Antenas de apertura

ANTENAS
1
Antenas de apertura
Las antenas de dimensiones pequeñas comparadas con la longitud
de onda, como lo dipolos, espiras, monopolos, yagis , etc se analizan
a partir de la distribución de corrientes.
Cuando las antenas miden varias longitudes de onda, y
especialmente si existen superficies metálicas de formas curvadas, es
complicado calcular el vector de radiación de las corrientes. Esto
sucede a frecuencias de microondas, cuando la longitud de onda es
del orden de los centímetros.
En las denominadas antenas de apertura se conocen con un cierto
grado de aproximación los campos en la antena. El caso más simple
es la guía de ondas rectangular, que propaga el modo fundamental y
que se deja en circuito abierto. Se puede suponer que los campos en
la boca de la guía son los mismos que en el interior.
Otros ejemplos de antenas de apertura son las bocinas, que permiten
aumentar la directividad de las bocas de guía. Los campos en la
apertura se pueden calcular de forma simple a partir de los modos de
las guías, junto con términos de fase que tienen en cuenta la
propagación.
Las antenas de apertura se utilizaron de una manera amplia a partir
de la segunda guerra mundial, con el desarrollo de los sistemas de
radar y los sistemas de comunicaciones de microondas
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
ANTENAS
2
Principio de Huygens
El comportamiento de las antenas de microondas se puede explicar a
partir de conceptos generales de óptica geométrica (trazado de
rayos). Aunque dicha teoría tiene limitaciones importantes.
Por ejemplo se podría analizar la incidencia de una onda plana sobre
un cilindro metálico mediante trazado de rayos. Las reflexiones en la
superficie supondrían una dispersión de las ondas, y un efecto de
sombra como el indicado en la figura.
Dicho análisis lleva a conclusiones incorrectas. Un análisis
electromagnético exacto, basado en la resolución de las ecuaciones de
onda para los campo lleva a la siguiente solución para un cilindro de
3 longitudes de onda de diámetro. Se puede observar la interferencia
entre la onda incidente y las reflejadas y el efecto de sombra .
Los fenómenos básicos de difracción de la luz fueron explicados por
Huygens en el año 1690.
En el principio de Huygens se plantea que cada punto de un frente
de onda se comporta como un radiador secundario de ondas
esféricas, de forma que la envolvente de estas ondas forman a su vez
un nuevo frente de onda.
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3
Mediante el principio de Huygens se puede explicar la formación de
franjas de interferencia en una cámara oscura con una pequeña
abertura. También se puede explicar el efecto de las zonas de
penumbra en los eclipses.
Una antena se puede encerrar en un volumen que contenga todas las
fuentes, aplicando a continuación los conceptos de superposición de
ondas a cada punto de la superficie.
Desde un punto de vista matemático la solución de una ecuación
diferencial en un volumen sin fuentes es única si se conocen las
condiciones de contorno en la superficie.
En los fenómenos electromagnéticos es necesario fijar las condiciones
de contorno para las componentes tangenciales del campo eléctrico
y el campo magnético, equivalentes desde un punto de vista circuital
a generadores de tensión y de corriente.
Ecuaciones de Maxwell generalizadas con fuentes magnéticas
En las ecuaciones de Maxwell los campos se relacionan con las cargas
y corrientes eléctricas, pero no existen los equivalentes de cargas y
corrientes magnéticas de conducción. Las ecuaciones permiten
explicar la totalidad de fenómenos de radiación, pero en algunos
casos, como en el de las antenas de apertura conviene sustituir los
campos eléctricos y magnéticos por unas fuentes equivalentes. La
introducción del concepto de corriente magnética simplifica los
cálculos, como por ejemplo en las espiras, donde el problema del hilo
eléctrico circular podría estudiarse como una corriente magnética
perpendicular a la superficie que contiene a la espira.
Las ecuaciones de Maxwell generalizadas, con cargas τ y corrientes
G
magnéticas M serían.
G ρ
∇⋅E =
ε
G τ
∇⋅H =
µ
G
G G
∇ × H = jωε E + J
G
G G
∇ × E = − jωµ H − M
Las ecuaciones se pueden descomponer en los dos casos, eléctricos y
magnéticos y resolverlas por analogía.
