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Tema 4
Ahorro y pensiones en los modelos
de generaciones solapadas
4.1 Solapamiento de generaciones en el modelo
de ciclo vital de Modigliani
4.2 El modelo de generaciones solapadas de
Diamond (1965).
4.3 Seguridad Social: sistema de reparto versus
capitalización
Bibliografía:
García del Paso 1
Blanchard y Fischer 3
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
4.1
SOLAPAMIENTO DE GENERACIONES EN EL MODELO DE CICLO
VITAL
Teoría del ciclo vital (Modigliani)
Supuestos
La renta fluctúa. El consumo en menor medida.
El ahorro es negativo en la juventud y positivo en la madurez.
El ahorro neto de la vida activa sirve para financiar el consumo de la jubilación.
La estructura demográfica de un país tiene consecuencia sobre el consumo y el ahorro.
Hipótesis
Vida total: n
Vida laboral o activa: z
Renta vida laboral: constante
Consumo constante (r = ρ= 0)
Sujeto no recibe ni deja herencias
Certidumbre sobre todas las variables
Problema
n
n
Maximizar:
∑ u (c )
t =1
s. a.
t
z
∑ c =∑ y
t =1
t
t =1
t
Consumo y ahorro óptimos:
c=
z
y
n
s=
n−z
y
n
Riqueza acumulada en t
qt = s t =
n−z
yt
n
Consumo en un instante t
c=
1
z −t
qt +
y
n−t
n−t
Observaciones
La presencia de planes de pensiones es neutral respecto al consumo y al ahorro.
Las herencias modifican las propensiones al consumo y al ahorro.
El consumo y el ahorro se modifican ante cambios en z y en n.
El consumo y el ahorro serían constantes a lo largo del tiempo salvo que la población o
la productividad del trabajo creciesen en el tiempo.
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El modelo intergeneracional
Objetivos
Obtener una senda de consumo-ahorro racional y equilibrada en términos sociales
Tal objetivo requiere un conocimiento preciso de la evolución del equilibrio y de la
determinación de los tipos de interés en el mismo.
Características
Dos períodos
Intercambio puro (ausencia de producción y de elección entre renta y ocio)
Dotaciones iniciales y = (y1,0)=(1,0)
Generación de jóvenes (nacidos en t) N (t)
Generación de mayores (nacidos en t-1) N (t-1)
Tasa de crecimiento poblacional [N(t)/N(t-1) –1] = n
Ausencia de preferencias subjetivas ρ = 0
Solapamiento
Mayores (t-1)
Instante t-1
Instante t
ct-1 (t-1) st-1 (t-1)
ct (t-1) st (t-1)
Jóvenes (t)
Instante t+1
ct (t) st (t)
ct+1 (t) st+1 (t)
Problema de los jóvenes
Maximizar
U (t ) = u (ct (t )) + u (ct +1 (t ))
s. a.
ct (t ) + Rt ct +1 (t ) = 1
Condiciones de primer orden:
Rt =
donde
u ' (ct (t ))
1
=
= 1 + rt
u ' (ct +1 (t )) Rt
ct (t ) + Rt ct +1 (t ) = 1
Resultado:
El consumo sólo depende del tipo de interés:
ci = ci [Rt ]
Operando:
st [Rt ] + st +1 [Rt ]Rt = 0
(*)
Equilibrio de mercado (suponiendo la imposibilidad de acumular):
st [Rt ] +
N (t − 1)
st [Rt −1 ] = 0
N (t )
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(**)
1
1 + rt
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Comparando (*) y (**), y suponiendo constancia en el tipo de interés
N (t − 1)
=R
N (t )
→
r=n
Equilibrio en ausencia de intercambio
ct (t ) = ct −1 (t − 1) = 1
→
st (t ) = st −1 (t − 1) = 0 → ct +1 (t ) = ct (t − 1) = 0
Distribución socialmente óptima
0 < ct (t ) = ct −1 (t − 1) < 1 →
0 < st (t ) = st −1 (t − 1) < 1 → ct +1 (t ) = ct (t − 1) > 0
El dinero garantiza el consumo de los mayores con el ahorro de los jóvenes, permitiendo
a los jóvenes no consumir toda su dotación, prestándola a los mayores a un tipo n>0.
