RESUMEN TEORICO DE PROBABILIDAD CON EJEMPLOS (II). CÁLCULO DE PROBABILIDADES Vamos a ver ahora cómo calcular probabilidades. Para ello tenemos dos opciones: • • Calcular la probabilidad real de manera teórica (Regla de Laplace). Estimar la probabilidad de manera experimental (Frecuencia relativa). 1.- Cálculo de la probabilidad real de manera teórica. Aplicaremos la Regla de Laplace, cuando tengamos exactamente todos los casos (Resultados) posibles del experimento aleatorio de que se trate, y siempre que sepamos que estos casos tienen exactamente la misma probabilidad cada uno. Ejemplos: • Tirar una moneda equilibrada y observar si sale cara o sello Sí se puede utilizar Laplace (los dos casos tienen la misma probabilidad) • Tirar un dado equilibrado y observar el número que sale Sí se puede utilizar Laplace (los seis casos tienen la misma probabilidad) • Tirar una chincheta y observar si cae con el pincho para arriba o para abajo No se puede aplicar Laplace, pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad los dos casos. • Echar un partido de Ping Pong y observar quien gana No se puede aplicar Laplace, pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad. • Tirar dos dados y restar el resultado (mayor – menor) Se puede aplicar Laplace, pero hay que configurar una tabla para contar todas las posibilidades que tengan la misma probabilidad. • Tirar una moneda y un dado y observar lo que sale Se puede aplicar Laplace, pero hay que configurar una tabla para contar todas las posibilidades que tengan la misma probabilidad En los casos en que se puede aplicar la regla de Laplace, la regla dice lo siguiente: P( Suceso “A”)= N º de Casos Favorables al suceso A . N º de Casos Posibles (Totales ) Ejemplos: • Tirar una moneda equilibrada y observar si sale cara o sello Suceso A: “ Sale Cara”= {C }; P ( A) = • 1 =50% 2 Tirar un dado equilibrado y observar el número que sale Suceso B: “Sale primo” = {2,3,5}; P ( B ) = • 3 =50% 6 Tirar dos dados y restar el resultado (mayor – menor) Se puede aplicar Laplace, pero hay que configurar una tabla para contar todas las posibilidades que tengan la misma probabilidad. 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0 Así hay 36 posibilidades con la misma probabilidad (aunque algunas repitan números) Suceso A:”Sale un número menor que 2”: {0, 1}; P ( A) = 16 =44,4% Los casos Favorables son 36 16 porque aunque el suceso sólo tenga 2 elementos, el 0 y el 1, están repetidos en la tabla hay 6 ceros y 10 unos. • Tirar una moneda y un dado y observar lo que sale C X 1 1,C 1,X 2 2,C 2,X 3 3,C 3,X 4 4,C 4,X 5 5,C 5,X 6 6,C 6,X Suceso A: “Sale cara o número par en el dado”: A= {(1, C ), (2, C ), (3, C ), (4, C ), (5, C ), (5, C ), (2, X ), (4, X ), (6, X )}; P ( A) = 9 =75% 12 2.- Cálculo de la probabilidad experimentalmente Hay ocasiones en que no se puede aplicar la regla de Laplace y para poder ESTIMAR la probabilidad de un determinado suceso, hay que proceder aplicando la Ley de los grandes Números que dice que si repetimos un experimento aleatorio N veces, y calculamos la frecuencia relativa de un determinado suceso, está se aproximará a la Probabilidad Real conforme N se haga cada vez más grande (Más realizaciones del experimento). Ejemplos: • Tirar una chincheta y observar