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4
Soluciones generalizadas
Ecuaciones eléctricas
Ecuaciones magnéticas
Ecuaciones de Maxwell
G
∇⋅E = 0
G τ
∇⋅H =
G ρ
∇⋅E =
ε
G
∇⋅H = 0
G
G G
∇ × H = jωε E + J
G
G
∇ × E = − jωµ H
µ
G
G
∇ × H = jωε E
G
G G
∇ × E = − jωµ H + M
Definición de los potenciales
G 1
G
E = ∇× F
ε
G
G
H = − jω F − ∇Ψ
G
G 1
H = ∇× A
µ
G
G
E = − jω A − ∇Φ
Solución de los potenciales
Φ=
G G
1
G
G (r , r ') ρ (r ')dv '
ε ∫∫∫
v'
G
G G G G
A = µ ∫∫∫ G (r , r ') J (r ')dv '
v'
Ψ=
G G
1
G
G (r , r ')τ (r ')dv '
µ ∫∫∫
v'
G
G G G G
F = ε ∫∫∫ G (r , r ') M (r ')dv '
v'
Vector de radiación
G µ e − jkr G
A=
N
4π r
G
G G
G
N = ∫∫∫ J (r ')e jkrˆ⋅r ' dv '
v'
G ε e − jkr G
F=
L
4π r
G
G G
G
L = ∫∫∫ M (r ')e jkrˆ⋅r ' dv '
v'
Campos radiados
G
G
jk
H = − rˆ × A
G
G
jk
E = − rˆ × F
G
G
G
G
E = − jω ( A − rˆ ⋅ A) = jω (rˆ × (r × A))
G
G
E = η ( H × rˆ)
G
G
G
G
H = − jω ( F − rˆ ⋅ F ) = jω (rˆ × (r × F ))
G
G
E = η ( H × rˆ)
µ
µ
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5
Condiciones de contorno generalizadas
La aplicación de las ecuaciones de Maxwell en su forma integral a la
discontinuidad entre dos medios permite obtener las condiciones que
deben cumplir los campos
G
G
G
nˆ × H1 − H 2 = J s
G G
nˆ ⋅ D1 − D2 = ρ s
(
(
)
)
Es decir, en el caso de tener una lámina de corriente eléctrica aparece
un salto en el campo magnético.
En las ecuaciones generalizadas aparecen
contorno adicionales
las condiciones de
G G
G
nˆ × E1 − E2 = − M s
G G
nˆ ⋅ B1 − B2 = τ s
(
(
)
)
Es decir que para tener un salto en el valor del campo eléctrico entre
dos regiones, es necesario que exista una corriente magnética
laminar.
Dualidad
Las ecuaciones anteriores son duales, es decir que si se conoce la
solución del caso eléctrico se puede pasar a la solución del caso
magnético intercambiado los valores del campo eléctrico por el
magnéticos, o en general las siguientes parejas de valores
G
E
G
H
G
H
G
−E
G
A
G
F
φ
ψ
G
J
G
M
ρ
τ
ε
µ
µ
ε
G
D
G
B
G
B
G
−D
El dual del plano conductor perfecto, es el plano conductor
magnético.
Las condiciones de contorno duales son
G
nˆ × E = 0
G
nˆ × H = 0
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6
Radiación de corrientes eléctricas y magnéticas laminares
Supongamos una lámina de corriente eléctrica constante situada en
un plano en el espacio libre.
La solución para los campos serán dos ondas que se propagarán en
las direcciones perpendiculares al plano. El problema es equivalente
a una línea de transmisión en la que se conecta una fuente de
corriente.
G
H
G
E
G
Js
G
H
G
1G
H = J s × nˆ
2
G
G
E = ηH × nˆ
G
η G
E = − Js
2
n̂
G
E
I
2
∞
I
2
V =
I
()
I
Z
2 0
∞
Si la lámina fuese de corriente magnética, la solución también serían
dos ondas planas, y el equivalente sería una línea de transmisión con
una fuente de tensión.
G
E
∞
G
H
G
Ms
G
H
G
E
G
1 G
E = M s × nˆ
2
G
G
1
H = nˆ × E
η
G
1 G
H = − Ms
2η
I
( )
n̂
I
V
V
= IZ 0
2
∞
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7
La superposición de los dos problemas anteriores crea una onda
plana de amplitud 2 que se propaga en un solo sentido. En la línea de
transmisión aparece propagación en un solo sentido.
