Variación inversa - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Variación inversa
La función racional más sencilla es:
1
x
Esta función en palabras nos dice que cuando x crece el valor de y decrece en la misma proporción.
y=
Por ejemplo, si el valor de x crece al doble, el valor de y decrece a la mitad, y si el valor de x crece
al triple, entonces el valor de y decrece a la tercera parte.
Este tipo de variación se conoce como variación inversa.
Variación inversa
Dos cantidades x, y varían inversamente cuando al crecer la primera (x) la otra (y) decrece en la misma
poporción.
Definición
1
Observa que si y varía en proporción inversa con x, entonces x también varía inversamente con y,
porque:
1
1
entonces,
x=
Si
y=
x
y
También es importante recordar que cuando x = 0 la división no tiene sentido.
En otras palabras, la variación inversa excluye los casos en los cuales x = 0, ó y = 0.
Grafica la función y =
1
.
x
Ejemplo 1
• El denominador de esta función se hace cero en x = 0.
• Entonces, el eje y es una asíntota vertical de la función.
• Pero como ya dijimos que si y varía inversamente con x, entonces x también varía linealmente con y, entonces el eje x también corresponde a una asíntota de la función, pero en
este caso es horizontal.
1
1
y=
⇒
x=
x
y
• Observa que podemos escribir la función de una manera equivalente como la ecuación:
x·y = 1
Profesor:
• En esta forma nos damos cuenta que para que la expresión tenga sentido, ni x, ni y pueden
ser cero. (¿Por qué?)
• También es importante notar que la gráfica nos debe sugerir que cuando los valores de x
crecen los valores de x decrecen.
• Igual, cuando los valores de y crezcan, los valores de x deben decrecer.
• La gráfica de la función nos muestra estos resultados:
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Permita que los
estudiantes justifiquen esto.
Profr. Efraín Soto Apolinar.
y
5
4
3
y=
2
1
x
1
Asíntota
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
−3
2
3
4
5
x
Asíntota
−2
1
−4
−5
• Observa que si cambiamos el papel de las variables obtenemos exactamente la misma gráfica.
• Esto nos sugiere que si y varia inversamente con x, también x varía inversamente con y.
El caso más general se tiene cuando en el numerador tenemos una constante diferente de 1.
Esto nos servirá para resolver problemas prácticos.
Ejemplo 2
4 pintores tardan 12 horas en terminar de pintar un edificio. ¿Cuánto tardarán en pintar el
mismo edificio 16 pintores?
• Primero debemos darnos cuenta que el tiempo que tarden en pintar el edificio varía inversamente con la cantidad de pintores.
• Es decir, si aumentamos al doble la cantidad de pintores que trabajarán, esperamos que
tarden la mitad.
• Si disminuimos a la mitad la cantidad de pintores, esperamos que tarden el doble.
• Así que tenemos una relación del tipo:
y=
Cuando y varía
inversamente con
x, la función de
variación es:
k
x
donde y es el tiempo que tardarán en pintar el edificio, x es la cantidad de pintores asignados
a esa tarea y k una constante característica del problema.
y=
k
x
• Con los datos que nos dieron podemos calcular el valor de k.
• Con este fin, vamos a sustitir 12 en lugar de y, y 16 en lugar de x y a despejar k de esa
expresión:
k
12 =
⇒
k = (12)(4) = 48
4
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¿Qué
representa x?
¿Qué
representa y?
Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Para conocer cuánto van a tardar 16 pintores en terminar esa tarea sustituimos los valores
conocidos y despejamos la incógnita del problema:
y=
48
x
⇒
y=
48
=3
16
• Entonces, las 16 personas tardarán 3 horas.
• Observa que al aumentar al cuádruplo la cantidad de personas que terminarán la tarea, el
tiempo disminuye a la cuarta parte.
Dos trabajadores tardan 32 horas en terminar una tarea. ¿Cuántos trabajadores se requieren
para que realicen la misma tarea en 4 horas?
Ejemplo 3
• Si se asignan el doble de trabajadores deben tardar la mitad del tiempo.
3 Entonces, si hay 4 trabajadores deben tardar 16 horas,
3 y 8 trabajadores deben tardar 8 horas,
3 y 16 trabajadores deben tardar 4 horas,
• Todo esto, suponiendo que los trabajadores siempre trabajan al mismo ritmo y que no se
estorban entre ellos para realizar la tarea.
Este tipo de problemas puede resolverse también usando la regla de tres, pero inversa.
Para esto vamos a escribir los datos como en la regla de tres directa, pero realizamos las operaciones en reversa:
⇒ Horas
2 ⇒ 32
T ⇒ 4
Trabajadores
Datos conocidos:
Para calcular:
Ahora, para calcular la incógnita T que representa al número de trabajadores que terminarán la
tarea en 4 horas, usaremos la regla de tres inversa.
Si se requiere, recuerde la regla de
Si se tratara de la regla de tres directa, multiplicaríamos:
T=
4×2
32
Profesor:
tres directa.
Regla de tres directa
pero ahora realizamos las operaciones leyendo al revés los datos:
T=
32 × 2
4
Regla de tres inversa
El resultado coincide con el del último ejemplo:
T=
64
32 × 2
=
= 16 trabajadores.
4
4
Resuelve el ejemplo 2 de esta sección utilizando la regla de tres inversa.
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Ejemplo 4
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• El texto del ejemplo dos dice: «4 pintores tardan 12 horas en terminar de pintar un edificio.
¿Cuánto tardarán en pintar el mismo edificio 16 pintores? »
• Primero acomodamos los datos en la tabla:
⇒ Horas
⇒ 12
16 ⇒ h
Pintores
Datos conocidos:
4
Para calcular:
• Entonces, usando la regla de tres inversa, calculamos el valor de nuestra incógnita h:
h=
4 × 12
48
=
=3
16
16
• Y así obtenemos el mismo resultado.
• Observa que al utilizar la regla de tres inversa nos ahorramos el cálculo de la constante de
proporcion inversa.
Ejemplo 5
300 ml de una disolución de ácido sulfúrico H2 SO4 al 63% se diluyeron al agregar 600 ml de
agua destilada. ¿Cuál es la concentración de la nueva disolución del ácido?
• La disolución originalmente tenía un volumen de 300 ml.
• Como se agregaron 600 ml, la nueva disolución tiene el triple del volumen.
• Al tener mayor volumen, la concentración de la disolución disminuye.
• Es decir, la concentración varía inversamente con el volumen.
• Entonces, para este problema tenemos:
C=
k
V
donde C es la concentración de la disolución y V es el volumen.
• Primero calculamos el valor de la constante de la función:
63 =
k
300
⇒
k = (63%)(300 ml) = 18 900 % ml.
• Ahora sustituimos el volumen de la nueva disolución en la fórmula para obtener:
C=
18 900 %
ml.
= 21 %.
900
ml
• Observa que como el volumen aumentó al triple, la concentración disminuyó a una tercera
parte.
• Usando la regla de tres inversa, tenemos:
⇒ Volumen (ml)
63 ⇒ 300
C ⇒ 900
Concentración (%)
Datos conocidos:
Para calcular:
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
• Entonces,
C=
300 × 63
18 900
=
= 21
900
900
• Justifica cada paso de la regla de tres observando el primer procedimiento.
Antes de aplicar la regla de tres inversa verifica que las cantidades relacionadas presentan este
tipo de proporción.
Algunas veces encontrarás problemas en los que aparecen varias cantidades que presentan variación
inversa respecto a otra cantidad.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
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