si cae con el pincho para arriba o para abajo No se puede aplicar Laplace, pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad los dos casos. Así que si queremos estimar la probabilidad del suceso, por ejemplo, A: “Sale el pincho hacia arriba” lo que haremos será realizar el experimento un número de veces (cuanto más grande mejor) por ejemplo N=1000, y observamos las frecuencias: Pincho arriba Pincho abajo totales Fi 327 FRi 0,327 % 32,7% 673 0,673 67,3% 1000 1 100 Así, utilizamos como estimación de la probabilidad de A P(A)=32,7 % • Echar un partido de Ping Pong y observar quien gana No se puede aplicar Laplace, pues no estamos seguros que tengan la misma probabilidad. Así que si queremos estimar la probabilidad del suceso A: “Gana Jesús David” lo que haremos será observar el mayor número de partidos posible anotando quien gana, y hacer el recuento en una tabla de frecuencias. Por ejemplo, si observamos 20 partidos y obtenemos la tabla siguiente: Gana Jesús David Pierde Jesús David totales Fi 7 FRi 0,35 % 35% 13 0,65 65% 20 1 100 Así, la probabilidad del suceso A será (estimada) P(A) =35% Ahora vamos a completar el cuadro de ejemplos de sucesos y operaciones con sucesos, añadiendo la información sobre si la probabilidad es calculable (Experimento regular, se puede calcular con Laplace) o estimable (Experimento no regular, la probabilidad sólo se puede estimar con la frecuencia relativa), y en el Caso de que sea Regular indicando la probabilidad (calculándola por Laplace: Ejemplos: EXPERIMENTO ALEATORIO Tirar una moneda y observar lo que sale Abrir la ventana y observar si llueve Meter 15 bolas de ping pong numeradas del 1 al 15 en una urna, sacar una y observar el número Tirar un dado y observar el numero que sale Tirar un dado y una moneda y observar conjuntamente los resultados Espacio muestral Regular Laplace E = {C, X } SI " LLUEVE ", E = " NO LLUEVE " E = {1,2,3,4,..., ,15} E = {1,2,...,6} (C,1), (C,2),(C,3), , (C,4 ),(C,5), (C,6), E = , (X,1), (X,1), (X,1), X,1 , X,1 , X,1 ( ) ( ) ( ) NO SI SI Sucesos A Sale Cara A = {C} Si salgo me mojo A = {" llueve"} Múltiplo de 4 A = {4,8,12} Sale par A = {2,4,6} P(A) Sucesos B P(B) A∪ B P(AUB) A∩ B ½= 50% Sale Cruz ½= 50% Sale cara ó cruz 2/2= 100% Sale cara y cruz ¿? 3/15 = 20% 3/6= 50% SI Abro la ventana B=E Múltiplo de 3 B = {3,6,9,12,15} Sale menor que 5 B = {1,2,3,4} ¿? 5/15= 33,3% 6/12= 50% (C,1), (C,3) B = (C,5), (X,1) (X,2), (X,3) A∪ B = E O me mojo o abro la ventana 4/6= 66,6% 6/12= 50% 100% A∪ B = E Múltiplo de 4 o múltiplo de 3 3,4,6,8,9, A∪ B = ,12,15 Par o menor que 5 Sale Impar Sale cara (C,1), (C,2) A = (C,3), (C,4 ) (C,5), (C,6) B = {X } A∪ B = {1,2,3,4,6} Sala Cara o Impar (C,1),(C,2) (C,3),(C,4) A ∪ B = (C,5),(C,6) (X,1),(X,3) (X,5) A∩ B = ∅ Me mojo y abro la ventana P(A ∩ B) 0% Ac No sale cara Ac = B P(Ac) 50% Si salgo no me mojo ¿? A∩ B = A Ac = {nollueve} ¿? No múltiplo de 4 7/15= 46,6% 5/6 = 83,3% 9/12= 75% Múltiplo a la vez de 3 y de 4 A ∩ B = {12} Par y menor que 5 A ∩ B = {2,4} Sale Cara e Impar a la vez (C,1), (C,3), A∩ B = (C,5) 1/15= 6,66% 2/6= 33,3% 3/12= 25% 1,2,3,5 ,6,7,9, A= ,10,11, 13,14,15 No es par (es impar) c A = {1,3,5} No sale cara (sale Cruz) (X,1), (X,2) A c = (X,3), (X,4 ) (X,5), (X,6) 12/15 = 80% 3/6= 50% 6/12= 50%