PARTÍCULAS ALFA La vida media de los elementos pesados que emiten partículas alfa, varía sobre 20 órdenes de magnitud, desde 0.1 microsegundos hasta 10 billones de años. Este amplísimo rango, depende fuertemente de la energía cinética observada, que varía entre 4 y 9 Mev. Esta dependencia sugiere un proceso exponencial, el cual es modelado por el EFECTO TÚNEL, a través de la barrera de Coulomb.... 62 MODELO DE GAMOW (EFECTO TÚNEL) (1928) En la figura se modela el decaimiento de partículas α provenientes del Polonio-212, que son emitidas con 8.78 MeV, y una vida media de 0.3 microsegundos. La barrera de potencial de Coulomb que debe enfrentar cada partícula es del orden de 26 MeV, de modo que no debería escapar. Dentro del núcleo, la función de onda es la de una partícula libre. Al salir del núcleo, cuyo diámetro es del orden de 10-14 m , penetra la barrera con una probabilidad de uno en 1038 !! DETALLES DEL CÁLCULO La altura máxima de la barrera, en el dibujo, se encuentra mediante la expresión de Coulomb. La carga que queda en el núcleo se reduce en 2. (La distancia entre las cargas se asume justo al tocarse las cargas) Cuando el equilibrio entre las dos fuerzas de atracción y repulsión se rompe, hay emisión de radioactividad. La influencia nuclear (fuerza de corto alcance) se asume que se detiene cuando la partícula α y el núcleo reducido justamente se tocan uno al otro. El modelo establecido por Fermi establece que el radio de un Núcleo es de la forma: con r = r0 A1 / 3 ro = 1.2 x 10-15 m = 1.2 fm y en donde A = Z + N es el número de masa atómica 63 La distancia de separación es: Separación entre núcleos = 1.2 fm (41/3 + 2081/3) = 9.01 fm (55) Altura de la barrera = ENERGÍA POTENCIAL ENTRE LAS CARGAS, A LA DISTANCIA r = 9.01 fm , con ZPo= 84 −19 1 2( Z Po − 2 )e 2 coul )2 9 2 2 2 x 82 x( 1.6 x10 = 9 x10 Nm / coul x E= 4πε 0 r 9.01x10 −15 m = 419.3 x10 −14 j = 41.9 x10 −15 x6.242 x1019 eV = 261.7 x10 4 eV = 26 MeV (56) La distancia a la cual el potencial se reduce al nivel de la energía (8.78 MeV) observada en las partículas α, es: 8.78 MeV = 1 2( Z − 2 )e 2 4πε 0 r r= 9 x10 9 Nm 2 / coul 2 x 2 x82 x 2.56 x10 −38 coul 2 8.78 MeV r = 26.9 fm anchura de la barrera es 26.9 – 9.01 = 17.9 fm (57) (58) 64 M odelo m atemático Modelo matemático D el ddecaimiento ecaimiento Del ∆N = − β N∆t (59) El cambio en el tiempo del número de partículas de una muestra, es proporcional al producto del número inicial de partículas, por una constante llamada de “decaimiento”. Esta constante es la “probabilidad por segundo” de que un núcleo decaiga De aquí se llega a: N = N 0 e − βt (60) La constante β está relacionada con la “vida media” del núcleo: Para que N se reduzca a la mitad de No, se requiere: N0 = N 0 e − βt / 2 2 Si T1/2 es conocido, la constante de decaimiento puede ser calculada: β= 0.693 T1/2 (61) Esta constante tiene dimensiones de 1/tiempo El modelo de Gamow, establece que la partícula α se forma dentro del núcleo, y que permanece confinada por la barrera de potencial. En una descripción clásica, si la energía cinética de la partícula α es menor que la energía potencial representada por la barrera, la partícula no puede dejar el núcleo. En una descripción cuántica, existe una probabilidad finita de que la partícula deje el núcleo, mediante un “efecto túnel”. Este tratamiento mecano-cuántico del decaimiento α, fue el primero que tuvo éxito en física nuclear, y fue presentado en forma independiente por Gamow, y Condon-Gurney. En este modelo, la constante de decaimiento β, está dada por: Vα P 2R β = (62) en donde el término entre paréntesis se llama frecuencia de golpeo ó número de colisiones de la partícula α contra las paredes del núcleo. Este número de “tunelajes posibles” por unidad de tiempo, multiplicado por la Probabilidad de transmisión P, es precisamente β, la constante de decaimiento. 65 La probabilidad de tunelaje está dada por (V>>E) P= T 2 A 2 4(V − E ) E = 4(V − E ) E + V 2 senh 2 2mL2 h 2 (V − E ) (63) Utilizando la energía medida para las partículas a (8.78 MeV), se puede calcular su velocidad dentro del núcleo: Vα = 2 x 107 m/seg (64) Utilizando ro = 1.2 x 10-15 m = 1.2 fm Frecuencia de golpeo = 1.14 x 1021 / seg (65) Utilizando los valores numéricos dados en (56) y (58), L = 17.9 fm V = 26 MeV E = 8.78 MeV: P = 4 x 10-29 (66) Y obtenemos finalmente: β =1.14 x 1021 x 4 x 10-29 = 4.57 x 10-8/seg Utilizando ahora (61): T1 / 2 = 0.693 β = 1.5 x107 / seg El resultado experimental es 0.3 x 10-6 seg… Hay un error de 13 cifras ¡!! 66 Nuevo cálculo En este nuevo cálculo se advierte que la barrera NO es de tipo cuadrado… De modo que ahora se asume que el potencial que atraviesa la partícula α varía en la forma 1/r Utilizando cinco segmentos de igual anchura, y de altura igual al punto medio de la curva V(r), donde r es la separación de los centros entre ambas partículas Se debe calcular un coeficiente de transmisión para cada barrera cuadrada Altura (MeV) 21.9 16.4 13.2 11.0 9.4 Producto de probablidades Anchura (fm) 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 Probabilidad de tunelaje P 1.20 x10 1.74 x 10^-4 1.43 x 10^-3 .98 x 10^-2 .85 x 10^-1 2.47 x 10-15 β = FRECUENCIA DE GOLPEO X PROBABILIDAD DE TUNELAJE = 1.14 x 1021 x 2.47 x 10-15 = 2.82 x 106 / seg T1/2 = 0.693/β = 0.693/(2.82x 10 6) = 0.248 x 10-6 seg 67