Problema 13

Problema realizado por Gonzalo Bautista Dávila
Enunciado
Dados los puntos A (4,-2) y B (10,0), hallar el punto de la bisectriz de los
cuadrantes 2º y 4º que equidista de los dos.
Bases teóricas
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Ecuación de la mediatriz (línea donde se encuentran los puntos
equidistantes a otros 2):
d(P, A) = d(P, B)
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Y sabemos que para averiguar la distancia entre dos puntos tenemos
que realizar y simplificar la siguiente ecuación:
d(A,B)= | AB | = (x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2 ⇒ (módulo de la distancia
entre dos puntos, siendo el punto A(x1, y1) y el punto B(x2, y2) )
•
Por tanto para halla la ecuación de la mediatriz nos queda la siguiente
ecuación:
(x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2 = (x − x 2 ) 2 + (y − y 2 ) 2
La realizamos y tenemos la ecuación de la recta donde se encuentran
los puntos equidistantes a A y B.
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Y por otro lado tenemos la bisectriz de del 2º y del 4º cuadrantes. Para
hallar la ecuación
de esta recta tenemos en cuenta que tiene vector
v
director u = (-1,1) y pasa por el punto del origen (0,0). Por lo tanto su
ecuación será x+y = 0.
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Dadas las ecuaciones de las dos rectas para hallar su punto de
intersección hemos de realizar el sistema de ecuaciones con las
ecuaciones de las 2 rectas que nos dará el valor de x y el valor de y en
la que ambas rectas se cortan.
Resolución gráfica
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Único caso:
Por un lado tenemos que hallar la ecuación de la mediatriz de los puntos
A (x1,y1) y B (x2,y2) :
d(P,A)=d(P,B)
(x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2 = (x − x 2 ) 2 + (y − y 2 ) 2
Y con esta ecuación para los valores A(4,-2) y B(10,0) nos dará la recta
12x+4y-80=0
De esta recta buscamos el punto que ha de cortar con la bisectriz del segundo
y cuarto cuadrante (s: x+y=0). Realizamos el sistema y nos da de única
solución x=10 e y= -10. Por tanto el punto M que queremos hallar tiene como
coordenadas M(10.-10)
*En esta gráfica se puede observar como la bisectriz del segundo y cuarto
cuadrante (s) corta con la mediatriz de A y B (r) en un punto M que es el que
vamos a hallar con el siguiente cálculo.
Cálculos
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El punto que nos piden que hallemos es el punto de intersección entre la
bisectriz del 2º y 4º cuadrante de los ejes de coordenadas y de la recta
cuyos puntos son equidistantes a dos puntos dados A y B, esto es, su
mediatriz.
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Como ya he dicho, los puntos equidistantes a dos puntos se encuentra
en el lugar geométrico llamado mediatriz.
Hallamos recta de la mediatriz de A(4,-2) y B(10,0):
d(P,A)=d(P,B)
(x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2 = (x − x 2 ) 2 + (y − y 2 ) 2
(x − 4) 2 + (y + 2) 2 = (x − 10) 2 + (y) 2
x 2 − 8x + 16 + y 2 + 4y + 4 = x 2 − 20x + 100 + y 2
12 x + 4 y − 80 = 0 ⇒ 3x + y – 20 = 0
2º Una vez hallada la mediatriz realizamos el sistema
3x + y - 20 = 0



x+ y=0

y=
Solución M (10, - 10)




x = -y - 3y + y - 20 = 0




20
= − 10 . Luego:
−3
x=10