Álgebra vectorial Dpto. p de Física Aplicada p III Universidad de Sevilla Las magnitudes físicas se dividen en escalares, vectores y tensores z Las diferentes magnitudes pueden ser: z Escalares z z Vectoriales z z z z Se caracterizan sólo por un número (con signo) Módulo (cantidad escalar positiva) Dirección Sentido Tensores de orden superior z Representables por matrices 2 Todas las leyes físicas poseen homogeneidad en sus expresiones z En todas las ecuaciones debe haber homogeneidad: z z z z Los dos miembros son del mismo tipo Todos los sumandos son del mismo tipo Un escalar nunca puede ser igual a un vector Un escalar nunca puede sumarse a un vector G G G G G A= B+C A= B+C G G A= B+C A= B+C Correcto z Incorrecto G Para distinguirlos, es importante incluir las flechas ( A ). En l libros, los lb los l escalares l van en cursiva (A) ( ) y los l vectores 3 en negrita (A) Operaciones internas con cantidades escalares: suma y producto z Pueden sumarse z z z z El resultado es un escalar Requiere que los sumandos tengan las mismas unidades El resultado tiene las mismas unidades que los sumandos Ejemplo: masa de un sistema n M = m1 + m2 + m3 + " = ∑ mi i =1 z V Pueden multiplicarse z z z M = ∫ dm El resultado es un escalar Sus unidades son el producto de las de los factores La suma y el producto poseen las propiedades asociativa y conmutativa. 4 Vector: ente que posee una dirección y un sentido z z Es un ente que además de su valor escalar (módulo) posee dirección y sentido. Ej.: Fuerza Un vector puede darse indicando z z Módulo y dos ángulos con los ejes (un ángulo en 2D) C Componentes respecto a una base b (siempre ( i h que indicar hay d la l base) G G G G F = 3ι + 2 j + k z ( N) Los vectores pueden ser libres o ligados z z Los ligados requieren dar el origen (ej. campo eléctrico) Los libres pueden trasladarse de un punto a otro (ej. resultante de un conjunto de fuerzas) 5 Los vectores pueden sumarse, empleando la regla del paralelogramo z z z z Los vectores pueden sumarse, resultando un vector. Ej. Resultante de dos fuerzas JG B JG JG JG JG JG JG JG JG A A A A+ B A+ B B JG B P d emplearse Puede l la l regla l del d l paralelogramo l l o poner uno a continuación del otro. Para que se puedan sumar deben ser libres o tener el mismo origen La suma verifica la propiedad asociativa y la conmutativa 6 Los vectores pueden multiplicarse por cantidades escalares z z Un vector puede multiplicarse por un número. Ej. fuerza eléctrica sobre una carga puntual G G F = qE JG G 3A A ×3= El resultado es otro vector z z z Misma dirección Mismo sentido, si q>0. Opuesto, si q<0 Módulo igual a G G F =q E 7 Combinaciones lineales: unen suma y productos por escalares z Reuniendo la suma de vectores y la multiplicación por escalares se obtienen las combinaciones lineales. Ej. Cantidad d d de d movimiento de dn un sistema G G G G G G G p = m1v1 + m2 v2 + m3v3 = ∑ mi vi p = ∫ v dm i =1 G A z G B G 2A M G G 2 A + 3B G 3B Al expresar las componentes de un vector en función de una base se hace una combinación lineal G G G G A = 2i + 3 j + k 8 Producto escalar: Operación entre vectores que produce un número Dos vectores pueden multiplicarse, resultando un escalar (ej. Trabajo realizado fuerza constante) G G porG una G F ·Δr = F Δr cos α G G F donde α es el ángulo que forman y Δr z El producto escalar se anula si los vectores son ortogonales. z Si tenemos las componentes en una base ortonormal G G G G ⎫⎪ G G F = Fx i + Fy j + Fz k G ⎬ F ·Δr = Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz G G G Δr = ( Δx ) i + ( Δy ) j + ( Δz ) k ⎪⎭ z 9 Producto escalar: propiedades z z El producto escalar es conmutativo El producto escalar NO es asociativo z z No se puede definir el producto escalar de tres vectores Se verifica la desigualdad G G G G G G A·B C ≠ A B·C ( ) z ( ) El producto escalar es lineal (se pueden “quitar quitar paréntesis”) G G G G G G G F1 + F2 ·Δr = F1 ·Δr + F2 ·Δr ( ) 10 Producto vectorial: operación entre vectores que produce otro vector z Dos vectores se pueden multiplicar dando como resultado un vector. Ej. momento de una fuerza G G G M = r ×F z Módulo G G G G G M = r × F = r F sen α (Área del paralelogramo definido por los vectores) z G G Dirección: la perpendicular a r y a F z Sentido: el dado por la regla de la mano derecha G M Gα r G F G M 11 Producto vectorial: expresión a partir de las componentes z z El producto vectorial se anula si los vectores son paralelos Si se conocen las componentes cartesianas, puede calcularse mediante un determinante G G G G i G r = xi + y j + zk ⎫⎪ G G G⎬ r × F = x G G G F = Fx i + Fy j + Fz k ⎪⎭ Fx G j y Fy G k z = Fz z G x z G x y G i− j+ k= Fz Fx Fy Fx Fz G G G = ( yFz − zFy ) i + ( zFx − xFz ) j + ( xFy − yFx ) k y = Fy 12 Producto vectorial: propiedades z z El producto vectorial es anticonmutativo G G G G r × F = −F × r El producto vectorial NO es asociativo G G G G G G A× B × C ≠ A× B × C G G G El doble p producto vectorial AG× B × C es una G combinación lineal de B y C G G G G G G G G G A × B × C = A·C B − A·B C G G G G G G G G G G G G A × B × C = −C × A × B = A·C B − C ·B A ( z ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) 13 Producto mixto: unión de un producto escalar y uno vectoriales z z Dados tres vectores puede calcularse su producto mixto G G G G G G ( A, B, C ) = A·( B × C ) Representa el volumen (con signo) del paralelepípedo definido por los tres vectores z Pueden intercambiarse los signos de producto G G G G G G ( ) ( ) A· B × C = A × B ·C z B C A Puede hallarse como un d t determinante i t Ax Ay Az G G G A· B × C = Bx By Bz Cx Cy Cz ( ) 14 Componentes de un vector z z Cada vector puede escribirse como combinación lineal de una base G G G G r = x ι + y j + zk Al cambiar de base cambian las componentes, pero NO cambia el vector G G G G r = x′ι ′ + y′ j ′ + z ′k ′ Y Y′ z Por eso no se deben indicar ′ y G G X′ los vectores como (x,y,z) j r G G ι′ y j′ G 15 X ι Observaciones finales z Los vectores y los escalares son entes diferentes que no deben igualarse ni sumarse z z z Al hacer h un producto d t debe d b observarse b qué é factores f t y de d que tipo de producto se trata z z z z z Suma de escalares: escalar Suma de vectores: vector Producto de escalares: escalar Escalar por un vector: vector Producto escalar de vectores: escalar Producto vectorial de vectores: vector Los vectores son independientes de la base 16