SOLUCIONARIO ENSAYO EX CÁTEDRA Nº 2 MATEMÁTICA Curso

Curso: Matemática
SOLUCIONARIO
ENSAYO EX CÁTEDRA Nº 2
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es D
El inverso multiplicativo de
1
1
3+2
5
1
+
=
=
es x + y, luego x + y =
x+y
2
3
6
6
2. La alternativa correcta es B
a=4·
1
4
1
8
4
1
6
3
= ;b=8·
= ;c=6·
= . Luego, a = b > c
=
=
3
3
6
6
3
8
8
4
3. La alternativa correcta es D
El sucesor impar de 17 es 19 y el antecesor primo de 11 es 7. Luego, Matías
tiene 19 + 7 = 26 años, y como su hermano es 5 años mayor la edad de éste
será 26 + 5 = 31 años.
4. La alternativa correcta es B
5
=
9
Rosita. Luego, la edad de Rosita es 10 años. En 6 años
16
=
16 años y la de Claudia 24 años. La nueva razón será
24
Como Claudia tiene 18 años, formamos la proporción
x
, para obtener la edad de
18
más la edad de Rosita será
2
.
3
5. La alternativa correcta es E
5
1
1
1
1
·5 =
le queda
de 5 , es decir:
6
6
2
6
2
5
11

Luego derrama
, lo que significa que le queda:
12
12
Como ocupa
1 11
11
·
=
kilos
6
2
12
5
6
1
=
=
kilo
12
12
2
6. La alternativa correcta es C
A=
1
1
4  3
1

=
=
3
4
12
12
B=
1 1
1
· =
, luego A = B
3 4 12
7. La alternativa correcta es A
Para determinar el orden de estas fracciones, se buscarán fracciones equivalentes que
tengan igual denominador, y luego se compararán los numeradores. A mayor numerador
mayor es el valor de la fracción.
a=
4
24
7
21
=
=
,b=
n
6n
2n
6n
y
Luego el orden decreciente es:
c=
13
26
=
3n
6n
c>a>b
8. La alternativa correcta es B
Si en 1 segundo recorre 60 metros, en 60 segundos recorre 60 · 60 = 3.600 metros
9. La alternativa correcta es E
Trabajando sobre las expresiones:
I)
II)
III)
b – a > 0  0 > a. (Verdadero)
a – b  0  a  0. Verdadero, ya que a  0  a < 0 ó a = 0 (no ambas).
Basta que se cumpla una de ellas para que sea verdadero.
-a > -b, al multiplicar la expresión por -1, se obtiene a < 0. (Verdadero)
10. La alternativa correcta es D
Como un cubo tiene 6 caras y el 50% de ellas es 3, es decir, hay 3 caras pintadas rojas
en el cubo A.
El cubo B sólo tiene 4 caras pintadas de color rojo, debido a la información del problema.
Por lo tanto el total de caras rojas de ambos cubos es de: 3 + 4 = 7.
2
11. La alternativa correcta es C
Si  = 60º, al disminuirlo en el 25% de su medida, es decir:
25% de 60º =
25
1
· 60º =
· 60º = 15º. Entonces,  = 60º – 15º = 45º. Luego el
100
4
complemento de 60º que es 30º, aumenta en 15º, para transformarse en 45º.
Para obtener el porcentaje de aumento se resuelve la siguiente proporción:
15
x
15 · 100
=
 x=
= 50%
30
100
30
12. La alternativa correcta es A
6·
10
· 15 = p2q2r2
9
p2q2r2 = 100  pqr = 10
13. La alternativa correcta es B
m + n = 3  (m + n)2
m2 + n2 + 2mn
8 + 2mn
2mn
=
=
=
=
9
9
9
1
1
mn =
2
14. La alternativa correcta es D
4x=
3
16

