1. Ganancia en cuadripolos S ZS VS L (S) Zo out in Zin (Gin) ΓS = Γin = s11 + ZL Zo Zout (Gout) ZS − Zo ZS + Zo ΓL = s12 s21 ΓL Zin − Zo = 1 − s22 ΓL Zin + Zo ZL − Zo ZL + Zo Γout = s22 + s12 s21 ΓS Zout − Zo = 1 − s11 ΓS Zout + Zo Sea: - PL = Potencia entregada a la carga - Pin = Potencia entregada al cuadripolo cargado - Pas = Potencia disponible en el generador: Pas = Pin |Γin =Γ∗S - Pan = Potencia disponible a la salida del cuadripolo: Pan = PL |ΓL =Γ∗out Definimos (demostración en Pozar, pág. 606): Ganancia de potencia: G= PL |s21 |2 (1 − |ΓL |2 ) = Pin (1 − |Γin |2 )|1 − s22 ΓL |2 ß Depende de ZL y (S) Ganancia disponible: GA = |s21 |2 (1 − |ΓS |2 ) Pan = Pas |1 − s11 ΓS |2 (1 − |Γout |2 ) ß Depende de Zs y (S) Ganancia de transducción: GT = PL |s21 |2 (1 − |ΓS |2 )(1 − |ΓL |2 ) = Pas |1 − ΓS Γin |2 |1 − s22 ΓL |2 1 ß Depende de Zs , ZL y (S) 1.1. Casos particulares 1) Adaptación para reflexión nula: ΓL = ΓS = 0 GT = |s21 |2 2) Ganancia de transducción unilateral GT U : cuando s12 = 0 (ó es un valor muy pequeño) ⇒ Γin = S11 GT U = |s21 |2 2. (1 − |ΓS |2 )(1 − |ΓL |2 ) |1 − s11 ΓS |2 |1 − s22 ΓL |2 Amplificador de una etapa GS GL ZO VS Adaptador Entrada (S) Zo Gin Adaptador Salida Zo ZO Gout + La definición más útil es la de Ganancia de Transducción, que tiene en cuenta las desadaptaciones de genrador y carga + Definimos de manera separada las ganancias: GT = GS · Go · GL GS = 1 − |ΓS |2 |1 − ΓS Γin |2 Go = |s21 |2 GL = 1 − |ΓL |2 |1 − s22 ΓL |2 donde GS y GL dependen de las adaptaciones +Si el transistor es unilateral (Γin = s11 ; Γout = s22 ): GS = 1 − |ΓS |2 |1 − s11 ΓS |2 Go = |s21 |2 GL = 1 − |ΓL |2 |1 − s22 ΓL |2 2 2.1. Estabilidad Cuando la impedancia de entrada o de salida de un cuadripolo tienen parte real negativa pueden aparecer oscilaciones. Esto equivale a la condición (que depende de la frecuencia): |Γin | > 1 |Γout | > 1 Como Γin y Γout dependen de ΓS y ΓL , definimos dos tipos de estabilidad: - Amplificador incondicionalmente estable: si |Γin | < 1 y |Γout | < 1 para toda impedancia de generador y carga pasiva (|ΓS | < 1 y |ΓL | < 1) - Amplificador condicionalmente estable: si |Γin | < 1 y |Γout | < 1 sólo para determinado rango de impedancias de carga y generador Matemáticamente: s12 s21 ΓL <1 |Γin | = s11 + 1 − s22 ΓL s12 s21 ΓS |Γout | = s22 + <1 1 − s11 ΓS + Notar que si s12 = 0 para conseguir estabilidad incondicional, basta con que se cumpla: |s11 | < 1 |s22 | < 1 + En caso contrario tendremos regiones sobre la carta de Smith (para la entrada y la salida). Se demuestra que estas regiones son cı́rculos Definición: Cı́rculos de estabilidad: Son las regiones de ΓL (ó ΓS ) para los cuales |Γin | ≤ 1 (ó |Γout | ≤ 1). Las circunferencias que los delimitan tienen como centro y radio los siguientes: Carga: Generador: (s22 − ∆s∗11 )∗ CL = |s22 |2 − |∆|2 s12 s21 RL = |s22 |2 − |∆|2 (s11 − ∆s∗22 )∗ CS = |s11 |2 − |∆|2 s12 s21 RS = |s11 |2 − |∆|2 donde ∆ = det(S) y falta por determinar cuál es la región estable 3 Caso 1: Si |s11 | < 1, para ZL = Zo ⇒ Γin = s11 por lo que |Γin | < 1. Entonces ΓL = 0 está dentro de la región estable Estable Caso 2: Si |s11 | > 1 ⇒ al contrario Estable Alternativamente, un amplificador es incondicionalmente estable ⇐⇒ k= 1 − |s11 |2 − |s22 |2 + |∆|2 |2 >1 2|s12 ||s21 | |∆| < 1 k se conoce como Factor de estabilidad o k de Rollet 4 2.2. Diseño para máxima ganancia (Adaptación Conjugada) + Después de determinar la región de estabilidad para ΓS y ΓL diseñamos las redes de adaptación de entrada y salida para que se cumpla: Γout = Γ∗L Γin = Γ∗S GS GL ZO VS Adaptador Entrada (S) Zo Adaptador Salida Zo Gin ZO Gout + Esto equivale a maximizar la ganancia de transducción global (suponiendo redes de adaptación sin pérdidas): GT max = 1 1 − |ΓL |2 2 · |s | · 21 1 − |ΓS |2 |1 − s22 ΓL |2 + En el caso bilateral, hay que adaptar entrada y salida simultáneamente (ambas se influyen entre sı́): s12 s21 ΓL ∗ ΓS =s11 + 1 − s22 ΓL s12 s21 ΓS Γ∗L =s22 + 1 − s11 ΓS que tiene como solución: p B12 − 4|C1 |2 ΓS = 2C1 p B2 ± B22 − 4|C2 |2 ΓL = 2C2 B1 ± donde: B1 =1 + |s11 |2 − |s22 |2 − |∆|2 B =1 + |s |2 − |s |2 − |∆|2 1 C1 =s11 − C2 =s22 − 22 11 ∆s∗22 ∆s∗11 + En el caso unilateral, con s12 = 0 (más sencillo): ) ΓS = s∗11 1 1 ⇒ GT U max = · |s21 |2 · ∗ 2 1 − |s11 | 1 − |s22 |2 ΓL = s22 + Por último determinamos las redes de adaptación mediante la carta de Smith + Se demuestra que en este caso: G = GA = GT 5 2.3. Diseño para ganancia especificada (Cı́rculos de ganancia constante) + A veces es deseable trabajar con una ganancia menor a la máxima para: - Conseguir un determinado ancho de banda - Fijar un valor necesario (saturación) ⇒ Diseñamos las redes de entrada y salida para conseguir una GT especificada. Para ello usamos los cı́rculos de ganancia constante. Estudiamos sólo el caso unilateral ⇒ El error que cometemos al despreciar s12 está acotado por: 1 1 GT < < 2 (1 + U ) GT U (1 − U )2 donde U es la Figura de Mérito Unilateral, que se define como: U= |s12 ||s21 ||s11 ||s22 | (1 − |s11 |2 )(1 − |s22 |2 ) y se tolera un error de hasta décimas de dB + Cı́rculo de ganancia constante: lugares geométricos de ΓS y ΓL que dan lugar a unos valores fijos de GS y GL GS = 1 − |ΓS |2 |1 − s11 ΓS |2 GL = 1 − |ΓL |2 |1 − s22 ΓL |2 La solución viene dada por: √ gS s∗11 CS = 1 − (1 − gS )|s11 |2 CL = 1 − gS (1 − |s11 |2 ) 1 − (1 − gS )|s11 |2 √ 1 − gL (1 − |s22 |2 ) RL = 1 − (1 − gL )|s22 |2 RS = gL s∗22 1 − (1 − gL )|s22 |2 donde: GS 1 − |ΓS |2 = (1 − |s11 |2 ) GSmax |1 − s11 ΓS |2 0 ≤ gS ≤ 1 1 − |ΓL |2 GL (1 − |s22 |2 ) gL = = 2 GLmax |1 − s22 ΓL | 0 ≤ gL ≤ 1 gS = ya que: GSmax = 1 ; 1 − |s11 |2 GLmax = 6 1 ; 1 − |s22 |2 Comentarios: ß Los centros de cada familia de cı́rculos se encuentranen la recta dada por la fase de s∗11 y s∗22 ß Si gS = 1 (ó gL = 1) ⇒ RS = 0 (RL = 0) y el centro se reduce a s∗11 y s∗22 (lo esperado, ya que GS = GSmax y GL = GLmax ) ß Los cı́rculos de ganancia 0 dB (GS = 1, GL = 1) pasan por el centro de la Carta de Smith (se demuestra). Esto puede usarse para trazar los cı́rculos GSmax s11* GS=0 dB Ejemplo: Cı́rculos de ganancia constante de entrada (generador) + Por último elegimos ΓS y ΓL dentro de los cı́rculos correspondientes para conseguir la ganancia especificada + Notar que la elección no es única, pero es preferible elegir los puntos más próximos al centro de la Carta para minimizar la desadaptación + Alternativamente podemos elegir una desaptación que proporcione el mı́nimo ruido (apartado siguiente) 7 2.4. Diseño para mı́nimo ruido + Importante cuando se diseñan receptores + Domina el primer amplificador (Fórmula de Friis) + Normalmente no se puede conseguir a la vez máxima ganancia y mı́nimo ruido ⇒ COMPROMISO + Empleamos dos familias de cı́rculos: - Cı́rculos de ganancia constante - Cı́rculos de Figura de ruido constante + Para un amplificador de 2 puertos, un modelo equivalente para el ruido es: E + - I donde: E 2 = 4kTo RN ∆f I 2 = 4kTo GN ∆f siendo la figura de ruido es: F = Fmin + RN |YS − Yopt |2 GS donde: - YS = GS + jBS = Admitancia del generador - Yopt = Valor óptimo de la admitancia del generador (proporciona mı́nimo ruido) - Fmin = Figura de ruido mı́nima (dato) - RN = Resistencia equivalente de ruido del amplificador (dato) Estos valores dependen del punto de trabajo y la frecuencia 8 + Otra versión de esta fórmula (más práctica) es: F = Fmin + 4RN |ΓS − Γopt |2 Zo (1 − |ΓS |2 )|1 + Γopt |2 + Si introducimos el parámetro N (=parámetro de figura de ruido) definido como: N= |ΓS − Γopt |2 F − Fmin |1 + Γopt |2 = 2 1 − |ΓS | 4RN /Z0 Entonces, los lugares geométricos en ΓS para ruido constante son circunferencias definidas por: Γopt CF = N +1 p N (N + 1 − |Γopt |2 ) RF = N +1 + Comentarios: - Notar que sólo es para la entrada - Normalmente la admitancia de generador de mı́nimo ruido no coincide con la de máxima ganancia 9