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Tema 13 Modelos de crecimiento
exógeno básicos
13.1 Resolución del modelo con la función
genérica de producción.
13.2 Los modelos de Harrod-Domar y de Kaldor.
13.3 El modelo de Solow.
Bibliografía: Sala i Martin 1 y 2
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
13.1 Resolución del modelo con la función genérica de producción
Supuestos
Economía sin sector público y sin sector exterior.
Población y trabajo coinciden: L
Tasa de crecimiento de la población: n (constante).
Ahorro e Inversión
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Renta disponible
Yt = Ct + S t
[1]
Yt = Ct + I t
[2]
S t = st Yt
[3]
I t = K& t + δK t
[4]
Equilibrio mercado de bienes
Ahorro
Inversión
[1] a [4]: Ley de acumulación del capital
K& t = st Yt − δK t = st F ( K t , Lt , At ) − δK t
ƒ
Ley de acumulación del capital per capita
k&t = st yt − (δ + n)kt = st f (kt , At ) − (δ + n)kt
ƒ
[5]
[6]
Tasa de crecimiento del capital per capita
k&t
y
f (kt , At )
= st t − (δ + n) = st
− (δ + n) = st PMekt − (δ + n)
kt
kt
kt
[7]
El resultado depende:
•
Del comportamiento de la productividad media del trabajo y, por tanto, de la
especificación de la función de producción.
•
Del comportamiento de la tasa de ahorro.
Tema 13, pág-1
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
13.2 Los modelos de Harrod-Domar y de Kaldor
El modelo de Harrod-Domar
Base Keynesiana: multiplicador y acelerador.
Objetivo: efectos del crecimiento económico sobre el empleo.
Supuestos
Consumo y ahorro: fracción constante de la renta.
Economía sin sector público y sin sector exterior.
Población y trabajo coinciden: L
Tasa de crecimiento de la población: n (constante).
Ahorro e Inversión
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Renta disponible
Yt = Ct + S t
[8]
Yt = Ct + I t
[9]
Equilibrio mercado de bienes
Ahorro
S t = sYt
[10]
I t = K& t + δK t
[11]
Inversión
[8] a [11]: Ley de acumulación del capital
K& t = sYt − δK t
ƒ
[12]
Ley de acumulación del capital en términos per capita
k&t = syt − (δ + n)kt
[13]
Función de producción
ƒ
Función de coeficientes fijos de Leontief
Yt = min( AK t , BLt )
ƒ
[14]
Función de coeficientes fijos de Leontief en términos per capita
yt = min( Akt , B)
Tema 13, pág-2
[15]
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
o
⎧ Ak
yt = ⎨ t
⎩ B
~
∀ k < k = B/ A
~
∀ k ≥ k = B/ A
[16]
Gráficamente:
y
y=B
B
y=A k
k
B/A
Tasa de crecimiento económico
ƒ
Tasa de crecimiento del capital per capita
~
k&t ⎧ sA − (δ + n)
∀ k < k = B/ A
=⎨
~
kt ⎩sB / kt − (δ + n) ∀ k ≥ k = B / A
ƒ
Caso 1: s A < n + δ
n+δ
sA
k0
B/A
k
No estado estacionario. Capital y producción convergen a cero
ƒ
Caso 2: s A > n + δ
sA
n+δ
k0
B/A
k*
k
Máquinas sin utilizar en estado estacionario. Exceso de capacidad
Tema 13, pág-3
[17]
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ƒ
Caso 3: s A = n + δ
sA=n+δ
k01 B / A = k*
Si k01 < B/A : desempleo
k02
k
Si k02 > B/A : única situación eficiente
El modelo de Kaldor (1946)
Distribución de la renta
Yt = MSt + Pt = wt Lt + rt K t
[18]
Ahorro
S t = s w MSt + s p Pt
[19]
0 ≤ sw ≤ s p ≤ 1
siendo:
operando:
⎡
⎡
rK ⎤
P⎤
S t = ⎢ s w + ( s p − s w ) t ⎥Yt = ⎢ sw + ( s p − sw ) t t ⎥Yt
Yt ⎦
Yt ⎦
⎣
⎣
⎡
rt ⎤
= ⎢sw + (s p − sw )
⎥Y = st Yt
PMek
t ⎦
⎣
[20]
La propensión marginal al ahorro ya no tiene porqué ser constante excepto
que el peso de los beneficios empresariales en la función de producción se
mantenga constante, o de otra manera, que el tipo de interés varíe en la
misma proporción que la productividad media del capital
Tasa de crecimiento del capital per capita
y
k&t
= st t − (δ + n)
kt
kt
⎡
rt ⎤
= ⎢sw + (s p − sw )
⎥ PMekt − (δ + n)
PMek
t ⎦
⎣
= sw PMekt + ( s p − s w )rt − (δ + n)
[
]
Tema 13, pág-4
[21]
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Suponiendo que r = PMgk
k&t
= s w PMekt + ( s p − s w ) Pmgkt − (δ + n)
kt
[
]
[22]
A medida que crece el capital, disminuye su productividad media y más aún la
marginal, reduciéndose la tasa de ahorro de la economía, acelerándose la
convergencia hacia el estado estacionario.
Tema 13, pág-5
Macroeconomía Avanzada
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Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
13.3 El modelo de Solow y Swan (1956)
El modelo
Supuestos
Consumo y ahorro: fracción constante de la renta.
Economía sin sector público y sin sector exterior.
Población y trabajo coinciden: L
Tasa de crecimiento de la población: n (constante).
Tasa de depreciación: δ (constante).