3
/:3
16
1
4x =
16
4x = 4-2
x = -2
3 · 4x =
3
15. La alternativa correcta es B
[A – A-1 · B] · A-1 = A · A-1 – A-1 · A-1 · B
= 1 – A-2 · B
-2
 1 
=1–  
 2a 
·
1
3a
2
1
 2a 
=1–   ·
3a
 1 
=1–
4
4a2
=1– a
3
3a
16. La alternativa correcta es B
-b
Coordenadas del vértice  , f
 2a
-b
-1
=
Por lo tanto:
= -1
1
2a
2·
2
-b
 2a  


y
f(-1) =
1
5
(-1)2 + (-1) +
=2
2
2
 V = (-1, 2)
17. La alternativa correcta es C
Sea a la medida de cada uno de los lados iguales del triángulo. Luego la base mide
a + x.
Entonces, a + a + a + x = 60  3a = 60 – x
x
a = 20 –
3
2
 a + x = 20 + x
3
18. La alternativa correcta es E
Simón
Rocío
Edad hace 4 años
15
n
Edad actual
19
n+4
Entonces, la suma de las edades actuales es: 19 + (n + 4) = n + 23
4
19. La alternativa correcta es A
(a2  a  20)(a2  a  2)
2
2
a(a  25)(a + 2a  8)
:
a+1
2
a + 5a
=
(a  5)(a + 4)(a  2)(a + 1)
a+1
:
a(a  5)(a + 5)(a + 4)(a  2) a(a + 5)
=
(a  5)(a + 4)(a  2)(a + 1) · a · (a + 5)
a · (a  5)(a + 5)(a + 4)(a  2)(a + 1)
=
1
20. La alternativa correcta es B
-a-2 · -b7
(a3 )2 · b-10
=
a-2 · b7
a6 · b-10
=
a-2 – 6 · b7 – (-10) = a-8 · b17
21. La alternativa correcta es E
Sean m = número total de manzanas y n = número total de naranjas.
2
2
3
Entonces, 66 %m = m y 75%n = n.
3
3
4
Como el número de manzanas y de naranjas en mal estado son iguales, se tiene:
2
3
9
m = n de donde m = n.
3
4
8
9
17
Luego, el total de fruta es m + n =
n + n =
n y el total de fruta en mal estado es
8
8
3
3
2 · n = n.
4
2
3
n
12
2
=
Por lo tanto la fracción pedida es:
17
17
n
8
22. La alternativa correcta es E
x  y
a
x
a


=
 1=
y
b
y
b
x
a
=
+1 
y
b
5
x
a+b
=
y
b

y
b
=
x
a+b
23. La alternativa correcta es B
1
m – 5, le faltan para completar
4
1
3
1

m   m  5 = m  m + 5 = m + 5
4
4
4

Como ha completado
24. La alternativa correcta es C
La opción C muestra que una paralela al eje y intersecta al gráfico y a un punto, por lo
tanto hay dos valores para x.
Luego, no es función.
25. La alternativa correcta es E
Se deben expresar ambos lados de la igualdad como potencias de igual base:
 1 
 32 


