Módulo Relaciones métricas del triángulo rectángulo_3°PG

2011
MÓDULO DE MATEMÁTICA 3º MEDIO P.G.
UNIDAD N°5:
“RELACIONES MÉTRICAS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”
Nombre:…………..…..……..………………………………………. Curso: 3º… Fecha:…………..
I.
Teorema de Euclides
Consideramos el triángulo ABC, rectángulo en C, donde:
• c es la hipotenusa.
• h es altura.
• p y q son las proyecciones ortogonales de los catetos a y
b sobre la hipotenusa, respectivamente.
Se cumplen, entonces, las siguientes propiedades:
a) Referente a un cateto: El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la
proyección ortogonal de este mismo cateto sobre la hipotenusa.
a2 = c ⋅ p
b2 = c ⋅ q
b) Referente a la Altura: El cuadrado de la medida de la altura es igual al producto de las
proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.
h2 = p ⋅ q
Ejemplo:
1) En la figura siguiente AD = 3 m. y AC = 5 m., el valor de BD es:
C
Aplicando el teorema de Euclides referente a un cateto, tenemos que:
AC 2 = ( AD + DB) ⋅ AD ⇒ 5 2 = (3 + x) ⋅ 3 ⇒ x =
16
m
3
A
B
D
2) En la figura siguiente, CD = 6 cm.; AD = 3 cm. Determinar el área del triángulo ABC.
C
Aplicando el teorema de Euclides referente a la altura, determinamos el
valor de la base AB:
CD 2 = AD ⋅ DB ⇒ 6 2 = 3 ⋅ ( x − 3) ⇒ x = 15cm
Teniendo este valor, determinamos el área del triángulo:
15 ⋅ 6
A=
= 45cm 2
2
II.
A
D
B
Teorema particular de Pitágoras
“En un triángulo Rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.”
En el triángulo rectángulo, se cumple entonces que:
a2 + b2 = c2
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Página 1
III.
Razones trigonométricas.
Razones trigonométricas
Utilizaremos un triángulo rectángulo para definir las razones trigonométricas: seno (sin), coseno (cos), tangente (tan),
cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc).
β
c
a
α
b
En un triángulo rectángulo, estas razones se definen como sigue:
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente
cosα =
hipotenusa
sin α =
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto adyacente
cot α =
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente
hipotenusa
cscα =
cateto opuesto
tan α =
secα =
Aquí podemos darnos cuenta que basta con conocer las razones sin α y cos α para poder calcular las otras
razones, veamos por qué:
tan α =
sen α
cos α
cos α
sen α
cot α =
1
cos α
sec α =
cscα =
1
sen α
Ejemplo:
1) Si se sabe que cos α =
8
, determina el valor de cada una de las restantes razones trigonométricas.
17
Para responder esta pregunta, consideramos el siguiente triángulo rectángulo:
Dado que cos α =
cateto adyacente
, tenemos los valores de un cateto y de la
hipotenusa
hipotenusa, por teorema de Pitágoras podemos determinar el valor del otro cateto:
x 2 + 8 2 = 17 2 ⇒ x = 17 2 − 8 2 ⇒ x = 15
Teniendo esta medida, podemos determinar el valor de cada una de las razones para el
ángulo α.
sin α =
cateto opuesto 15
=
hipotenusa
17
secα =
2) Si tan α =
tan α =
cateto opuesto 15
=
cateto adyacente 8
hipotenusa
17
=
cateto adyacente 8
cscα =
cot α =
cateto adyacente 8
=
cateto opuesto 15
hipotenusa
17
=
cateto opuesto 15
5
, entonces el valor de cos α es:
12
Procedemos de igual forma, considerando el siguiente triángulo:
Determinamos el valor de x por medio de Pitágoras
x 2 = 5 2 + 12 2 ⇒ x = 5 2 + 12 2 ⇒ x = 13
Ahora podemos determinar el valor de cos α :
cateto adyacente 12
cosα =
=
hipotenusa
13
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Ángulos Notables: 30°, 45°y 60°
α
30º
45º
60º
1
2
√3
2
√3
3
√2
2
√2
2
√3
2
1
2
1
√3
cscα
2
√2
2√3
3
secα
2√3
3
√2
2
cotα
√3
1
√3
3
Razón
Si consideramos los siguientes triángulos rectángulos,
podemos encontrar los valores de las razones
trigonométricas de los ángulos de medida 30°, 45° y
60°.
sinα
cosα
tanα
Ejemplo:
•
2
Determina el valor de la siguiente expresión: − tan 45° ⋅ sin 30° + cos 60°
Desarrollamos reemplazando los valores correspondientes a cada una de las razones:
2
1 1
1 1
1
− tan 45° ⋅ sin 30° + cos 60° = −1 ⋅ +   = − + = −
2 2
2 4
4
2
Ángulo de elevación y ángulo de depresión.
