Nombre: r r a2 a Dado el campo electrostático D(r ) = rˆK 2 arctan determine las cargas que lo generan: r r −a a) Posición y densidad de posibles cargas volumétricas b) Posición y densidad de posibles cargas superficiales c) Posición y densidad de posibles cargas lineales d) Posición y valor de posibles cargas puntuales. Una representación del campo ayuda a localizar las distribuciones de carga: 5 2.5 π 2 0 − − 2.5 K ⋅ Dr Dr Electricidad y Magnetismo | Curso 20010/101 | Grupo 21.1 | Control del 20 de octubre del 2010 Apellidos: a 2 π 2 −5 − 7.5 − 10 − 12.5 − 15 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 r/a Figura 1: Representación de la componente radial del campo a) Cargas volumétricas: Su posición se podrá extender a todos los puntos en que exista campo y su densidad se puede calcular con la ley de Gauss en forma diferencial r 1 ∂ 2 1 ∂ 2 a2 a = r K 2 arctan ( ρv = ∇ ⋅ D = 2 r Dr ) = 2 r − a r ∂r r ∂r r 1 a3 −a C/m 3 = −K 2 2 2 2 a (r − a ) r (r − a ) + a 1+ r − a 2 b) Cargas superficiales; Su posición se limitará a las superficies en que haya discontinuidades de la componente r r normal del campo D y se pueden calcular con la condición de frontera nˆ ⋅ D2 − D1 = ρ S a2 =K 2 r [ ] ( Es este caso la única superficie de discontinuidad es r = a : ) S nˆ = rˆ r r π D1 = lim− D1 = − K rˆ ⇒ ρ S S r →a 2 r r π D2 = lim+ D2 = K rˆ S r →a 2 r =a = Kπ C/m 2 c) Cargas lineales: Su posición se limitará a las líneas en que no esté definido el campo. No hay ninguna de estas líneas, luego no hay cargas lineales. d) Cargas puntuales: Su posición se limitará a los puntos aislados en que no esté definido el campo, lo que en este caso se reduce al origen de coordenadas. Su valor se puede calcular como el límite al que tiende la carga encerrada dentro de un volumen que se hace tender a cero manteniendo el punto dentro. Tomando una superficie esférica de radio R: r r q 0 = lim QS R = lim ∫∫ D·dS = lim R →0 R →0 SR R →0 π 2π ∫ ∫ θ =0 ϕ= 0 K a2 a 2 arctan rˆ ⋅ rˆR sen θdϕdθ = 2 R − a R a 2 2 = lim 4πKa 2 arctan = −π Ka C R →0 R−a Como cierre, ahora que se han identificado las cargas, se puede proceder a calcular sus contribuciones y representarlas: r ⋅ ( r − a) + a 5 2.5 π 2 0 − 2 − 2.5 Dr/K·a·a π −5 − 7.5 − 10 Total Carga Puntual Carga Superficial Carga Volumetrica − 12.5 − 15 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 r/a Figura 2: Representación del campo creado por cada distribución de carga. Las contribuciones de las diferentes distribuciones son: r r π a2 Carga puntual: Dq (r ) = − K rˆ 4 r2 ; r<a r r 0 2 Carga superficial DS (r ) = a ˆ Kπ r 2 r ; a < r a2 π a K π + arctan rˆ ; r < a 2 r r r−a r 4 Carga volumétrica DV (r ) = 2 Kπ a − 3π + arctan a rˆ ; a < r r 2 4 r −a