Unidad 4 4.1 Funciones trigonométricas inversas por medio de una integral Función Arcotangente (x) Longitud de un arco de circunferencia Tenemos que dada la circunferencia unitaria x2 + y 2 = 1 y la recta y = wx p x2 + y 2 = 1 ⇒ x = 1 − y 2 y y = wx ⇒ =w x Por lo tanto y y w =w ⇒ p =w ⇒ y= √ 2 x 1 + w2 1−y Por lo que su logitud en un intervalo de sera: [0, y] Z 0 y 1 √ dt = 1 − t2 Z √ 0 w 1+w2 1 √ dt 1 − t2 Z = |{z} t= √ u 1+u2 du dt= √ 1+u2 (1+u2 ) w Z = 0 w 0 r 1− 1 u2 1+u2 1 √ 2 1 + u (1 + u2 ) du 1 du 1 + u2 Denición 1. Denimos la función Z w du , para u ∈ R 1 + u2 arctan w = 0 Teorema 1. (a) arctan (−w) = − arctan(w), (b) La función arctan(w) es diferenciable en R y 0 ∀w∈R (arctan(x)) = Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II 1 , 1 + w2 ∀w∈R Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 1 Unidad 4 4.1 Funciones trigonométricas inversas por medio de una integral (c) La función arctan(w) es continua (d) La función arctan(w) es estrictamente creciente (e) Existe lı́m arctan(w) y w→∞ Demostración. lı́m arctan(w) w→−∞ Tenemos que para (a) Z −w arctan(−w) = 0 w Z 1 dt |{z} = − 1 + u2 0 u=−t du=−dt 1 (−1) dt = − 1 + (−t)2 Tenemos que para (b) d d (arctan(w)) = dw dw w Z 0 dt 1 + u2 = Z 0 w 1 du = − arctan(w) 1 + u2 1 1 + w2 Tenemos que para (c) Al ser arctan(w) diferenciable entonces es continua Tenemos que para (d) 0 (arctan(w)) = por lo tanto arctan(w) 1 >0 ⇔ w∈R 1 + w2 es estrictamente creciente en R Tenemos que para (e) w Z lı́m arctan(w) = lı́m w→∞ w→∞ 0 Para la primer integral se tiene Z 1 du = lı́m w→∞ 1 + u2 1 0 1 du < 1 + u2 Z 1 Z 0 1 du + 1 + u2 Z w 1 1 du 1 + u2 1 1 du = 1 0 Para la segunda integral como 1 1 < 2 ⇒ 2 1+u u w Z 1 Z 1 du < 1 + u2 1 por lo tanto lı́m arctan(w) < lı́m 1 + w→∞ w w→∞ 1 1 du = − + 1 2 u w −1 +1=2 w y por lo tanto si existe el limite. Analogamente existe lı́m arctan(w) w→−∞ Denición 2. El número π se dene Z π = 2 lı́m arctan(w) = 2 w→∞ Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II 0 ∞ 1 du 1 + u2 Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 2 Unidad 4 Como 4.1 Funciones trigonométricas inversas por medio de una integral arctan(w) es estrictamente creciente y acotada superiormente en (−∞, +∞), se tiene que existe la inversa. Denición 3. Denimos tan(x) = (arctan(x))−1 , π π x∈ − , 2 2 donde Como Como arctan(x) es creciente entonces tan(x) es creciente arctan(x) es continua entonces tan(x) es continua en su dominio Tenemos que 1 0 tan0 (x) = arctan−1 (x) = = 1 + (arctan−1 (x))2 = 1 + tan2 (x) 1 (1+arctan−1 )2 (x) Función Seno (x) y Coseno (x) Denición 4. Denimos 1 cos(x) = p 1 + tan2 (x) tan(x) sen(x) = p 1 + tan2 (x) y Ejercicio Calcular cos0 (x) Solución En este caso cos0 (x) = 1 p p !0 1 + tan2 (x)(1)0 − (1) = 2 1 + tan (x) tan(x)(1+tan2 (x)) √ 1+tan2 (x) = −p 2 1 + tan (x) tan(x) 1 + tan2 (x) = − sen(x) Ejercicio Calcular sen0 (x) Solución En este caso tan(x) sen0 (x) = p 1 + tan (x) = Ejercicio 2 q p 1 + tan2 (x)(1 + tan2 (x)) − tan(x) !0 = tan(x)(1+tan2 (x)) √ 1+tan2 (x) 2 1 + tan (x) 1 + tan2 (x) − p tan2 (x) =p 1 + tan2 (x) 1 1 + tan2 (x) = cos(x) Demostrar que arctan Solución √ x 1 − x2 = arcsin(x) En este caso arctan x √ 1 − x2 Z = √ x 1−x2 0 Facultad de Ciencias UNAM Cálculo Diferencial e Integral II 1 dt 1 + t2 Z = |{z} t= √ u 1−u2 0 x 1 √ (1−u2 ) du = 2 1 − u (1 − u2 ) Z 0 x √ 1 du = arcsin(x) 1 − u2 Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz 3