Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real En una estructura de hormigón armado prefabricado, se desea calcular la armadura necesaria (longitudinal y transversal) de una viga biapoyada de 5 m de luz y de sección rectangular (b x h = 300 x 450 mm) que está sometida a una carga uniformemente repartida de 50 kN/m. Realizar las comprobaciones de flexión, cortante y fisuración. Además, determinar si es necesario realizar la comprobación a flecha. Datos: Límite elástico del acero (fyk) = 510 N/mm2. Resistencia característica del hormigón: (fck) = 35 N/mm2. 50 kN/m 5m 450 mm + 300 mm RA RB Cálculos previos Al ser una viga isostática, es sencillo calcular el flector y el cortante máximo, así como conocer las secciones que soportan estos máximos: 1 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Mmáx q ⋅ l2 50 ⋅ 52 = = = 156.25 m ⋅ kN 8 8 R A = Rb = q ⋅ l 50 ⋅ 5 = = 125 kN 2 2 Como el enunciado no nos hace referencia a ninguna limitación de ambiente, consideramos que la viga se encuentra en un Ambiente IIb (Exteriores, en ausencia de cloruros, expuestos a lluvia en zonas con precipitación media anual inferior a 600 mm) y los recubrimientos que adoptamos, suponiendo que el diámetro de los redondos de tracción va a ser 20 mm y que la armadura transversal va a estar constituida por barras de diámetro 8 mm, serán: rnom = ∆r + rmin = 0 + 25 = 25 mm Al tratarse de hormigón prefabricado, suponemos un control de ejecución intenso, por lo que hemos utilizado un margen de recubrimiento ∆r de 0 mm d′ = rnom + φ c + 1 1 φ = 25 + 8 + 20 = 43 mm 2 2 d = h − d' = 450 − 43 = 407 mm Cálculos a flexión Obtenemos el momento límite con objeto de saber si es necesario colocar armadura de compresión en el centro del vano desde el punto de vista estricto de cálculo. 0.85⋅f cd RC Mlim ylim d h σ1· A1 2 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real y Mlim = 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y lim ⋅ d − lim 2 Alargamiento Acortamiento εc2 3,5‰ 0,259· d 10‰ xlim εy εs1 Por la ecuación de compatibilidad de las deformaciones, ε yd d − x lim = εc 2 x lim fyk Como εc 2 = 3.5 ‰ y ε yd x lim = 510 γ = = s = 1.155 = 2.22 ‰, calculamos xlim E E 2 ⋅ 10 fyd 3 .5 εc 2 ⋅d = ⋅ 407 = 249 mm 2.22 + 3.5 ε yd + εc 2 y lim = 0.8 ⋅ x lim = 199.2 mm Mlim = 0.85 ⋅ 35 199.2 ⋅ 300 ⋅ 199.2 ⋅ 407 − = 364.3 m ⋅ kN 1 .5 2 M d = γ f ⋅ M = 1.6 ⋅ 156.25 = 250 m ⋅ kN Al ser Md < Mlim , comprobamos que no es necesaria la armadura de compresión. 0.85⋅fcd RC Md y d σ1· A1 3 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Para calcular la armadura, aplicamos las ecuaciones de la Estática: ∑ MA 1 = 0 y Md − 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y ⋅ d − = 0 2 250 ⋅ 106 − 0.85 ⋅ 35 y ⋅ 300 ⋅ y ⋅ 407 − = 0 1 .5 2 y 250 ⋅ 106 − 5950 ⋅ y ⋅ 407 − = 0 2 250 ⋅ 10 6 − 2421650 ⋅ y + 2975 ⋅ y 2 = 0 y1 = 121.3 mm y 2 = 692.7 mm Por tanto, y = 121.3 mm ∑ FN = 0 σ1 ⋅ A1 = 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y σs fyd 35 σ1 ⋅ A 1 = 0.85 ⋅ ⋅ 300 ⋅ 121.3 = 721.735 N 1 .5 x= y 121.3 = = 151.6 mm 0 .8 0 .8 E εyd εs 10‰ 0.259 ⋅ d = 105.4 mm Por tanto, 0.259 ⋅ d < x < x lim , por lo que la sección se encuentra en el dominio 3. En este dominio, σ 1 = f yd , de modo