TALLER DE MATEMÁTICAS 2008-2009 ECUACIONES DIOFÁNTICAS Reciben el nombre de ecuaciones diofánticas aquellas ecuaciones polinómicas, con coeficientes enteros, cuyas soluciones son números enteros. Vamos a estudiar aquı́ dos tipos de ecuaciones diofánticas. Ecuaciones del tipo ax + by = c. Las tres cuestiones que vamos a responder son: 1. Cuándo tiene solución. 2. Caso de tener solución, cómo encontrarla. 3. Cuántas soluciones tiene la ecuación. Para responder a la primera pregunta, utilizamos el siguiente resultado. Proposición. La ecuación diofántica ax + by = c tiene solución si y sólo si d|c, donde d = mcd(a, b). En caso de tener solución, existen infinitas y todas ellas se obtienen de la siguiente forma: Si x0 , y0 es una solución particular de la ecuación, todas las soluciones están dadas por: x = x0 + (b/d)t, y = y0 − (a/d)t, para t entero arbitrario. Para encontrar una solución, y con ella todas las demás, necesitamos recordar el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a y b. Dicho algoritmo consiste en el siguiente proceso: a) Si a > b, mediante la división llegamos a que a = q1 b + r1 , con 0 ≤ r1 < b. Si r1 = 0, entonces, b|a y mcd(a, b) = b. b) Si r1 6= 0, se divide b por r1 y se obtiene b = q2 r1 + r2 , con 0 ≤ r2 < r1 . Si r2 = 0, el proceso termina y mcd(a, b) = r1 . c) Si r2 6= 0, se divide r2 por r1 , obteniendo r1 = q3 r2 + r3 , con 0 ≤ r3 < r2 . d) Continuamos el proceso hasta que alguna división sea exacta. El proceso será finito porque en la secuencia b > r1 > r2 > · · · ≥ 0 no puede haber más de b enteros. e) En estas circunstancias, el máximo común divisor de a y b no es más que el último residuo no cero del proceso anterior. La validez del proceso anterior está garantizada por el siguiente resultado. Proposición. Si a y b son enteros positivos con a > b y si a = qb + r, con 0 < r < b, entonces mcd(a, b) = mcd(b, r). Al recorrer el algoritmo de Euclides en sentido inverso se pueden obtener los valores x e y para los cuales ax + by = d, donde d = mcd(a, b). EJERCICIOS 1. ¿Tienen solución en Z las siguientes ecuaciones? 2x + 10y = 17. 5x + 6y = 8. 2. Hallar mcd(12378, 3054). Observación. Un método equivalente al proporcionado por el algoritmo de Euclides consiste en formar una fracción continua, como sigue: 162 1 12378 1 = 4+ = 4 + 3054 = 4 + 3054 3054 18 + 162 = 4+ =4+ 1 18 + 1 162 138 1 1 1 =4+ =4+ 1 1 18 + 1+ 24 18 + 1+ 1 18 + 1+ 1 1 138 24 138 = 4+ 138 162 1 18 + 1 1+ =4+ 1 1 5+ 24 18 18 5+ 24 1 18 + 1 1+ 1 5+ 1 6 1+ 18 3. Utilizar el ejemplo anterior para encontrar enteros x e y que cumplan la condición 6 = 12378x + 3054y. Observación. Un método alternativo consiste en desarrollar la fracción continua anterior eliminando la última fracción. 4+ 1 18 + 1 1+ 1 5+ 1 1 =4+ 1 18 + 6 7 =4+ 7 535 = . 132 132 4. Una compañı́a compró cierto número de reliquias falsas a 17 euros cada una y vendió algunas de ellas a 49 euros cada una. Si la cantidad comprada originalmente es mayor que 50 y menor que 100 y la compañı́a obtuvo una ganancia de 245 euros. ¿Cuántas reliquias faltan por vender? 5. Una mujer tiene un cesto de manzanas. Haciendo grupos de 3 sobran 2 y haciendo grupos de 4 sobran 3. Hallar el número de manzanas que contiene el cesto sabiendo que están entre 100 y 110. 6. Hallar el menor número de cuatro cifras que dividido por 4, 7 y 11 da resto 3, y que dividido por 13 da resto 1. 7. Encontrar las soluciones enteras de 2x + 3y + 5z = 11.(Por cierto, ¿tiene esta ecuación alguna solución en los naturales?) 8. Hallar dos números, uno con 21 divisores y el otro con 10 divisores cuyo máximo común divisor sea 18. 9. Un número N descompuesto en sus factores primos es de la forma N = 2x 3y 5z . Si se divide por 2, se suprimen 24 divisores. Si se divide por 3, se suprimen 18 divisores. Si se divide por 5, se suprimen 12 divisores. Hallar N . 10. La suma de dos números es 240 y su mı́nimo común múltiplo es 1768. ¿Cuáles son esos números? 11. Encontrar un número de 4 cifras divisible por 9, sabiendo que sus cifras van disminuyendo de izquierda a derecha de unidad en unidad. 12. Si p y p2 +8 son números primos primos, demostrar que p3 +4 es también primo. 13. Demostrar que todo entero de la forma 3s + 2 tiene un factor primo de esa forma. 14. Demostrar que el único primo p, para el cual 3p+1 es cuadrado perfecto, es p = 5. 15. Demostrar que 1/x − 1/y = 1/n tiene exactamente una solución si y sólo si n es primo. 16. Demostrar que, si n es entero, entonces n(n2 − 49)(n2 + 49) es divisible por 30. Ecuaciones del tipo x2 + y 2 = z 2 . Las soluciones enteras de la ecuación cuadrática x2 + y 2 = z 2 reciben el nombre de ternas pitagóricas. El ejemplo más conocido es la terna (3, 4, 5), pero también son válidas las ternas (5, 12, 13) y (7, 24, 25). Veamos cómo obtener todas las soluciones. Podemos suponer que x, y, z son primos entre sı́ ya que, si x, y ,z es solución de la ecuación, también lo es a · x, a · y, a · z, para cualquier a. De ahı́ se deduce que encontrada una solución hay infinitas. Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sı́ no pueden ser todos pares. Transformamos la ecuación en z 2 − y 2 = x2 . Como z 2 − y 2 = (z − y)(z + y) = x2 , el problema se reduce a descomponer x2 como producto de dos números primos entre sı́. Sean u y v estos números. De este modo, obtenemos y = (u2 − v 2 )/2, z = (u2 + v 2 )/2. Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par. Se llaman ternas pitagóricas primitivas aquellas para las que mcd(x, y, z) = 1. Para ellas, es fácil comprobar que dos de los términos son impares y uno es par y que exactamente uno de los términos x ó y es múltiplo de 3. 17. Encontrar tres ternas pitagóricas de la forma (16, y, z). 18. Encontrar todos los triángulos pitagóricos cuyas áreas son iguales a su perı́metro.