1º. Formas de expresar una RECTA en el plano conocidos un punto

GEOMETRÍA ANALÍTICA
1º. Formas de expresar una RECTA en el plano conocidos un punto y un
vector dirección.
Ecuación de una recta: Es una fórmula que cumple todos los puntos que
están en ella y solo en ella. Para averiguar si un punto es de una recta se
comprueba si el punto cumple la ecuación.
Existen varias formas de representar la ecuación de una recta:
• Ecuación vectorial:
Dado el punto (Xo,Yo) y el vector dirección (d1,d2), la ecuación queda de la
siguiente manera:
(X,Y)= (Xo,Yo) + k(d1,d2). Dándole valor numérico a k, se consiguen todos
los puntos de la recta. Ejemplo 1a
• Ecuación paramétrica:
Con en el mismo punto y dirección que la anterior la ecuación queda así:
X= Xo + kd1
Y= Yo + kd2
Ejemplo 1b
• Ecuación de forma continua:
Con en el mismo punto y dirección que la anterior la ecuación queda así:
X-Xo = Y-Yo
d2
d1
Ejemplo 1c
• Ecuación Implícita o general:
Para pasar a esta ecuación se consigue transformando la ecuación
anterior hasta llegar a la forma:
AX+BY+C= 0
Ejemplo 1d
De la ecuación general podemos obtener:
El vector dirección de la recta así: d(d1, d2) = d(-B, A).
El vector normal a la recta así: n(n1, n2)= d(A, B).
La pendiente de la recta m=-A/B= d2/d1
Para pasar de la ecuación general a la continua: calculamos el vector
dirección d(-B,A) y dando un valor a X=X0 obtenemos el correspondiente
Y0 por tanto tenemos el punto (X0,Y0) necesario. Ejemplo 2
1
• Ecuación explícita o punto-pendiente:
Esta ecuación se obtiene despejando Y de la ecuación implícita o de la
continua:
Y= mX+n
Ejemplo 3
De la ecuación explícita podemos obtener:
m es la pendiente de la recta (= tg α) y n es la ordenada en el origen
(punto donde la recta corta al eje Y).
Si los datos son la pendiente y un punto (X0,Y0):
Y-Y0=m(X-X0) Ejemplo 4
Y luego pasamos a la explícita.
Para pasar de la ecuación general a la punto pendiente: Ejemplo 5
m= - A/B
n= - C/B
Para pasar de la ecuación general a la continua: Ejemplo 6
m= -A/B=d2/d1 ) y dando un valor cualquiera a X=X0, obtenemos Y=Y0
2º. Formas de expresar una RECTA en el plano conocidos dos puntos.
Sean los puntos A(X1, Y1) y B(X2,Y2)
• Ecuación vectorial y ecuación paramétrica:
Hallamos el vector dirección restando el 2º punto – 1º punto: d=
(X2-X1,Y2-Y1) y tomamos como punto uno cualquiera de los dos puntos
dados y estamos en la situación del apartado 1º. Ejemplo 7
• Ecuación de forma continua: Ejemplo 8
X-X2 = Y-Y2
X1-X2 Y1-Y2
X-X1 = Y-Y1
X2-X1 Y2-Y1
ó
(Obsérvese que el término que resta es el mismo en cada numerador como en el
denominador).
• Ecuación explícita o punto-pendiente: Ejemplo 9
Y-Y1=m(X-X1)
siendo
m= Y2-Y1
X2-X1
siendo
m= Y1-Y2
X1-X2
ó
Y-Y2=m(X-X2)
(Obsérvese que el término que resta es el mismo en todas las fórmulas)
Si despejamos Y obtenemos también la forma Y=mX+n
2
Ejemplos:
1a. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(-1,2) y
es paralela al vector u(2,-1).
1b. Hallar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto
A(-1,2) y es paralela al vector u(2,-1).
1c. Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A(-1,2) y
es paralela al vector u(2,-1).
1d. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(-1,2) y
es paralela al vector u(2,-1). ¿Cuál su pendiente?
2. Dada la recta de ecuación general 2x + 3y -3 =0. Hallar la forma continua
de la misma.
3. Dada la ecuación continua de la recta x+1/2= y-2/-1. Hallar la forma
explícita de dicha ecuación. Indicar cuál es su pendiente y su ordenada en
el origen.
4. Hallar la ecuación explícita de la recta de pendiente 2/3 y que pasa por
el punto P(1,2).
5. Dada la recta de ecuación general 2x + 3y -3 =0. Hallar la forma explícita
de la misma.
6. Dada la recta de ecuación general x + 2y - 2 =0. Hallar la forma continua
de la misma.
7. Hallar la forma vectorial y paramétrica de la recta que pasa por los
puntos P(1,2) y Q(-1,0).
8. Hallar la forma continua de la recta que pasa por los puntos P(0,2) y
Q(-1,1).
9. Hallar la forma explícita de la recta que pasa por los puntos P(1,-2) y
Q(-1,3). Hallar su ordenada en el origen.
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