G
H
G G
E, H = 0
G
G
1 G
H = J s × nˆ = − M s
η
G
G
G
E = nˆ × M s = −ηJ s
n̂
G
E
∞
V = IZ 0
I
V,I = 0
I
∞
V
Si se desea que haya propagación en un solo sentido utilizando sólo
fuentes de tensión o de corriente es necesario añadir un cortocircuito
(plano conductor eléctrico) o un circuito abierto (plano conductor
magnético).
I
I =0
∞
∞
I
I
I =0
∞
V = IZ 0
V
V = IZ 0
∞
Las anteriores consideraciones nos llevan a las tres formulaciones del
teorema de equivalencia.
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8
Teorema de unicidad
El teorema de unicidad establece las condiciones que se deben
cumplir para garantizar que la solución a un problema regido por las
ecuaciones de Maxwell es única. Esto es siempre importante y
especialmente ahora que vamos a empezar a resolver problemas sin
emplear las fuentes reales y empleando en su lugar un conjunto de
corrientes equivalentes, cuyas características quedarán claras en el
punto siguiente cuando enunciemos el teorema de equivalencia.
El teorema establece la siguiente condición: Dado un volumen V
encerrado por una superficie S en cuyo interior no hay fuentes de
G
ningún tipo, si se conocen las componentes tangenciales a S de E
G
y/o H producidas por las fuentes exteriores a V, entonces la
solución que se obtenga para cualquier punto de V es única.
Para demostrar el teorema, se emplea el método de reducción al
absurdo, partiendo de la suposición de que existen dos soluciones
posibles en el interior de V, dado un conjunto de componentes
tangenciales de los campos en S.
G G
G G
Sean dos soluciones ( E1 , H1 ) y ( E2 , H 2 ) que satisfacen las ecuaciones
de Maxwell en V
G
∇ ⋅ E1 = 0
G
∇ ⋅ H1 = 0
G
G
∇ × H1 = (σ + jωε ) E1
G
G
∇ × E1 = − jωµ H1
G
∇ ⋅ E2 = 0
G
∇ ⋅ H2 = 0
G
G
∇ × H 2 = (σ + jωε ) E2
G
G
∇ × E2 = − jωµ H 2
Además ambas soluciones toman el mismo valor en la superficie S,
G
G
n̂ × E y n̂ × H
Si construimos una solución nueva, combinación de ambas, tal como
G
G
G
G
E2 − E1 y H 2 − H1 también debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell.
Si tomamos la divergencia del vector de Poynting asociado a esta
nueva solución,
G
G
G
G *
G
G *
G
G
G
G
G
G
∇ ⋅ ⎡ E2 − E1 × H 2 − H1 ⎤ = H 2 − H1 ⋅∇ × E2 − E1 − E2 − E1 ⋅∇ × H 2 − H1
⎢⎣
⎥⎦
G
G 2
G
G 2
− jωµ H 2 − H1 − (σ − jωε ) E2 − E1
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
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)
*
=
ANTENAS
9
Si ahora integramos en todo el volumen V y aplicamos el teorema de
la divergencia al lado izquierdo de la identidad anterior
G
G
G
G *
⎡ µ HG − HG 2 − ε EG − EG 2 ⎤ dV + σ EG − EG 2 dV
ˆ
E
H
H
n
dS
j
ω
−
×
−
⋅
=
2
1
2
1
2
1 ⎥
∫ ⎢⎣ 2 1
∫ 2 1
⎦
V
V
∫(E
S
) (
)
Sobre S, ambos conjuntos de campos son iguales por lo que la
integral de superficie es nula.
G
G 2
G
G 2
G
G 2
jω ∫ ⎡ µ H 2 − H1 − ε E2 − E1 ⎤ dV + σ ∫ E2 − E1 dV = 0
⎣⎢
⎦⎥
V
V
G
G
G
G 2
Dado que E2 − E1 > 0 , necesariamente E1 = E2 para que la integral
sea nula, y análogamente con el campo magnético.
Teorema de equivalencia
El teorema de equivalencia permite sustituir las fuentes originales
por otras equivalentes que conducen a la misma solución de las
ecuaciones de Maxwell en una región determinada. El teorema de
equivalencia se apoya en el teorema de unicidad cuando establece
cómo son estas corrientes equivalentes ya que deben elegirse de
modo que se obtenga la misma solución que con las fuentes
originales.
