donde ²0 es la constante de permitividad, con ²0 = 8.85418781 × 10−12 C2 /N · m2 . Así que k= 1 = 8.89 × 109 N · m2 /C2 . 4π²0 Por lo tanto 1 q1 q2 . (27.4) 4π²0 r 2 La forma vectorial de la ley de Coulomb Dado que se trata de una fuerza, la ley de Coulomb debe ser de carácter vectorial, ver la figura 27.3. q F= 2 q1 F21 r12 r12 q1 F12 q2 F21 r12 r12 F12 (a) (b) Figura 27.3 Si las dos cargas tuviesen el mismo signo la fuerza sería repulsiva, como se muestra en la figura 27.3a. Y si las cargas fuesen de diferente signo la fuerza de interacción sería atractiva, como se ve en la figura 27.3b. Así que F12 = Halliday, Resnick, Krane 1 q1 q2 r̂ 12 . 4π²0 r 212 5 (27.5) Fisica II Capítulo 27 Aquí r 12 representa a la magnitud del vector r12 , y r̂ 12 se refiere al vector unitario en la dirección de r 12 . Esto es r̂ 12 = r12 . r 12 (27.6) De la tercera ley de Newton, la fuerza, F21 , que experimenta la carga q 2 debida a la presencia de la carga q 1 , depe ser de dirección opuesta a F12 , así que F21 = 1 q2 q1 r̂ 21 . 4π²0 r 221 (27.7) En vista de que la fuerza de Coulomb es de carácter vectorial, debe cumplir con el principio de superposición cuando q 1 interactúa con q 2 , con q 3 , etcétera: F1 = F12 + F13 + F14 + . . . . (27.8) El significado de la fuerza de Coulomb va más allá de de la simple descripción de las fuerzas de interacción entre las cargas. Esta ley, cuando se incorpora en la estructura de la física cuántica, describe correctamente a (1) las fuerzas eléctricas que unen a los electrones de un átomo con el núcleo, (2) las fuerzas que unen a los átomos para formar a las moléculas y (3) las fuerzas que unen a los átomos y moléculas juntos para formar a los sólidos y líquidos. Ejercicio 1. La figura 27.4 muestra a tres partículas cargadas, que se mantienen en su sitio mediante fuerzas que no se muestran. ¿Cuál es la fuerza electostática sobre q 1 debida a la Halliday, Resnick, Krane 6 Fisica II Capítulo 27 presencia de las otras dos cargas? Considere que q 1 = −1.2 µC, q 2 = +3.7 µC, q 3 = −2.3 µC, r 12 = 15 cm, r 13 = 10 cm y θ =32°. y q3 r13 q F12 3p+q 2 r12 q1 F13 x q2 Figura 27.4 Solución. Usando el principio de superposición F12 = 1 q1 q2 = 1.77 N 4π²0 r 212 y F13 = 1 q1 q3 = 2.48 N. 4π²0 r 213 Así que F1 = F12 cos 0 î + F12 sin 0 ĵ + F13 cos ³3 ´ ³3 ´ π + θ î + F13 sin π + θ ĵ 2 2 F1 = (F12 + F13 sin θ ) î − F13 cos θ ĵ ya que cos(A ± B) = cos(A) cos(B) ∓ sin(A) sin(B) Halliday, Resnick, Krane y 7 sin(A ± B) = sin(A) cos(B) ± cos(A) sin(B). Fisica II Capítulo 27 Por lo tanto F1 = 3.08 N î − 2.10 N ĵ, de donde F =3.73 N y θ =326° con respecto al eje x. 27.5. La carga está cuantizada En tiempos de Franklin se creía que la carga era un fluido continuo. Más tarde se encontró que la carga está cuantizada q = ne n = 0, ±1, ±2, ±3, ..., (27.9) donde e es la carga elemental, cuyo valro experimental es e = 1.60217733 × 10−19 C. Tabla 1 Propiedades de las partículas Partícula Símbolo Carga Masa Momento angular electrón protón neutrón e− p n −1 +1 0 1 1836.15 1838.68 1/2 1/2 1/2 Ejercicio 2. Un penique, que es eléctricamente neutra, contiene cantidades iguales de carga positiva y negativa. ¿Cuál es la magnitud de estas cargas iguales? Solución. La carga q está dada por NZe, donde N es el número de átomos en un penique y Ze es la magnitud de las cargas positiva y negativa que porta el átomo. Halliday, Resnick, Krane 8 Fisica II Capítulo 27 Por simplicidad, se supone un penique está hecho de cobre, y que el número N de átomos en un penique es N A m/M, donde N A es la constante de Avogadro. La masa m de la moneda es 3.11 g, y la masa M de 1 mol de cobre (llamada masa molar) es de 63.5 g. Se encuentra que N= N A m (6.02 × 10−23 átomos/mol)(3.11 g) = = 2.95 × 1022 átomos. M 63.5 g/mol Todo átomo neutro tiene una carga negativa de magnitud Ze asociada con sus electrones y una carga positiva de la misma magnitud asociada con su núcleo. Aquí e es la magnitud de la carga del electrón (1.60 ×10−19 C, y Z es el número atómico del elemento en cuestión. Para el cobre, Z es 29. La magnitud de la carga total positiva o negativa en un penique es q = N Z e = (2.95 × 1022 )(29)(1.60 × 10−19 C) = 1.37 × 105 C. Ejercicio 3. En el ejercicio 2 se vió que un penique de cobre contiene cargas tanto positivas como negativas, cada una de magnitud 1.37 ×105 C. Suponga que estas cargas pueden estar concentradas en dos bultos separados por un adistancia de 100 m. ¿Cuál será l afuerza de atracción de un bulto sobre el otro? Solución. De la ecuación (27.4) se tiene F= 1 q2 (8.99 × 109 N · m2 /C2 )(1.37 × 105 C)2 = = 1.69 × 106 N. 4π²0 r 2 (100m)2 Ejercicio 4. La distancia promedio r entre el electrón y el protón en el átomo de hidrógeno es Halliday, Resnick, Krane 9 Fisica II Capítulo 27 5.3 ×10−11 m. (a) ¿Cuál es la mangitufd de la fuerza electrostática promedio que actúa entre estas dos partículas? (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitacional promedio que actúa entre entre estas dos partículas? Solución. (a) De (27.4) se tiene F= 1 q2 (8.99 × 109 N · m2 /C2 )(1.60 × 10−19 C)2 = = 8.2 × 10−8 N. 4π²0 r 2 (5.11 × 10−11 m)2 (b) La fuerza gravitacional Fg = G me mp r2 = (6.67 × 10−11 N · m2 /kg2 )(9.11 × 10−31 kg)(1.67 × 10−27 kg) = 3.6 × 10−47 N. (5.3 × 10−11 m)2 La fuerza gravitacional es unas 1039 veces más débil que la electrostática. Ejercicio 5. EL núcleo de un átomo de hierro tiene un radio aproximado de 4 × 10−15 m y contiene 26 protones. ¿Cuál es la fuerza repulsiva electrostática que actúa entre dos protones de dicho núcleo si están separados por una distancia de un radio? Solución. De la ecuación (27.4) se tiene F= 27.6. 1 q p q p (8.99 × 109 N · m2 /C2 )(1.60 × 10−19 C)2 = = 14N. 4π²0 r 2 (4 × 10−15 m)2 La carga se conserva Hasta ahora se ha observado que en todo fenómeno la carga se conserva. Halliday, Resnick, Krane 10 Fisica II