Tema 14 Crecimiento óptimo: el modelo de Ramsey-Cass

Tema 14 Crecimiento óptimo: el
modelo de Ramsey-CassKoopmans
14.1 La teoría del control óptimo y los diferentes
escenarios de análisis.
14.2 Resolución del modelo con una función
genérica de producción.
14.3 El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans.
Bibliografía: Sala i Martin 3 y apéndice matem.
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
14.1 La teoría del control óptimo y los diferentes escenarios de
análisis
Teoría del control óptimo
Supuestos
ƒ
Consumo y ahorro: resultado de un comportamiento óptimo.
Problema estándar
ƒ
El agente económico quiere controlar una serie de variables: variables de
control.
ƒ
El agente económico quiere maximizar una función objetivo (de utilidad,
beneficio, etc.) sujeto a determinadas restricciones.
ƒ
Las restricciones son dinámicas, y explican la evolución de las variables
de estado, las cuales describen el estado de la economía.
ƒ
Ejemplo:
T
max V (0) = ∫ u (ct , k t , t )dt
0
[1]
sujeto a:
k&t = f ( k t , c t , t )
[2]
k0
[3]
dada
kT e
V(0)
−rT
≥0
[4]
función objetivo
Es la suma (o integral) de las funciones objetivo instantáneas u(.),
las cuales dependen a su vez de las variables de control, de
estado, y del tiempo.
0
momento inicial
T
momento final (finito o infinito)
kt
variable de estado
ct
variable de control
[2]
ecuación de transición o de movimiento
Representa como la variable de control afecta la evolución de la
variable de estado.
[3]
condición inicial
Expresa que la variable de estado tiene un valor inicial dado,
consecuencia de decisiones pasadas.
[4]
condición terminal: T finito:
T infinito:
Tema 14, pág-1
kT no negativo.
Evita esquemas de Ponzi
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
Escenarios de análisis
Escenario de mercado
ƒ
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Propietarias factores productivos y de activos financieros
ƒ
Empresas:
Alquilan trabajo y capital
Venden su producto.
ƒ
3 mercados:
Capital, trabajo y producto
Escenario de familias productoras
ƒ
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Se dedican a la producción de bienes.
Escenario del Planificador
Es un “mecanismo” que para una economía adopta siempre las decisiones
correctas.
Es un escenario que sirve para definir lo óptimo y bueno, y poder comparar así si los
mercados adoptan la decisión óptima, o no.
Tendrá el mismo objetivo que los individuos (maximiza la misma función de utilidad).
Tendrá como única restricción la restricción física que dice que todo el producto
utilizado (para consumo, inversión, etc.) debe ser producido por la propia economía.
Tendrá en cuenta todos los mecanismos, todas las externalidades y toda la
información que existe en la economía a la hora de tomar sus decisiones.
Tema 14, pág-2
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
14.2 Resolución
del
modelo
con
una
función
genérica
de
producción
Escenario de familias productoras
Supuestos
ƒ
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Se dedican a la producción de bienes.
ƒ
Economía Cerrada (ahorro e inversión coinciden)
ƒ
Ahorro es igual a producción menos consumo
ƒ
La inversión bruta es igual a la inversión neta más la depreciación
Comportamiento
ƒ
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
−( ρ − n ) t
0
ƒ
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[5]
Restricción presupuestaria
k&t = f (k t ) − ct − (δ + n)k t
ƒ
[6]
Hamiltoniano
H =e
ƒ
ƒ
−( ρ − n ) t
ct1−θ − 1
+ λt ( f (kt ) − ct − (δ + n)kt )
1−θ
Condiciones de primer orden
Hc = 0 ⎯
⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
[8]
⎯→ λt ( f ' (kt ) − δ − n) = −λ&t
H b = −λ&t ⎯
[9]
Condición de transversalidad
lim λt k t = 0
t →∞
ƒ
[7]
[10]
Tasa crecimiento del consumo
γc ≡
c&t
1
= ( f ' (kt ) − δ − ρ )
ct θ
[11]
Esta condición, junto con [27] y la condición de transversalidad [31], determinan la
dinámica del capital y del consumo del modelo.
Estas tres condiciones son idénticas a las del escenario de mercado.
Tema 14, pág-3
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
14.3 El modelo de Ramsey, Cass y Koopmans
ƒ
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
−( ρ − n ) t
0
ƒ
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[12]
Restricción presupuestaria
k&t = Ak tα − c t − (n + δ )k t
ƒ
[13]
Hamiltoniano
H =e
ƒ
ƒ
−( ρ − n) t
ct1−θ − 1
+ λt ( Ak tα − ct − (δ + n)k t )
1−θ
Condiciones de primer orden
Hc = 0 ⎯
⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
[15]
H b = −λ&t ⎯
⎯→ λt (αAk tα −1 − δ − n) = −λ&t
[16]
Condición de transversalidad
lim λt k t = 0
[17]
c&t 1
= (αAk tα −1 − δ − ρ )
ct θ
[18]
t →∞
ƒ
[14]
Tasa crecimiento del consumo
γc ≡
Dinámica de transición
La dinámica de transición puede analizarse mediante un diagrama de fases.
(Ver gráfico)
Pasos para la construcción de un diagrama de fases
ƒ
Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento de
capital es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo.
ƒ
Análisis dinámica del capital asociado a:
k&t = Ak tα − ct − (n + δ )k t
ƒ
Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento del
consumo es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo.
ƒ
Análisis dinámica del consumo asociado a:
c&t = ct
1
θ
(αAk tα −1 − (δ + ρ ))
Tema 14, pág-4
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
ƒ
Análisis de los tres estados estacionarios, con tres estabilidades:
-
Inestable.
-
Estable.
-
Punto de silla.
Análisis de la dinámica de transición
ƒ
Existen cuatro regiones diferentes, cada una con su dinámica propia.
ƒ
Influencia de θ.
Convergencia entre países
Al igual que el modelo de Solow y Swan, el modelo de Cass y Koopmans predice
convergencia absoluta –o condicional- entre los países.
Tema 14, pág-5