Ahorro e Inversión
Renta disponible
Yt = Ct + S t
[23]
Yt = Ct + I t
[24]
S t = sYt
[25]
I t = K& t + δK t
[26]
Equilibrio mercado de bienes
Ahorro
Inversión
[18] a [21]: Ley de acumulación del capital
K& t = sYt − δK t
[27]
Ley de acumulación del capital en términos per capita
k&t = syt − (δ + n)kt
[28]
Función de producción neoclásica
Factores productivos
Capital y trabajo (bienes rivales)
Tecnología (bien no rival)
Yt = F ( K t , Lt , At )
Propiedades
Tema 13, pág-6
[29]
Macroeconomía Avanzada
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Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
Rendimientos constantes a escala.
Homogeneidad grado uno.
Principio de réplica
Productividad marginal de todos los factores productivos: positiva, pero decreciente.
Condiciones de Inada
Función Cobb-Douglass
Origen: la distribución de la renta nacional entre trabajadores y capitalistas
permanecía más o menos constante a lo largo del tiempo (70%-30%)
Yt = At K tα L1t−α
[30]
Función Cobb-Douglass per capita
yt = At ktα
[31]
Gráficamente:
y
k
Ley de acumulación del capital en términos per capita (ecuación fundamental de
Solow y Swan)
k&t = sAt ktα − (δ + n)kt
[32]
El estado estacionario
Existencia
Para valores de k cercanos a cero, la curva de ahorro (CA) está por encima
de la curva de depreciación (CD).
Como la pendiente de CD es constante, y la de CA es decreciente, existe un
único valor de k donde ambas se cruzan.
Ese valor k* es el estado estacionario.
Tema 13, pág-7
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
Funciones
de k
f(k)
(n+δ)k CD
sf(k) CA
c
k*
k0
k
Ajuste hacia el estado estacionario
Si k0 < k* → s f(k) > (n + δ)k → ∆k hasta que k = k*
Si k1 > k* → s f(k) < (n + δ)k → ∇k hasta que k = k*
Cuando k = k* , la economía se quedará en ese punto para siempre.
Obtención
Ley de acumulación de capital:
k&t = sAt ktα − (δ + n)kt
Como en estado estacionario:
k&t = 0
Despejando se obtiene:
⎛ sA ⎞
k =⎜
⎟
⎝n+δ ⎠
1 /(1−α )
*
Si el capital per capita es constante, también lo será la renta per capita.
La regla de oro de la acumulación del capital
Definición
Estado estacionario que conlleva el mayor nivel de consumo per capita
Obtención
Hay que maximizar el consumo respecto de k* en estado estacionario
Si la función es Cobb-Douglass:
1 /(1−α )
k oro
⎛ αA ⎞
=⎜
⎟
⎝n +δ ⎠
Tema 13, pág-8
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
Interpretación gráfica
El punto en donde la distancia entre la función de producción y la CA es máxima es
aquel en el que las pendientes de la función de producción y la CD coinciden.
Funciones
de k
f(k)
(n+δ)k CD
coro
soro f(k) CA
koro
k
Alcance de la Regla de Oro
No existe ningún mecanismo por el que el modelo tienda a ir hacia la Regla de Oro.
Para alcanzar ese punto hay que escoger la tasa de ahorro soro que haga que el
estado estacionario sea precisamente koro.
Si s < soro → k < koro
Si s > soro → k > koro y la economía es ineficiente
En ambos casos, el consumo per capita no es el máximo que se podría tener.
La tasa de crecimiento a lo largo del tiempo
La tasa de crecimiento del capital per capita es la clave
Determina la tasa de crecimiento de la renta y el consumo per capita
γ c = γ y = αγ k
[33]
Obtención a partir de la ecuación fundamental de Solow y Swan
γk =
k&t
= sAt ktα −1 − (δ + n)
kt
Estado Estacionario
1 /(1−α )
⎛ sA ⎞
k =⎜
⎟
⎝n+δ ⎠
*
Tema 13, pág-9
[34]
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
Gráficamente
Funciones
de k
γk
(n+δ) CD
s f(k)/k CA
ko
k
k*
Ajuste hacia el estado estacionario: la evolución de la tasa de crecimiento a lo
largo del tiempo
Cuando k0 < k* → γk >0, y será tanto menor cuanto más cerca esté del estado
estacionario, situación en la que no existe crecimiento económico.
Explicación: existen rendimientos decrecientes del capital.
Error en la predicción del modelo
A largo plazo, las economías no crecerán.
Progreso tecnológico exógeno
Supuesto adicional
ƒ
La tecnología crece a una tasa constante: m
Tipos de progreso tecnológico y función de producción
Ahorrador de capital.
Ahorrador de trabajo.
Neutral.
En sentido Hicks
La relación entre PMg de los factores se mantiene constante
para una determinada relación K/L
Yt = At K tα L1t−α
En sentido Harrod
Tema 13, pág-10
[35]
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
Las participaciones relativas del capital y del trabajo en la renta
nacional permanecen inalteradas para una determinada relación
K/L
Yt = K tα ( At Lt )1−α
[36]
Ley de acumulación del capital por “trabajo efectivo” con progreso técnico
neutral en sentido Harrod
~
K
kt = t
At Lt
[37]
~&
~
~
kt = sktα − (δ + n + m)kt
[38]
~
~
0 = skt*α − (δ + n + m)kt*
[39]
Estado estacionario
Capital por trabajo efectivo
Funciones
de k
f(k)
(n+δ+m)k
sf(k) CA
k*
k
1 /(1−α )
~ ⎛
s
⎞
k* =⎜
⎟
⎝n +δ + m⎠
[40]
Capital per capita
1 /(1−α )
s
⎛
⎞
kt = At ⎜
⎟
⎝n +δ + m⎠
*
Tema 13, pág-11
[41]