• Enunciar y aplicar el teorema sobre la continuidad de la suma y el

Área de Ciencias Básicas y Ambientales:
Identificación de la asignatura
Asignatura: Cálculo Diferencial
Clave: CBM 102
Área Académica: Ciencias Básicas y Ambientales
Créditos: 5
Programas en los que se oferta: Todas las carreras
Fundamentación / Descripción de la asignatura:
Prerequisitos: CBM 101
Tipo de asignatura: Obligatoria
Propósitos generales
•
Ampliar y aplicar los conocimientos relativos a las funciones.
•
Caracterizar los límites como una operación aplicada a una función en un punto, estableciendo algunos teoremas
fundamentales sobre los mismos.
•
Estudiar todo lo relativo al concepto de continuidad en un punto y en un intervalo.
•
Estudiar analítica, física y geométricamente la derivada de una función.
•
Obtener las fórmulas generales para la derivación, capacitándose para calcular y aplicar la derivada de:
Polinomios
Funciones racionales
Funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones exponenciales
Funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas.
Aplicar los conocimientos adquiridos de cálculo diferencial a la solución de problemas diversos.
Propósitos específicos y/o competencias
Objetivo 1
•
Conocer las cuatro maneras de representar una función.
•
Usar modelos matemáticos en diversas situaciones problemáticas que requieran del uso de funciones.
•
Construir nuevas funciones usando funciones conocidas.
•
Definir, establecer dominio, establecer imagen, dar propiedades y graficar la función exponencial.
•
Definir, ejemplificar y aplicar el concepto de función biunívoca (biyectiva).
•
Definir inversa de una función.
•
Determinar para una función dada, si existe o no la inversa.
•
Obtener, en caso de que exista, la inversa de una función.
•
Restringir convenientemente el dominio de una función no inyectiva para que exista la inversa de la función.
•
Obtener la gráfica de la inversa de una función a partir de su gráfica.
•
Definir, establecer dominio, establecer imagen, dar propiedades, graficar y derivar la función logaritmo natural.
•
Usar la calculadora gráfica en situaciones diversas.
Objetivo 2
•
Estudiar los problemas de la tangente y la velocidad.
•
“Definir” intuitivamente el concepto de límite.
•
Enunciar el teorema de la unicidad del límite de una función y obtener límites laterales.
•
Enunciar los teoremas sobre límite de:
Una constante.
Una suma de funciones.
Producto de una constante por una función.
El producto de dos funciones.
Del cociente de dos funciones.
Una potencia.
Una raíz.
Una función intermedia o el teorema de la comprensión (encaje).
•
Utilizar los teoremas anteriores para encontrar el límite de una función dada.
•
Definir intuitivamente límites infinitos y asíntotas.
•
Definir y aplicar límites unilaterales infinitos.
•
Definir y aplicar continuidad y discontinuidad en un punto y en un intervalo.
•
Determinar si una función dada es continua en un punto.
•
Determinar el conjunto de puntos en los que una función es continua.
•
Enunciar y aplicar el teorema sobre la continuidad de la suma y el producto y el cociente de funciones
continuas.
•
Establecer la continuidad de las funciones polinomiales, racionales, raíz, trigonométricas, trigonométricas inversas,
exponenciales y logarítmicas.
Establecer y aplicar la continuidad para la composición de funciones.
Definir y determinar la discontinuidad evitable y esencial.
Redefinir una función que tenga discontinuidad evitable de manera que resulte continua.
Definir y obtener la pendiente de una recta tangente a una función dada como razón de cambio.
•
•
•
•
Definir y obtener la velocidad instantánea de un objeto móvil.
Definir y establecer la derivada de una función en un punto.
Interpretar y aplicar la derivada como razón instantánea de de cambio.
Definir, calcular y aplicar la derivada de una función en un punto variable (derivada como una función).
• Usar la calculadora en diversas situaciones problemáticas.
Objetivo 3
•
Enunciar, demostrar y aplicar los teoremas sobre derivadas de:
La función constante.
n
La función x , en donde n es entero positivo
Una constante por una función.
Suma de funciones.
Producto de funciones.
Cociente de funciones.
n
La función x , donde n es un número real (sólo enunciar).
•
Enunciar y aplicar el teorema de la regla de la cadena.
•
Obtener la derivada de las funciones exponenciales, trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas,
hiperbólicas, hiperbólicas inversas.
•
Definir y aplicar derivadas de orden superior.
•
Aplicar los teoremas anteriores para obtener derivadas de funciones implícitas.
•
Usar todo lo anterior para resolver problemas de tasas relacionadas.
•
Usar todo lo anterior para resolver problemas de razones de cambio en ciencias naturales y sociales.
•
Usar la calculadora en diversas situaciones problemáticas.
Objetivo 4
•
Definir los siguientes conceptos:
Valores máximo y mínimo relativos o locales de una función.