Observando la figura, y suponiendo que las únicas fuentes presentes
son las encerradas por la superficie S, los campos eléctricos y
magnéticos en el exterior de S se pueden calcular a partir de las
G
corrientes J , o bien, por el teorema de unicidad, si se conocen las
componentes tangenciales a S de los campos eléctrico y magnético,
también será posible obtener dicha solución en el exterior de S. Por
eso, si eliminamos las fuentes originales y añadimos unas nuevas,
éstas deben asegurar que se satisfacen las condiciones de contorno
existentes en S. Con este propósito podemos escoger precisamente
como corrientes equivalentes las proporcionadas por las condiciones
de contorno generalizadas, y que están asociadas a la existencia de
una discontinuidad en el campo eléctrico y magnético tangencial,
G
G
G
G
G G
M s = −nˆ × E1 − E2 y J s = nˆ × H1 − H 2 , siendo 1 el medio externo y 2
(
)
(
)
el medio interno y n̂ un vector unitario que apunta a la región donde
se desea obtener la solución; en este caso la 1. Dado que sólo estamos
interesados en obtener la solución en el medio 1, es posible
simplificar la obtención de las corrientes equivalentes obligando a
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q
u
e
e
l
10
G G
E, H
G
J
G G
Et , H t
G
J =0
G G
E, H = 0
G G
E, H
campo en la región 2 (región interna) sea nulo. En cuyo caso
podemos escribir las corrientes equivalentes más sencillamente como
G
G
J s = nˆ × H t
G
G
M s = − nˆ × Et
Alternativamente también es posible utilizar un modelo de
equivalencia en el que la región interna se rellena de un conductor
perfecto, lo que cortocircuita las corrientes eléctricas equivalentes
G
G
J s = nˆ × H
G
G
M s = − nˆ × E
G
G
M s = −nˆ × E
G
J =0
G G
E, H = 0
G G
En el primer caso las corrientes equivalentes J s , M s radian en espacio
G
libre, en el segundo caso las corrientes M s radian en presencia de un
cuerpo metálico de superficie S. el teorema de equivalencia asegura
que eligiendo las corrientes como se ha indicado, ambos problemas
proporcionan la misma solución y que además ésta es igual a la que
proporciona el problema original en la región ¡.
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Aperturas planas
El teorema de equivalencia permite determinar las corrientes
equivalentes a los campos de la apertura de la figura
n̂
G
G
J s = nˆ × H
G
G
M s = − nˆ × E
G G
Ea, H a
Los vectores de radiación eléctrico y magnético se calculan a partir
de las corrientes equivalentes
G
G G
G
G
N = ∫∫∫ Je jkrˆ⋅r ' ds ' = ∫∫ J s e jkrˆ⋅r ' ds '
v'
s'
G
G
G
G
G
L = ∫∫∫ Me jkrˆ⋅r ' ds ' = ∫∫ M s e jkrˆ⋅r ' ds '
v'
s'
Los campos radiados se calculan a partir de las componentes
tangenciales de los vectores de radiación.
Los campos radiados de las corrientes eléctricas son
G
E = − jω Aθθˆ + Aφφˆ
(
)
G
ω
− Aφθˆ + Aθ φˆ
H =−j
(
η
)
Y los campos radiados por las corrientes magnéticas son
G
H = − jω Fθθˆ + Fφφˆ
G
E = − jωη Fφθˆ − Fθ φˆ
(
(
)
)
La superposición de ambos efectos es
e − jkr
Eθ = − j
(η Nθ + Lφ )
2λ r
e − jkr
Eφ = − j
(η Nφ + Lθ )
2λ r
Eφ
Hθ = −
η
Hφ =
Eθ
η
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Campos radiados por una apertura plana (polarización
horizontal)
ŷ
G
Ea
x̂
En una apertura con campos polarizados horizontalmente
G
E = Ex xˆ
G
E
H = H y yˆ = x yˆ
Z0
Las corrientes equivalentes son
G
G
E
J s = nˆ × H = zˆ × yˆ x
Z0
G
G
ˆ x = − Ex yˆ
M s = −nˆ × E = − zˆ × xE
Los vectores de radiación
⎛ E
N x = ∫∫ ⎜ − x
Z0
s' ⎝
⎞ jkx x ' jk y y '
⎟ e e dx ' dy '
⎠
Ly = ∫∫ ( − Ex ) e jkx x 'e
jk y y '
dx ' dy '
s'
Para determinar los campos radiados es necesario realizar un cambio
del sistema de coordenadas cartesiano al esférico.