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4.2
EL MODELO DE GENERACIONES SOLAPADAS DE DIAMOND
EQUILIBRIO DE MERCADO
Individuos
N(t) : número de individuos nacidos en t, que trabajan en t.
n: Tasa de crecimiento de la población
N (t ) = (1 + n) t N (0)
Individuos viven dos períodos
Un individuo nacido en el período t consume ct en t, ct+1 en t+1.
Su función de utilidad es:
u (ct (t )) +
1
u (ct +1 (t ))
1+ ρ
Sólo trabaja en el primer período de vida, y oferta una unidad de trabajo.
Problema de maximización
Max u (ct (t )) +
ct (t ) + st (t ) = wt
1
u (ct +1 (t ))
1+ ρ
s. a.
ct +1 (t ) = (1 + rt +1 ) st (t )
Resultado:
u ' (ct (t )) 1 + rt +1
=
u ' (ct +1 (t )) 1 + ρ
st (t ) = s ( wt , rt +1 , ρ ) 0 < sw < 1, sr < ó > 0
Empresas
Función de producción neta (descontada la depreciación):
En términos per capita:
Y = F (K , N )
y = f (k )
Presenta rendimientos constantes a escala y cumple las condiciones de Inada.
Actúan competitivamente, maximizando su beneficio.
Maximización del beneficio
Maximizan
π t = f (kt ) − wt − rt kt
f ' (kt ) = rt
Resultado:
f (kt ) − f ' (kt )kt = wt
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[3]
[1]
[2]
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Equilibrio en el mercado de bienes
El ahorro de los jóvenes en t genera el stock de capital productivo de t+1:
K t +1 = N (t ) st (t )
Operando se obtiene la ecuación de acumulación del capital:
st (t ) = (1 + n)kt +1
[4]
Equilibrio en el mercado de factores
El trabajo se oferta inelásticamente.
La oferta de capital en t está determinada por las decisiones de ahorro de los jóvenes en
el período anterior t-1.
El equilibrio en los mercado de trabajo y capital se produce cuando se cumple [3]:
f ' (kt ) = rt
f (kt ) − f ' (kt )kt = wt
Dinámica y estado estacionario (steady state)
kt +1 =
De [3] y [4]:
s( f (kt ) − f ' (kt )kt , f ' (kt +1 ))
1+ n
[4’]
[4’] implica una relación entre kt+1 y kt (saving locus)
dkt +1
s w (kt )kt f ' ' (kt )
=−
dkt
(1 + n) − sr (kt +1 ) f ' ' (kt +1 )
[5]
k(t+1)
B
45º
C
A
k(t)
Todo depende de sr > = < 0
Recta 45º: kt+1 = kt
Cualquier punto del saving locus que corte la recta de 45º es un punto de estado
estacionario.
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Posibilidades:
A: no estado estacionario
B: 2 equilibrios
C: único equilibrio
El modelo, sin otras restricciones sobre la función de utilidad, y/o la función de
producción, no garantiza ni la existencia ni la unicidad del equilibrio
Si existe un único equilibrio ¿es estable?
k(t+1)
45º
C
k(1)
k(0)
Estabilidad local requiere que
k(*)
k(t)
dkt +1
s w (kt )kt f ' ' (kt )
=−
<1
(1 + n) − sr (kt +1 ) f ' ' (kt +1 )
dkt
De nuevo, sin otras restricciones, la estabilidad local puede o no cumplirse.
Son necesarias formas de la función de producción y utilidad específicas.