Son aquellos ángulos formados por la horizontal,
considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira,
según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.
Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de
depresión contituyen ángulos alternos internos entre paralelas,
por lo tanto, sus medidas son iguales.
Ejemplo:
1) ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de
50m de altura cuando el sol se ha elevado 40º sobre el
horizonte?
Debemos utilizar una razón que nos relacione los datos que tenemos
con el dato que queremos determinar. Observando el triángulo
rectángulo que se genera, podemos que tenemos al cateto opuesto
al ángulo de 40° y queremos determinar el valor del cateto
adyacente a él. Por esto la razón que nos ayudará a resolver el
problema es la tangente. Luego tenemos:
tan 40° =
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50
50
⇒x=
⇒ x = 41,95m
x
tan 40°
Página 3
2) Desde un avión que vuela a 2.000 m de altura se observa el inicio de la pista de aterrizaje 30° por debajo de la
línea horizontal de vuelo (ángulo de depresión). ¿Cuál es la distancia desde el avión al inicio de la pista?
Al igual que en el ejercicio anterior, debemos determinar que razón
trigonométrica relaciona los datos dados con el que queremos
determinar. Observamos que la razón correcta es seno, pues
conocemos el cateto opuesto y queremos determinar la medida de la
hipotenusa, luego:
sin 30° =
IV.
2000
2000
⇒x=
⇒ x = 4000m
x
sin 30°
Teorema del seno y del coseno.
Los teoremas del seno y del coseno se utilizan para resolver cualquier tipo de triángulos. Resolver un triángulo
corresponde a determinar las medidas de sus tres lados y de sus tres ángulos.
a) Teorema del seno: los lados de un triángulo son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a
cada lado.
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
b) Teorema del coseno. Se puede utilizar en los siguientes casos:
• Si conocemos las medidas de los tres lados del triángulo.
• Si conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
• Si conocemos dos lados y el ángulo que forman.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
Ejemplo:
1) Resolver un triángulo con los siguientes datos: a=4cm, b=5cm y β=30°
-Utilizando el teorema del seno, podemos determinar el valor del ángulo α.
4
5
4 ⋅ sin 30°
4 ⋅ 0.5
=
⇒ sin α =
⇒ sin α =
⇒ sin α = 0,4
sin α sin 30°
5
5
Luego, α = sin −1 0,4 ⇒ α = 23,58° .
-Conocidos α y β, podemos determinar γ , pues sabemos
23,58° + 30° + γ = 180° ⇒ γ = 126,42° .
-Finalmente para determinar c, utilizamos el teorema del seno:
que
deben
sumar
180°.
5
c
5 ⋅ sin 126,42°
=
⇒c=
⇒ c = 8,1cm.
sin 30° sin 126,42°
sin 30°
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Luego
2) Resolver un triángulo con los siguientes datos: a=1200m, c=700m y β=108°.
-Utilizando el teorema del coseno, podemos determinar b:
b 2 = 1200 2 + 700 2 − 2 ⋅1200 ⋅ 700 ⋅ cos108°
b = 1200 2 + 700 2 − 2 ⋅1200 ⋅ 700 ⋅ cos108°
b = 1564,97m
-Para determinar el valor de γ , utilizamos:
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
700 2 − 1200 2 − 1564,97 2
= cos γ
− 2 ⋅1200 ⋅1564,97
0,90 = cos γ
cos −1 0,90 = γ
25,18° = γ
Para determinar γ , también podemos utilizar el teorema del seno.
-Para determinar α, consideramos que la suma de los 3 ángulos debe ser 180°, luego tenemos:
α + 108° + 25,18° = 180° ⇒ α = 46,82°
EJERCICIOS.
1) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm. y 4 cm. Determinar la proyección mayor de los catetos sobre
la hipotenusa.
a) 1,8 cm.
b) 3,2 cm.
c) 4 cm.
d) 5 cm.
e)
5
cm.