G
G
Nθ = N ⋅θˆ = N ⋅ ( cos θ cos φ xˆ + cosθ sin φ yˆ − sin θ zˆ )
G
G
Nφ = N ⋅ φˆ = N ⋅ ( − sin φ xˆ + cos φ yˆ )
G
Lθ = L ⋅θˆ
G
L = L ⋅ φˆ
φ
Las componentes del vector de radiación se obtienen a partir de la
proyección en los vectores unitarios en esféricas
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Los campos radiados, en función de los potenciales vectores eléctrico
y magnético son
Eθ = − j
e − jkr
(η N x cosθ + Ly ) cos φ
2λ r
e − jkr
Eφ = j
(η N x + Ly cosθ ) sin φ
2λ r
Finalmente, la expresión final para los campos radiados por una
apertura plana de forma arbitraria, con polarización horizontal es
Eθ = j
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
cos φ ⎜ cos θ + 1⎟ ∫∫ E ( x ', y ') e jk x x 'e y dx ' dy '
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
sin φ ⎜ + cos θ ⎟ ∫∫ E ( x ', y ' ) e jkx x 'e y dx ' dy '
Eφ = − j
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
Campos radiados por una apertura plana (polarización
vertical)
En una apertura con campos polarizados verticalmente
G
E = E y yˆ
G
E
H = H x xˆ = − y xˆ
Z0
Se puede realizar el desarrollo equivalente, o de una forma más
simple realizar un giro de 90 grados en los ejes coordenados en
cartesianas. La solución para los campos radiados es
Eθ = j
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
sin φ ⎜ cos θ + 1⎟ ∫∫ E ( x ', y ' ) e jkx x 'e y dx ' dy '
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
Eφ = j
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
cos φ ⎜ + cos θ ⎟ ∫∫ E ( x ', y ') e jkx x 'e y dx ' dy '
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
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14
Apertura elemental
En una apertura elemental en el espacio libre, con polarización
horizontal
G
E = E0 xˆ
G
E
H = H y yˆ = 0 yˆ
η
Los campos se pueden calcular teniendo en cuenta que los desfases
son despreciables
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
cos φ ⎜ cos θ + 1⎟ ∫∫ E ( x ', y ') e jk x x 'e y dx ' dy '
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
− jkr
⎛η
⎞
e
jk y '
sin φ ⎜ + cos θ ⎟ ∫∫ E ( x ', y ' ) e jkx x 'e y dx ' dy '
Eφ = − j
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
Eθ = j
Calculando las integrales y sustituyendo la impedancia de la onda
por la del espacio libre, queda
e − jkr
cos φ (1 + cosθ ) E0 ∆s
Eθ = j
2λ r
e − jkr
sin φ (1 + cosθ ) E0 ∆s
Eφ = − j
2λ r
La densidad de potencia radiada es máxima en la dirección
perpendicular a la apertura, con un nulo en la dirección opuesta. El
diagrama es tipo cardioide.
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15
( E ∆s )
( E ∆s )
2
P (θ , φ ) = 0 2 2 (1 + cosθ ) = 0 2 2
2
η 4λ r
2
ηλ r
cos 4
θ
2
La potencia total radiada se calcula a partir de la integral de la
densidad de potencia en una esfera que encierre a las fuentes
( E ∆s ) 2π π
2
Wt = ∫∫ P (θ , φ )ds ' = 0 2 ∫ ∫ (1 + cosθ ) sin θ dθ dφ
η 4λ
2
s'
0 0
( E0 ∆s ) 4π
2
Wt =
ηλ 2
3
La Directividad, calculada a partir de la densidad de potencia y la
potencia total radiada es D=3
Aperturas uniformes de forma arbitraria
En general los campos radiados por una apertura se pueden expresar
como el producto de una onda esférica, el diagrama de la apertura
elemental y un término de interferencia que es proporcional a la
transformada de Fourier bidimensional de los campos en la apertura.