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4.3
SEGURIDAD SOCIAL: SISTEMA DE REPARTO VERSUS SISTEMA
DE CAPITALIZACIÓN
Introducción
Sin altruismo intergeneracional, el equilibrio de una economía descentralizada está
caracterizado por:
u ' ( wt − st (t )) =
1 + rt +1
u ' ((1 + rt +1 ) st (t ))
1+ ρ
st (t ) = (1 + n)kt +1
[1]
[4’]
f ' (kt ) = rt
f (kt ) − f ' (kt )kt = wt
[3]
Efectos Seguridad Social
Individuo paga dt(t) cuando es joven (período 1)
Individuo recibe bt+1 (t) cuando es mayor (período 2)
Sistemas de Seguridad Social
•
De capitalización (fully funded system)
bt +1 (t ) = (1 + rt +1 ) d t (t ) Tasa de rentabilidad del sistema: rt
•
De Reparto (pay-as-you-go system)
bt +1 (t ) = (1 + n)d t +1 (t + 1)
Tasa de rentabilidad del sistema: n
Sistema de capitalización
Las ecuaciones [1] y [4’] se convierten en:
u ' ( wt − st (t ) − d t (t )) =
1 + rt +1
u ' ((1 + rt +1 )( st (t ) + d t (t )))
1+ ρ
st (t ) + d t (t ) = (1 + n)kt +1
[21]
[22]
Este sistema no tiene efectos sobre el ahorro total y sobre la acumulación.
La explicación es que el incremento del ahorro público dt es exactamente
compensado por la reducción del ahorro privado.
El motivo es que la Seguridad Social proporciona una tasa de rentabilidad igual a
la del ahorro privado, siendo el consumo indiferente al tipo de ahorro (privado o
público) realizado por el individuo.
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Sistema de reparto
Las ecuaciones [1] y [4’] se convierten en:
u ' ( wt − st (t ) − d t (t )) =
1 + rt +1
u ' ((1 + rt +1 ) st (t ) + (1 + n)d t +1 (t + 1)))
1+ ρ
st (t ) = (1 + n)kt +1
[23]
[24]
Desde el punto de vista de cada individuo, la tasa de rentabilidad del ahorro en
Seguridad Social es n en vez e r.
El gobierno puede pagar una rentabilidad n porque en cada período cada vez hay
más individuos que contribuyen a la Seguridad Social.
Debido a que este es un sistema de transferencias, que no de ahorro, la única fuente de
capital de la economía es el ahorro privado.
Efecto sobre el ahorro privado
Suponiendo tanto el salario como el tipo de interés constantes, el efecto que este
sistema de Seguridad Social tiene sobre el ahorro privado puede cuantificarse,
asumiendo que dt = dt+1, y diferenciando en [23]:
u1 ' '+(1 + ρ ) −1 (1 + n)(1 + rt +1 )u 2 ' '
∂st (t )
<0
=−
u1 ' '+(1 + ρ ) −1 (1 + rt +1 ) 2 u 2 ' '
∂d t (t )
De manera que:
∂st (t )
> 1 si n > r
∂d t (t )
∂st (t )
< 1 si n < r
∂d t (t )
Efecto sobre el stock de capital
Si no se supone que el tipo de interés y el salario son constantes, el efecto sobre el
stock de capital no es tan nítido.
Suponiendo que la relación entre kt y kt+1 viene dada por [5]:
dkt +1
s w (kt )kt f ' ' (kt )
=−
dkt
(1 + n) − sr (kt +1 ) f ' ' (kt +1 )
[5]
y que el estado estacionario es único y estable, siendo la dinámica no oscilatoria:
0<
dkt +1
<1
dkt
considerando la ecuación [24]:
(1 + n)kt +1 = s[wt (kt ), rt +1 (kt +1 ), d t (t )]
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[24]
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El impacto de la Seguridad Social sobre la dinámica de ajuste de la economía es reducir
el stock de capital de estado estacionario y disminuir el ritmo de acumulación de capital:
∂kt +1
∂st (t ) / ∂d t (t )
=
<0
∂d t
(1 + n) − sr f ' ' (•)
[24]
k(t+1)
45º
S
S'
k(1)
k(0)
k(*')
k(*)
k(t)
¿es deseable este resultado?
Utilizando como criterio la optimalidad de Pareto, la respuesta depende de si el tipo de
interés preexistente a la introducción de la Seguridad Social es mayor o menor al ritmo
de crecimiento de la población:
•
r < n : La Seguridad Social reduce (e incluso puede eliminar) la ineficiencia
dinámica, por lo que el efecto es indudablemente positivo.
•
r > n : La Seguridad Social mejora a la primera generación de mayores (que cobra
sin haber cotizado) a expensas de las siguientes generaciones, y por tanto no
supone una mejora de Pareto.
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