Teorema de Helmholtz El teorema de Helmholtz demuestra que el conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo vectorial es condición suficiente para conocer el campo vectorial en todo el espacio. Ası́mismo, el campo puede descomponerse en una parte irrotacional y una parte solenoidal, o bien longitudinal y transversal, respectivamente. Para demostrar el teorema vamos a hacer uso de una relación vectorial conocida y el teorema de unicidad del potencial. Este teorema se demostrará en el capı́tulo “Teorı́a del Potencial”, tema 12 del presente programa. Sea la función auxiliar F (r), continua, definida en todo el espacio. Apliquemos la conocida relación vectorial: ∇ × ∇ × F = ∇(∇ · F ) − ∇2 F (1) a esta función. Definamos V = −∇2 F , U =∇·F , W =∇×F (2) Podemos reescribir la ecuación (1) como: V = −∇U + ∇ × W (3) Hemos escrito el vector V como la suma de una parte irrotacional y una parte solenoidal. Hallemos la divergencia de V : ∇ · V = −∇2 U (4) Pero esta es la ecuación de Poisson. Si el vector V está definido en todo el espacio y tiende a cero en el infinito, la solución de esta ecuación es: Z 1 ∇0 · V (r 0 ) U (r) = d3 r 0 (5) 4π |r − r 0 | Si hallamos el rotacional, ∇ × V = −∇2 W (6) ya que la divergencia de W es cero a partir de su definición. Nuevamente obtenemos la ecuación de Poisson. La solución para W es: Z 1 ∇0 × V (r 0 ) W (r) = (7) d3 r 0 4π |r − r 0 | con lo que el teorema queda demostrado. Conociendo la divergencia y el rotacional de V en todo el espacio es posible obtener el campo vectorial V en todo el espacio y éste consiste de dos partes, una irrotacional y una solenoidal. ¿En qué punto hemos utilizado el teorema de unicidad del potencial? Dicho teorema se refiere a la ecuación de Poisson (o Laplace) y nos garantiza que si conocemos la laplaciana de una función (U o W en nuestro caso), la solución integral que hemos escrito nos garantiza que dicha solución es única. Es decir, tanto U como W están unı́vocamente definidas y por tanto el campo vectorial V está unı́vocamente definido a partir de su divergencia y rotacional. No hay otra solución posible. Andrés Cantarero, octubre de 2004.