Valores máximo y mínimo absolutos de una función en un intervalo.
Valores extremos absolutos y relativos de una función.
Punto crítico de una función.
•
Enunciar y aplicar el teorema relativo a la existencia de valores extremos absolutos de funciones continuas en
intervalos cerrados.
•
Enunciar y aplicar el teorema de Fermat.
•
Aplicar el método del intervalo cerrado para hallar los valores máximos y mínimos absolutos de una función
continua sobre un intervalo cerrado [a, b].
•
Enunciar y aplicar el teorema de Rolle.
•
Enunciar y aplicar el teorema del valor medio.
•
Enunciar y aplicar el siguiente teorema:
Si f(x) = 0, para toda x en un intervalo abierto (a, b), entonces f es constante en (a, b).
•
Definir función creciente y decreciente.
•
Enunciar y aplicar el teorema sobre derivadas, que da las condiciones para qe una función sea creciente o
decreciente.
•
Enunciar y aplicar la prueba de la primera derivada para el cálculo de extremos relativos de una función.
•
Definir los siguientes conceptos:
Concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo en un punto y en un intervalo.
Punto de inflexión.
•
Enunciar y aplicar la prueba de concavidad.
•
Enunciar y aplicar la prueba de la segunda derivada.
0 ∞
•
Definir las formas indeterminadas: --, --0 ∞
•
Enunciar y aplicar las reglas de L’Hopital.
•
reconocer las formas indeterminadas: 0, ∞, ∞ - ∞, 1∞, ∞0, 0
0 ∞
y convertirlas a la forma --, --- ; calculando los límites correspondientes con ayuda de la regla de L’
0 ∞
•
Aplicar todo lo anterior al trazado de curvas.
•
Aplicar todo lo anterior en la solución de problemas de optimización y de economía.
•
Definir el concepto de antiderivada de una función en un intervalo.
•
Enunciar y aplicar el siguiente teorema:
•
•
•
•
•
•
•
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más general de f en I es
F(x) + c.
Calcular antiderivadas que involucren las funciones conocidas.
Resolver problemas relacionados con la geometría de de las antiderivadas.
Aplicar las antiderivadas en la solución de problemas del movimiento rectilíneo.
Contenidos básicos de la asignatura
Nombre y breve descripción de cada unidad o tema
Unidad 1. FUNCIONES Y MODELOS.
•
Cuatro maneras de representar una función.
•
Modelos matemáticos.
•
Nuevas funciones a partir de funciones ya conocidas.
•
Funciones exponenciales.
•
Funciones inversas.
•
Funciones logarítmicas.
•
Calculadoras gráficas.
Unidad 2. LIMITES Y DERIVADAS.
•
Problemas de la tangente y la derivada.
•
Límites de una función.
•
Cálculo de límites usando las leyes de los límites.
•
Continuidad.
•
Límites al infinito, asíntotas horizontales.
•
Tangentes, velocidades y otras razones de cambio.
•
Derivadas.
•
Uso de la calculadora.
Unidad 3. REGLAS DE DERIVACIÓN
•
Derivadas de polinomios y funciones exponenciales.
•
Reglas del producto y del cociente.
•
Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales.
•
Derivadas de las funciones trigonométricas.
•
Regla de la cadena.
•
Derivación implícita.
•
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
•
Derivadas de orden superior.
•
Derivadas de funciones logarítmicas.
•
Derivadas de funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas.
•
Tasas relacionadas.
•
Uso de calculadoras.
Unidad 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA.
•
Valores máximo y mínimo locales de una función.
•
Valores extremos absolutos de una función.
•
Punto crítico de una función.
•
Teorema de Fermat.
•
Teorema de Rolle.
•
Teorema del valor medio.
•
Función creciente y decreciente. Criterio de la primera derivada.
•
Concavidad hacia arriba y hacia abajo.
•
Punto de inflexión. Criterio de la segunda derivada.
•
Aplicaciones de la derivada.
•
Formas indeterminadas.
•
Reglas de L’Hopital
•
Trazado de curvas.
•
Problemas de optimización.
•
Antiderivada de una función.
Estrategias de enseñanza
Evaluación
Estrategia
Puntaje
Dos pruebas parciales
20 Puntos cada una
Puebines
30 Puntos
Examen final
30 Puntos
Bibliografía
Texto:
James Stuart; Cálculo de una variable (trascendentes tempranas). 4ta. edición.
Textos de consulta:
Thomas Finney; Cálculo y geometría analítica (6ta. edición); Adison-Wesley.
Pursel y Valbery; Cálculo con geometría analítica (6ta edición); Prentice May.
Dennis G. Zill; Cálculo con geometría analítica; Grupo editorial Iberoamérica.
Louis Liethol; Cálculo con geometría analítica (2da edición.). Grupo editorial Iberoamérica.
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4