3.89) La sección de reducción vertical mostrada en la figura

3.89) La sección
de reducción vertical
mostrada en la figura contiene aceite,
densidad relativa 0,86, que fluye hacia arriba
con un caudal de 0,6 . La presión en la
sección más grande es 200 . Despreciando
las pérdidas, pero incluyendo la gravedad,
determínese la fuerza sobre la contracción.
Resolución
Para la resolución se adopta por
comodidad el sistema Internacional (SI):
12 → 1 → 30,48 → 0,3048 18 → 1,5 → 45,72 → 0,4572 Luego se calculan las áreas de nuestras secciones 1 (la de ingreso) y 2 (la de egreso) de la
superficie de control adoptada (Coincide con la superficie de la reducción).
. ф . 0,4572 4
4
. ф . 0,3048 4
4
0,164 0,073 Continuidad entre 1 y 2:
! "
0,6 → #$ %, &' (⁄)
0,164 "
0,6 ! → #+ ,, ++ (⁄)
0,073 Energía entre 1 y 2:
- .
! ! .
- .
.
ɣ
20
ɣ
20
(Consideramos el inicio del eje de referencia a la altura del punto 1, de esta manera la altura
geométrica - es la distancia en vertical entre las secciones 1 y 2, y - 0 )
Reemplazando por los valores conocidos:
200 (3,65 ⁄)
(8,22 ⁄)
+
=
0,4572
+
+
0,86 . 9806 2 2 . 9,806 0,86 . 9806 2 2 . 9806 2 23,72 + 0,68 = 0,4572 +
+ 3,45 8433,16 2 = 8433,16 2 . ( 23,72 + 0,68 − 0,4572 − 3,45 )
4+ = $5+,$6 47 = $5+, , 847
Ecuación de la cantidad de Movimiento entre 1 y 2:
9 :;<= = > + :? + :@
DDDDDE = 9 v . ρ . Q . cos θ
DE • dA
9 :;<= = A v . ρ . v
I
Para calcular la fuerza > correspondiente al peso del fluido dentro del volumen de control,
es necesario calcular el volumen. Se plantean dos formas de calcular dicho valor:
Formula exacta del volumen de un tronco de cono:
.ℎ
. ( P + P + P . P )
3
. 45,72 45,72 30,48 45,72 30,48 !=
.( (
) + (
) +
.
)
3
2
2
2
2
!=
# = '+,+Q R(% = Q, Q'% (%
Formula aproximada:
Consiste en aproximar el volumen del tronco de cono como el volumen de un cilindro cuyo
diámetro es el promedio de los diámetros de las secciones 1 y 2, y de altura igual a la altura del
tronco de cono:
!= .
фS;T
4
ф + ф V
2
.ℎ = .
.ℎ
4
U
45,72 + 30,48 X
2
! = .
.45,72
4
W
# = '+$+' R(% = Q, Q'+ (%
> ! . ɣ = 0,053 .0,86 .9806 2 Y = − ZZ5 [
El signo menos responde al sentido de la fuerza, (hacia abajo por ser de caracter gravitatorio).
Luego se procede a calcular las fuerzas de presión, cuyo sentido corresponde al de fuerzas
que tienden a comprimir el volumen de control:
:\ = :\ − :\ = . − . :\ = 200 . 0,164 − 172,8 . 0,073 ]^ = +Q$,Z [
Calculadas las fuerzas, excepto la fuerza de anclaje (que constituye la incógnita del
problema), se procede a calcular los valores del segundo término de la igualdad:
9 v . ρ . Q . cos θ
El cos θ es el coseno del ángulo que forman el vector área y el vector velocidad en cada
sección. Para determinarlo, se utilizan los siguientes esquemas:
9 v . ρ . Q . cos θ = − ! . ρ . Q + ! . ρ . Q = ρ . Q (! − ! )
ρ . Q (! − ! ) = _0,86 .1000
0
` .0,6 . ( 8,22 ⁄ − 3,65 ⁄)
ρ . Q (! − ! ) = +%', [
Luego, planteando la igualdad:
> . :? . :@ = 9 v . ρ . Q . cos θ
− 447 2 + 20184 2 + :@ = 2358 2
]a = −$5%56 [ = − $5, %, 8[
La fuerza de anclaje resulta negativa, por lo cual el anclaje tiene dirección vertical, y
sentido hacia abajo.