Edificio y árbol, ¿qué altura tienen?

Actividad para el estudiante
Geometría
Trigonometría en el triángulo rectángulo
Nivel: 3.º medio
Subsector: Matemática
Unidad temática: Geometría
Edificio y árbol, ¿qué altura tienen?
Joaquín es un joven inquieto, y entre muchas cosas que le llaman la atención
es que cada vez que él camina, la longitud de su sombra cambia. Joaquín
quiere cerciorarse de que esto no solo sucede con él, sino con todas las cosas
que puedan generar sombra, como un edificio, una casa o un árbol.
Así, Joaquín decide hacer un esquema en el cual pueda anotar sus
conclusiones.
Está un poco complicado, ya que la posición del sol va variando cada hora. Por
eso, le pregunta a su abuelo Manuel cómo se puede calcular la sombra de su
cuerpo o del edificio sabiendo que el sol varía cada hora. Entonces, su abuelo
le explica que para ello debe conocer el ángulo de inclinación y la longitud de la
sombra que el cuerpo genera. Joaquín investiga acerca de la relación que
existe entre longitudes y ángulos.
Joaquín piensa que en un triángulo rectángulo, estableciendo algunas
relaciones entre medidas de ángulos y de longitudes de lados, tal vez pueda
hallar una medida que no pueda obtener en forma directa. Es decir, hacer una
medición indirecta. Una estrategia de esta naturaleza sería muy apropiada si lo
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Trigonometría en el triángulo rectángulo
que se quiere medir es muy inaccesible ya sea por dificultades del terreno u
otra razón. Para ello, Joaquín investiga más sobre la trigonometría
y sus
propiedades.
¿Cuántas relaciones encontrará Joaquín?, ¿en qué se basan esas relaciones?
Luego de realizar tu propia investigación, resuelve la siguiente actividad:
1. El ángulo de elevación del tope de un edificio es de 50° desde un punto A.
Desde ese mismo punto, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena
sobre el edificio es de 60°. Si la distancia desde el punto A hasta el tope de
la antena es de 60 m:
a) ¿Cuántos metros mide la antena? Aproxima a la unidad más cercana.
b) ¿Cuántos metros mide el edificio? Aproxima a la unidad más cercana.
c) ¿Cuántos metros tiene la distancia desde A hasta la base del edificio?
Aproxima a la unidad más cercana.
2. Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m a la misma
hora que un árbol de 21 m proyecta una sombra de 24 m.
3. El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen α = 1/2.
Entonces PR mide:
a)
b)
3
c) 2
d)
3
2
e) 6
4. En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos β = cot β . Entonces el
valor de β es:
a) 0°
b) 30°
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c) 45°
d) 60°
e) Ninguna de las anteriores
5. Una escalera apoya su pie a 3 m de un muro. La parte superior se apoya
justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la escala mide
60º. El largo de la escalera es:
a)
2 3
b)
3 2
c)
6
d) 8
e) No se puede determinar
6. Una colina mide 420 metros de altura. Se calcula que el ángulo de
elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determina la
distancia desde A hasta la cima de la colina.
a) 420
b)
c) 840
d) 840 2
e) Ninguna de las anteriores
7. Si se calcula
a)
sen60º
, el valor que se obtiene es:
cos 30º − tg 30º
3
b) 0
c) 3
d) 1
e) Indeterminado
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8. Si senα =
5
, donde α es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,
13
entonces el valor de cos α es:
a)
13
12
b)
12
5
c)
5
12
d)
13
5
e)
12
13
9. Si se calcula 4 sen 30º + 2 cos 45º − 2 sen 45º · tg 45º resulta:
a) 0
b) 2
c) 2 +
2
d) 2 −
2
e) Valor irracional
10. Si se calcula
a) 5 + 2 6
b) 5
c) 1
d) 0
e) Otro valor
sen60º + cos 45º
cos 30º − sen45º
resulta:
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11. Si se calcula (tg 60º + cos 45º)(tg 30º − cos 30º) se obtiene:
a)
b) −
(1 + )
6
6
2
c)
d)
e)
12.
6
12
Cuando el Sol se encuentra a 60º sobre el horizonte, un árbol de 15 m
de alto proyecta una sombra que mide:
a) 9 m
b) 5 3 m
c) 15/2 m
d) 15 3 m
15
e) 2
3
m
13. Sí tg α = 12/5, entonces la alternativa correcta es:
a) sen α = 12
b) cos α = 5
c) cosec α = 5/4
d) sec α = 3
e) cos α = 5/13
14. El triángulo ABC de la figura es rectángulo en C, CB = 5 cm y tg β = 2,4.
¿Cuánto mide el perímetro del triángulo ABC?
a) 17 cm
b) 18 cm
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c) 25 cm
d) 30 cm
e) No se puede determinar
15. Encuentra la altura de la palmera, sabiendo que tg β = 1/4.
a) 8 m
b) 6 m
c) 3/8 m
d) 8/3 m
e) 24 m
En efecto, en todo triángulo rectángulo se pueden establecer ciertas relaciones
entre las medidas de los ángulos y de sus lados para hallar una medida que no
se pueda obtener en forma directa. Es decir, hacer una medición indirecta. Una
estrategia de esta naturaleza es muy apropiada si lo que se quiere medir es
muy inaccesible ya sea por dificultades del terreno u otra razón. Una
herramienta que nos provee solución al problema es la tangente de un ángulo,
herramienta de la trigonometría.
Ahora que ya sabes qué relaciones pudo encontrar Joaquín y qué elementos
del triángulo rectángulo usó para sus cálculos, puedes determinar la altura de
un poste, o su sombra.
Edificio y árbol, ¿qué altura tienen? Ya no será problema resolverlo.