G
Eθ , Eφ ∝ ∫∫ E ( x ', y ' ) e jkrˆ⋅r ' dx ' dy ' = ∫∫ E ( x ', y ' ) e jkx x 'e
s'
jk y y '
dx ' dy '
s'
Si el campo en la apertura es constante el diagrama se puede calcular
a partir de la integral
F ( k x , k y ) = ∫∫ e
jk x x '
e
jk y y '
dx ' dy ' =
xmax
∫
− xmin
s'
f2 ( x )
e
jk x x '
⎛ f2 ( x ) jk y ' ⎞
⎜ ∫ e y dy ' ⎟ dx '
⎜ f ( x)
⎟
⎝ 1
⎠
ŷ
G
Ea
f1 ( x )
xmin
x̂
xmax
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16
Transformadas de Fourier de la iluminación uniforme
Cuadrado de lado a
Hexágono de lado a
Cuadrado girado 450
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17
Margen visible de las aperturas
Se ha visto que los campos radiados son directamente proporcionales
a la transformada de Fourier bidimensional. El diagrama de
radiación será función de las variables de frecuencia espacial
k x = k sin (θ ) cos (φ )
k y = k sin (θ ) sin (φ )
Los valores máximos y mínimos de las variables kx,ky son –k y +k.
En general los valores de k estarán en el interior de un círculo de
radio k en el plano kx,ky,
El círculo corresponde a la intersección de la esfera con el plano kx,ky
k x2 = k 2 sin 2 θ cos 2 φ
k y2 = k 2 sin 2 θ sin 2 φ
k x2 + k y2 = k 2 sin 2 θ ≤ k 2
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ANTENAS
18
Los cortes del diagrama de radiación corresponden, para aperturas
con fase constante a planos φ = cte . Los valores en el plano
frecuencial corresponden a la recta
k y = k x tan (φ )
La zona que se encuentra fuera del margen visible no contribuye a la
radiación, pero supone una energía reactiva almacenada. Se cumple
la condición
k x2 + k y2 > k 2
La posición del máximo de la transformada de Fourier bidimensional
determina la dirección del espacio del diagrama
k ym
tan (φm ) = m
kx
2
⎛ k ⎞ ⎛ ky ⎞
sin (θ m ) = ⎜ x ⎟ + ⎜ ⎟
⎝k ⎠ ⎝ k ⎠
2
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19
Apertura rectangular
Los campos radiados por una apertura rectangular de dimensiones
a,b con campos con polarización horizontal son
Eθ = j
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
cos φ ⎜ cos θ + 1⎟ ∫∫ E ( x ', y ') e jk x x 'e y dx ' dy '
2λ r
Z
⎝ 0
⎠ s'
Eφ = − j
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
sin φ ⎜ + cos θ ⎟ ∫∫ E ( x ', y ' ) e jkx x 'e y dx ' dy '
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
En el caso de una apertura con distribución de campos separables en
el producto de dos funciones las expresiones de los campos se
pueden simplificar
∫∫ E ( x ', y ') e
jk x x '
e
jk y y '
dx ' dy '
s'
E ( x ', y ' ) = E0 f ( x ' ) g ( y ' )
∫∫ E ( x ', y ') e
jk x x '
e
jk y y '
s'
dx ' dy ' = E0 ∫ f ( x ' ) e jkx x ' dx ' ∫ g ( y ')e
x'
jk y y '
dy '
y'
Las dos integrales unidimensionales son transformadas de Fourier
de la distribución de campos
F (k x , a) =
a
2
∫ f ( x ') e
jk x x '
dx '
jk y y '
dy '
a
−
2
G ( k y , b) =
b
2
∫ g ( y ') e
b
−
2
Diagrama de radiación en el plano E
El plano E está definido por la dirección de máxima radiación (eje z)
y el campo eléctrico en dicha dirección (eje x)
Por lo tanto el plano E es el plano XZ, las números de onda son
k x = k sin (θ ) cos (φ ) = k sin (θ ) cos ( 0 ) = k sin (θ )
k y = k sin (θ ) sin (φ ) = k sin (θ ) sin ( 0 ) = 0