2
2) En el triángulo ABC de la figura , BD = 3,2 m.; AB = 5 m.; BC = ?
C
A
a) 1,8 m.
B
D
b) 3 m.
c) 4 m.
d) 5,76 m.
e) 16 m.
3) En la figura, AD = 5-1 cm; BD = 2-1 cm; la altura del triángulo ABC es:
C
A
a)
1
10
b)
10
10
B
D
c) 10
d) 10
e) Ninguna de
las anteriores
4) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Determinar la altura del triángulo.
a)
9
cm.
5
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b)
12
cm.
5
c)
16
cm.
5
d) 5 cm.
e) Ninguna de
las anteriores
Página 5
5) AB = 12 cm.; AD = 9 cm.; BC = ?
C
A
B
D
a) 3 V3 cm.
b) 6 cm.
c) 6 V3 cm.
d) 36 cm.
e) Ninguna de
las anteriores
5
y α es un ángulo agudo, entonces de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
7
2 3
3
7
II) sec α =
III) cosec α =
I) cos α =
7
6
5
6) Si sen α =
a) Sólo I
b) Sólo II
c)Sólo III
d) I y III
e) Todas
7) El valor de la expresión sen245º + cos230º es:
a)
(
2+ 3
(
b)
)
2
2+ 3
4
)
2
c)
5
4
d)
5
4
e) N.A.
8) ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 20 m, cuando el ángulo de elevación del sol es de 50º?
a) 23,8 m
b) 12,8 m
c) 15,3 m
d) 16,8 m
e) 1,53 m
9) En la cima de un cerro se ha levantado una antena de telefonía celular. Desde un punto ubicado en el valle se
miden los ángulos de elevación del extremo superior y la base de la antena. ¿Cuál es la altura del cerro si estos
ángulos son 57º y 42º respectivamente y además la antena mide 80 m de alto?
a) 100 m
b) 112,6 m
10) Si sen α =
a)
7
3
c) 154 m
3
, entonces el valor de la tg α es:
7
2 10
3 10
b)
c)
7
20
11) En la figura, BD = 100 dm. Entonces AC mide:
a)
150 3 dm
b)
100 3 dm
c)
50 3 dm
d)
25 3 dm
e) N.A.
2 10
3
e) N.A.
d)
C
60º
A
15 3 dm
e)
d) 168,3 m
30º
D
B
12) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos.
a)
6
α
10
β
8
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b)
2
α
β
3
2
5
2
Página 6
13) Utiliza los teoremas del seno o del coseno para resolver los siguientes triángulos.
a) Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., β =30° y γ = 78°.
b) Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. β =35° y b=10 cm.
c) Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y γ = 80°
14) Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación del sol es de
53º. Haz un dibujo del problema.
15) Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe
recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema
16) Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo
de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema
17) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el
cometa?
18) En un momento determinado, los dos brazos de un compás están separados por una distancia de 5 cm. Si cada
brazo mide 10 cm, ¿cuál es el grado de abertura del compás?
19) Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de
longitud en el suelo.
20) El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre la altura
del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del
suelo.
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Página 7
Soluciones
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
B
C
B
B
B
C
D
A
B
C
C
4
5
5
sec α =
3
12) a)
3
sin β =
5
5
sec β =
4
sin α =
3
5
5
csc α =
4
4
cos β =
5
5
csc β =
3
cos α =
4
3
3
cot α =
4
3
tan β =
4
4
cot β =
3
tan α =
4
5
5
sec α =
3
b)
3
sin β =
5
5
sec β =
4
sin α =
3
5
5
csc α =
4
4
cos β =
5
5
csc β =
3
cos α =
13) a) α =72°, b= 2,37 cm., c= 4,63 cm.
b) α =15°, γ =130°, c=13,36 cm.
c) α =33,37°, β =66,63°, c=5,37m.
14) Su altura es de 10,6 metros.
15) Debe recorrer 5442,3 metros.
16) La sombra mide 80,43 metros.
17) Alcanza una altura de 7,5 metros
18) El grado de abertura del compás es de 29° aproximadamente.
19) El ángulo de elevación es de 64,9°
20) La altura del cometa es de 66 metros.
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4
3
3
cot α =
4
3
tan β =
4
4
cot β =
3
tan α =
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