Problema 17

Problema realizado por Javier Chiquero
Enunciado
Hallar “a” para que el punto P(a, 3) sea equidistante a la bisectriz del primer
cuadrante y a la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(5,4)
Bases teóricas
•
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
A(x 1, y 1 )
(x − x 1 )
(y − y 1 )
Los puntos serían 
=
(x 2 − x 1 ) (y 2 − y 1 )
B(x 2 , y 2 )
•
Distancia de un punto a una recta: Es la mínima posible. Se mide en
perpendicular.
Ax 0 + By 0 + C
Para hallarla: d(P, r) =
A 2 + B2
Se sustituyen las coordenadas del punto en la “x” y la “y”, y se toma
valor absoluto porque una distancia nunca puede ser negativa.
La bisectriz del primer cuadrante es la línea en la cual se encuentran
todos los puntos que son equidistantes a los semiejes positivos OX y
OY.
Su ecuación es: x - y = 0 ⇒ w
•
Dada una recta en forma general: Ax+ By +C = 0.Se define vector
r
director de dicha recta u = (coeficiente de la “y” cambiado de signo,
coeficiente de la “x”) = (-B, A).
•
Bisectriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de dos rectas. Por lo tanto la ecuación de la bisectriz es :
d ( P, r ) = d ( P , r )
Resolución gráfica
Se marcan los puntos de corte con los ejes y se traza las rectas. El punto verde
es la solución del ejercicio.
Cálculo
Colocamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos ⇒
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1
Sustituimos en la ecuación que pasa por dos puntos y despejamos para
x −1 y −1
hallar la ecuación en forma general ⇒
=
⇒
3x – 4y + 1 = 0
5 −1 4 −1
Escribimos la expresión analítica del lugar geométrico, sustituimos en la
ecuación de la recta las coordenadas del punto, y dado que solo tenemos una
incógnita, resolvemos la ecuación de segundo grado obteniendo dos
resultados:
d ( P, r ) = d ( P , w )
Ax + By + C
A +B
2
2
=
x−y
A +B
2
3a − 12 + 1 a − 3
=
5
2
⇒
2
2 (3a − 11) = 5a − 15
(3
2a − 11 2
)
2
= (5a − 15 )
2
18a 2 − 132a + 242 = 25a 2 − 159 + 225
0 = 7a 2 − 18a − 17
18 ± 18 2 − 4.7.( −17)
a=
14
18 ± 800 a = 3'3
a=

14
a = −0'7
a = 3,3
Comprobamos si las dos soluciones son válidas, mirando la gráfica, y vemos que la única
solución es cuando a vale 3,3.