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ANTENAS
20
El diagrama de radiación es
e − jkr
Eθ = j
2λ r
⎛η
⎞
⎜ cos θ + 1⎟ E0 F ( k x , a ) G ( 0, b )
⎝ Z0
⎠
Eφ = 0
Diagrama de radiación en el plano H
El plano H está definido por la dirección de máxima radiación (eje z)
y el campo magnético en dicha dirección (eje y)
Por lo tanto el plano H es el plano YZ, las números de onda son
⎛π ⎞
k x = k sin (θ ) cos (φ ) = k sin (θ ) cos ⎜ ⎟ = 0
⎝2⎠
⎛π ⎞
k y = k sin (θ ) sin (φ ) = k sin (θ ) sin ⎜ ⎟ = k sin (θ )
⎝2⎠
El diagrama de radiación es
Eθ = 0
e − jkr
Eφ = − j
2λ r
⎛η
⎞
⎜ + cos θ ⎟ E0 F ( 0, a ) G ( k y , b )
⎝ Z0
⎠
Campo radiado en la dirección del máximo
La dirección del máximo de radiación es el eje z, para una apertura
plana de forma arbitraria es
Em =
⎞
1 ⎛η
⎜ + 1⎟ ∫∫ Ea ds '
2λ r ⎝ Z 0 ⎠ s '
En el caso particular de una apertura rectangular con distribución de
campo separable el campo en la dirección del máximo es
Em =
⎞
1 ⎛η
⎜ + 1⎟ E0 ∫ f ( x ') dx ' ∫ g ( y ' ) dy '
2λ r ⎝ Z 0 ⎠ x '
y'
Em =
⎞
1 ⎛η
⎜ + 1⎟ E0 F ( 0, a ) G ( 0, b )
2λ r ⎝ Z 0 ⎠
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ANTENAS
21
Potencia total radiada
La potencia total radiada en una apertura arbitraria es
Wt =
1
E
η ∫∫
2
a
ds
s'
En el caso de una apertura separable
Wt =
E02
η
∫ f ( x ') dx ' ∫ g ( y ') dy '
2
x'
2
y'
Transformadas de aperturas rectangulares
Las aperturas rectangulares separables pueden tener distribuciones
de campos distintas de la uniforme, por ejemplo los diversos modos
una guía de onda.
F (k x , a) =
a
2
∫ f ( x ') e
jk x x '
dx '
jk y y '
dy '
a
−
2
G ( k y , b) =
b
2
∫ g ( y ') e
b
−
2
Las transformadas de algunas funciones (uniforme, triangular,
coseno, coseno cuadrado) se detallan en la siguiente tabla, para las
a
transformadas según x: u = k x . El cálculo de los anchos de haz y
2
nivel de lóbulo pricipal a secundario se calcula de forma similar al
proceso seguido para distribuciones lineales de corrientes.
Los valores de u máximo y mínimo para el eje x, son umax=ka/2 ,
umin=-ka/2.
Al igual que en antenas unidimensionales o
agrupaciones el ancho de haz disminuye proporcionalmente a las
dimensiones de la apertura.
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22
Distribución
Ancho
haz –3
dB
50.6
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝λ ⎠
Transformada
1
a
sin ( u )
u
NLPS
(dB)
13.2
2
⎛ ⎛u⎞⎞
sin
a ⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟
⎜
⎟
2⎜ ⎛u⎞ ⎟
⎜ ⎜2⎟ ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠
π cos ( u )
a
2 ⎛ π ⎞2
2
⎜ ⎟ −u
2
⎝ ⎠
⎛ 2 ⎞
⎜1 − x ' ⎟
⎝ a ⎠
⎛π ⎞
cos ⎜ x ' ⎟
⎝a ⎠
26.4
68.8
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝λ ⎠
83.2
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝λ ⎠
a sin ( u ) ⎛ π 2 ⎞
⎜
⎟
2 u ⎝ π 2 − u2 ⎠
⎛π ⎞
cos ⎜ x ' ⎟
⎝λ ⎠
2
0
73.4
⎛a⎞
⎜ ⎟
⎝λ ⎠
23.2
31.5
0
10
t1( u)
t2( u)
20
t3( u)
30
− 40 40
0
0
2
4
6
u
8
10
10
Gráfica comparativa de las transformadas de las funciones uniforme,
coseno y triangular, en escala logarítmica.
Las dimensiones de las aperturas están relacionadas directamente
con el ancho de haz. En la siguiente gráfica se comparan los
diagramas de radiación para una apertura cuadrada uniforme en
función de sus dimensiones normalizadas a la longitud de onda.