que: 4 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real A1 = 721735 = 1627.4 mm 2 510 1.15 Si elegimos barras de diámetro 20, obtendremos: 1627.4 = 5.2 → 6 φ20 20 2 π⋅ 4 Comprobamos que caben en la sección: 6φ20 : 25 + 8 + 6 ⋅ 20 + 5 ⋅ 20 + 8 + 25 = 286 mm < b Cuantía mecánica mínima: A S ≥ 0.04 ⋅ A c ⋅ AS = 6 ⋅ π ⋅ fcd f yd 202 = 1885 mm 2 4 A C = 450 ⋅ 300 = 135000 mm 2 35 0.04 ⋅ 135000 ⋅ 1.5 = 284.1 mm 2 510 1.15 Cuantía geométrica mínima: Según la EHE, para vigas y acero B 500S es 2.8‰ A 1CGM = 2.8 ⋅ 450 ⋅ 300 = 378 mm 2 1000 A 2CGm = 30% ⋅ A 1CGM = 113.4 mm 2 5 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Por tanto, adoptamos: A1 = 6φ20 A2 = 2φ16 Vamos, antes de seguir con los esquemas de armado, a determinar los puntos de momento mitad: Mmáx = 156.25 m ⋅ kN Mmáx q⋅l q ⋅ x2 = 78.125 = ⋅x− 2 2 2 78.125 = 125 ⋅ x − 25 ⋅ x 2 x1 = 0.73 m 25 ⋅ x 2 − 125 ⋅ x + 78.125 = 0 x 2 = 4.27 m 125 m⋅kN 125 m⋅kN 250 m⋅kN 0.73 m 3.54 m 0.73 m 6 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Longitudes de anclaje Cara superior: lbII = 1.4 ⋅ m ⋅ φ 2 </ fck = 35 B 500S f yk 14 ⋅φ m = 12 1.4 ⋅ 12 ⋅ 1.6 2 = 43 cm 510 ⋅ 1.6 = 58.3 cm 14 lbneta = lb ⋅ β ⋅ l bII,φ16 = 58.3 cm As A s,real β =1 As 113.4 = = 0.28 A s,real 402.1 2φ16 = 2 ⋅ π ⋅ 162 = 402.1 4 lbneta = 58.3 ⋅ 0.28 = 16.3 cm → 20 cm Cara inferior En este caso, las barras de la cara inferior se encuentran en Posición I, y la longitud de anclaje será: lbI = m ⋅ φ 2 </ f yk 20 φ 7 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real 12 ⋅ 22 = 48 cm 510 ⋅ 2 = 51 cm 20 lbneta = lb ⋅ β ⋅ lbI,φ20 = 51 cm As 1627.4 = 51⋅ 1⋅ = 44 cm A s,real 1885.0 Como no hemos tenido en cuenta el decalaje de los momentos máximos, adoptamos como distancia de seguridad Sd la expresión simplificada: S d = 0.85 ⋅ d = 0.85 ⋅ 407 = 346 mm Por tanto, en la cara superior dispondremos 2φ16 de principio a fin, doblando hacia abajo en los extremos una distancia de 20 cm. En la cara inferior, las tres barras que forman la armadura en los extremos se anclarán una distancia 44+34.6 = 78.6 cm, por lo que se adopta una longitud de anclaje de 80 cm. Obviamente esta longitud exige que la barra se doble hacia arriba y, al llegar a la cara superior, doblarse de nuevo hacia el interior del vano. También en la cara inferior, las barras del tramo central que se cortan a 73 cm de los apoyos, se prolongarán de lado a lado y se levantarán 10 cm en los apoyos. Comprobación a esfuerzo cortante V = 125 kN Vd = γ f ⋅ V = 1.6 ⋅ 125 = 200 kN Vu1 = 0.30 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ d Vu1 = 0.30 ⋅ 35 ⋅ 300 ⋅ 407 = 854.7 kN 1 .5 8 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real 1 Vu1 = 5 2 Vu1 = 3 1 ⋅ 854.7 = 170.9 kN 5 2 ⋅ 854.7 = 569.8 kN 3 1 2 Vu1 < Vd < Vu1 5 3 0.60 ⋅ d = 0.6 ⋅ 407 = 244.2 mm S t ≤ 15 ⋅ φ min = 15 ⋅ 16 = 240 mm φ> 1 φ máx = 4 mm 4 Teniendo en cuenta estos condicionantes, hemos adoptado cercos de φ8 separados 240 mm. Vu 2 = Vcu + Vsu Vcu = 0.10 ⋅ ξ ⋅ (100 ⋅ ρ 1 ⋅ f ck ) 1/ 3 ξ = 1+ ρ1 = ⋅b ⋅d 200 200 = 1+ = 1.70 407 d As >/ 0′02 b⋅d Al anclar la armadura de tracción se comprueba que en toda la sección va a haber 6φ20, por lo que se obtiene: As = 6 ⋅ ρ1 = π ⋅ 202 = 1885 mm 2 4 1885 = 1.54 ⋅ 10 − 2 300 ⋅ 407 ( Vcu = 0.10 ⋅ 1.70 ⋅ 100 ⋅ 1.54 ⋅ 10 − 2 ⋅ 35 ) 1 3 ⋅ 300 ⋅ 407 = 78408 N 9 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Para comprobar si la separación entre cercos cumple todas las limitaciones de la EHE, vamos a ver la condición impuesta de la fisuración por esfuerzo cortante. Fisuración por esfuerzo cortante: Vd − 3 ⋅ Vcu ⋅ senα Aα ⋅ d Vd − 3 ⋅ Vcu = 200 − 3 ⋅ 78.4 = −35.2 kN Por lo tanto, la limitación de St ≤ 300 mm se cumple. Vsu = A 90 ⋅ f y 90,α ⋅ 0.90 ⋅ d A 90 = π ⋅ 82 4 = 0.42 240 2⋅ Vsu = 0.42 ⋅ 510 ⋅ 0.90 ⋅ 407 = 68227 N 1.15 Vu 2 = Vcu + Vsu = 78408 + 68227 = 146635 N Vu 2 < Vd por lo que no es admisible. Si decidimos mantener como armadura transversal 2φ8, vamos a comprobar la separación que nos exige este esfuerzo cortante. Vd − Vcu = 200000 − 78408 = 121592 N 121592 = A 90 ⋅ 510 ⋅ 0.90 ⋅ 407 1.15 10 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real A 90 π ⋅ 82 2⋅ 4 = 0.75 = S S = 134 mm. Por tanto, adoptamos una separación entre cercos de 130 mm en la zona más solicitada a cortante, es decir, en las proximidades de los apoyos. A una distancia de 1.25 m de los apoyos, el esfuerzo cortante vale la mitad, Vd =100 kN. Una separación de 240 mm permite absorber con seguridad estos esfuerzos. Esta separación se mantiene en los 2.5 m centrales de la viga. Comprobación a fisuración Wk ≤ Wmáx Al der hormigón prefabricado, la anchura máxima de fisura vale: Wmáx = 0.2mm La anchura característica de fisura viene dada por la expresión: Wk = β ⋅ s m ⋅ ε sm β = 1 .7 s m = 2 ⋅ c + 0 .2 ⋅ s + 0 .4 ⋅ k 1 ⋅ φ ⋅ A c,eficaz As s es la distancia entre ejes de la armadura longitudinal en la sección de estudio. En este caso, la sección más desfavorable corresponde al vano central, donde la armadura traccionada es 6φ20. 300 − 2 ⋅ 25 − 2 ⋅ 8 − 2 ⋅ 20 = 194 mm 11 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real 194 − 4 ⋅ 20 = 114 mm 114 = 22.8 mm 5 s = 22.8 + 20 = 42.8 < 15 ⋅ φ k1 = 0.125 7.5 ⋅ φ = 7.5 ⋅ 20 = 150 A c ,eficaz = b ⋅ (7.5 ⋅ φ + c ) = 300 ⋅ (150 + 25 ) = 52500 mm 2 sm = 2 ⋅ 25 + 0.2 ⋅ 42.8 + 0.4 ⋅ 0.125 ⋅ ε sm σ σ = s ⋅ 1 − k 2 ⋅ sr Es σs σs = M = 0 .8 ⋅ d ⋅ A s 2 20 ⋅ 52500 = 86.4 mm π ⋅ 202 6⋅ 4 σ </ 0.4 s Es 156.25 ⋅ 10 6 = 254.6 N/mm 2 20 2 0.8 ⋅ 407 ⋅ 6 ⋅ π ⋅ 4 Ε s = 2 ⋅ 10 5 N/mm 2 σs = 1.27 ⋅ 10 −4 Εs k 2 = 0 .5 fctm = 0.30 ⋅ 3 fck2 = 3.210 12 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real σ sr fctm ⋅ b ⋅ h 2 3.210 ⋅ 300 ⋅ 450 2 = = = 1.248 M σs 156.25 ⋅ 10 6 [ ] ε sm = 1.27 ⋅ 10 −4 ⋅ 1 − 0.5 ⋅ 1.248 2 = 2.81⋅ 10 −5 < 0.4 ⋅ 0 .4 ⋅ σs Es σs = 5.1⋅ 10 −5 Εs WK = 1.7 ⋅ 86.4 ⋅ 5.1⋅ 10 −5 = 0.0075 < 0.2 mm Admisible a fisuración. Flecha Debemos establecer cuanto vale la relación L/d que exime calcular la flecha. Para ello, en primer lugar, debemos determinar si nos encontramos ante un elemento débil o fuertemente armado, teniendo en cuanta que el límite de la cuantía geométrica es del 1.2‰ π ⋅ 202 6⋅ A 4 = 1.54 % ρ= s = b ⋅ d 300 ⋅ 407 Por lo tanto es un elemento fuertemente armado. Como nos encontramos que es una viga biapoyada, la relación entre la luz y el canto útil L/d ha de ser menor o igual que 14. L 5000 = = 12.29 d 407 Como es menor que 14, no es necesario realizar la comprobación a flecha. 13