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ANTENAS
23
También se comparan los diagramas 3D para distintas dimensiones
de una apertura rectangular.
1x1
2x2
b=8
a=8
a=4
b=4
3x3
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24
Directividad de las aperturas
La directividad se puede obtener a partir del campo radiado en la
dirección de máxima radiación y de la potencia total radiada, en el
caso de aperturas en el espacio libre
2
P
4π r 2 Eθ + Eφ
D= m =
Wt
η
Wt
4π r 2
2
2
⎛
⎞
⎜ ∫∫ Ea ( x ', y ') ds ' ⎟
4π
⎠
D = 2 ⎝ s'
2
λ
∫∫ Ea ( x ', y ') ds '
s'
La directividad en caso de aperturas separables es
⎛ a2
⎞
⎜
⎟
⎜ ∫ f ( x ' ) dx ' ⎟
a
⎟
4π ⎜ −
⎠
D = 2 ⎝a2
λ ⎛2
⎞
⎜
⎟
2
⎜ ∫ f ( x ') dx ' ⎟
⎜ −a
⎟
⎝ 2
⎠
2
2
⎛ b2
⎞
⎜
⎟
⎜ ∫ g ( y ' ) dy ' ⎟
⎜ −b
⎟
⎝ 2
⎠
b
⎛2
⎞
⎜
⎟
2
⎜ ∫ g ( y ') dy ' ⎟
⎜ −b
⎟
⎝ 2
⎠
Las integrales se pueden expresar de forma más compacta utilizando
los cambios de variable
2
s=
x'
a
⎛ a2
⎞
⎛ 12
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ∫ f ( x ' ) dx ' ⎟
⎜ ∫ f ( s ) ds ⎟
⎜ −a
⎟
⎜ 1
⎟
⎝ 2
⎠ = a ⎝ −2
⎠
1
a
⎛2
⎞
⎛2
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
⎜ ∫ f ( x ' ) dx ' ⎟
⎜ ∫ f ( s ) ds ⎟
⎜ −a
⎟
⎜ −1
⎟
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
y'
b
⎛ b2
⎞
⎛ 12
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ∫ g ( y ' ) dy ' ⎟
⎜ ∫ g ( t ) dt ⎟
⎜ −b
⎟
⎜ 1
⎟
⎝ 2
⎠ = b ⎝ −2
⎠
b
1
⎛2
⎞
⎛2
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
⎜ ∫ g ( y ' ) dy ' ⎟
⎜ ∫ g ( t ) dt ⎟
⎜ −b
⎟
⎜ −1
⎟
⎝ 2
⎠
⎝ 2
⎠
2
t=
2
2
La fórmula final para la directividad es
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25
D=
4π
λ
2
abηilxηily =
4π
λ
2
abηil =
4π
λ2
Aef
Las eficiencias de iluminación se calculan a partir de las
distribuciones
2
⎛ 12
⎞
⎜
⎟
⎜ ∫ f ( s ) ds ⎟
⎜ −1
⎟
⎠
ηilx = ⎝ 12
⎛2
⎞
⎜
⎟
2
⎜ ∫ f ( s ) ds ⎟
⎜ −1
⎟
⎝ 2
⎠
2
⎛ 12
⎞
⎜
⎟
⎜ ∫ g ( t ) dt ⎟
⎜ −1
⎟
⎠ b
ηily = ⎝ 12
⎛2
⎞
⎜
⎟
2
⎜ ∫ g ( t ) dt ⎟
⎜ −1
⎟
⎝ 2
⎠
2
⎛ 12
⎞
⎜
⎟
2
⎜ ∫ f ( s ) ds ⎟
⎜ −1
⎟
⎝ 2
⎠
ηilx
1
1
1
f ( s ) = (1 − 2 s )
1/4
1/3
3/4
f ( s ) = (1 − 2 s )
1/144
1/80
0.55
(2/π)2
1/2
8/π2
⎛ 12
⎞
⎜
⎟
⎜ ∫ f ( s ) ds ⎟
⎜ −1
⎟
⎝ 2
⎠
1
1
− <s<
2
2
f (s) = 1
2
f ( s ) = cos (π s )
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26
Tabla comparativa de diagramas de radiación de aperturas
cuadradas en función de la distribución de campos.
coseno
triangular
triangular
coseno
uniforme
uniforme
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