x
= 84x + 3
(2-5)x = (23)4x + 3
2-5x = 212x + 9
Luego, utilizando la propiedad: am = an  m = n, con a distinto de -1, 0 y 1, se tiene:
-5x = 12x + 9
-9 = 17x
-9
=x
17
26. La alternativa correcta es C
-2 < 1 – 3x  7
-3 < -3x  6
1 > x  -2  -2  x < 1
6
27. La alternativa correcta es A
Si (1, 2) es la solución del sistema, entonces reemplazaremos los valores de x e y por 1
a + 2b = 3
y 2, respectivamente. Así el sistema queda de la siguiente forma
.
2a  2b = 9
Luego resolvemos este sistema por el método de reducción, obteniéndose
3a = 12  a = 4
28. La alternativa correcta es E
Se deben expresar en cada caso igualdad de potencias de igual base y aplicar la
propiedad an = am  n = m.
I)
II)
5x =
1
53
x33 =
3
= 5-3  x = -3 (Verdadero)
-81  x =
3
- 81
=
3
3
-27
3
= - 33 = -3 (Verdadero)
III)
x = - 9 = -3 (Verdadero)
29. La alternativa correcta es C
I)
Al despejar y en la ecuación x + 3y – 6 = 0, se obtiene y = Luego, m = -
II)
1
x + 2.
3
1
(Falso).
3
Al reemplazar y = 0 en la ecuación dada se obtiene x = 6  A(6, 0); y al
reemplazar x = 0, se obtiene y = 2  B(0, 2). Por lo tanto x + y = 8
(Falso).
III)
Se forma un triángulo rectángulo de catetos 6
(Verdadero).
7
y
2  Ár =
6·2
= 6
2
30. La alternativa correcta es A
f(-3) = -2 – 3(-3)  -2 + 9  -11  -(11) = -11
31. La alternativa correcta es A
f(g(2)) = [-2 – 2,5]
= [-4,5]
= -5
32. La alternativa correcta es A
I)
Para m = -6  x2 + 6x + 9 = y  b2 – 4ac = 36 – 4 · 1 · 9 = 0.
 La parábola intersecta en un solo punto al eje x (Verdadero).
II)
Para cualquier valor de m entre -6 y 6 la parábola no intersecta al
eje x (Falso).
III)
Para cualquier valor de m menor que -6, la parábola intersecta en 2 puntos
al eje x (Falso).
33. La alternativa correcta es E
Como una función es par cuando se cumple f(x) = f(-x), entonces por definición de valor
absoluto es verdadera la opción E.
34. La alternativa correcta es C
Utilizando la propiedad cambio de base se tiene:
logb logc
·
loga logb
logc
=
loga
= loga c
log b · log c =
a
b
8
35. La alternativa correcta es B
De la observación del gráfico:
I)
f(0) = 0 y f(3) = 0. (Verdadero)
II)
No existen “saltos” entre [-2, 4]. (Verdadero)
III)
f(x) es creciente a partir de x = 2 y no de x = 1. (Falso)
36. La alternativa correcta es D
g(3) = g(4 – 1) = f(3 · 4 – 9)
= f(3)
 f(3) = 3 · 32 – 3 + 2
= 26
37. La alternativa correcta es A
El área de un rombo está dada por el producto de su base por la altura: A = b · h.
Si su altura se triplica y su base se reduce a la tercera parte quedaría así:
b
A=
· 3h = b · h, por lo tanto se mantiene igual.
3
38. La alternativa correcta es D
39. La alternativa correcta es C
I)
Por LLA> los triángulos son congruentes. (Verdadero)
II)
Por LLA> los triángulos son congruentes. (Verdadera)
III)
Si las diagonales se dimidiaran entonces no sería deltoide. (Falsa)
40. La alternativa correcta es B
El triángulo rectángulo puede ser isósceles (y, en ese caso, tiene un eje de simetría), y
de igual modo puede suceder con el triángulo obtusángulo.
Luego, sólo el escaleno nunca tiene eje de simetría.
9
41. La alternativa correcta es A
Del primer dato se obtiene que k = 5, y del segundo dato se obtiene que h = -2.
42. La alternativa correcta es E
El rectángulo EFIH es de ancho
3 y largo 5 3 –
El triángulo ACF tiene base 5 3 y altura
El cuadrado DEHG es de lado 5 3 –
3 = 4 3 , así su área es 12 cm2.
3 , luego su área es
15
, o sea 7,5 cm2.
2
3 = 4 3 , así su área es 48 cm2.
43. La alternativa correcta es C
Se calcula el área total y se divide por el área del triángulo.
44. La alternativa correcta es B
 AD + BC 
Como BE = 12 por teorema de Pitágoras, entonces 
 · BE = 180.
2


45. La alternativa correcta es D
De la información se desprende que:  +  + 2 = 180º
4 = 180º
 = 45º
Por lo tanto:
I)
II)
III)
Es un triángulo rectángulo, ya que posee un ángulo de 90°. (Verdadera)
Es un triángulo isósceles, ya que posee dos lados iguales. (Verdadera)
No es un triángulo acutángulo, ya que posee un ángulo igual a 90° y deben ser
menores de 90°. (Falsa)
10
46. La alternativa correcta es C
I)
No, ya que tienen sólo un ángulo igual.
II)
No, ya que tienen sólo un ángulo igual.
III)
Sí, ya que tienen dos ángulos iguales.
47. La alternativa correcta es C
Con los datos AB  BC y  = 30º; podemos indicar que el ángulo CAB es de 30º, dado
que el ABC es isósceles de base AC . Además,  es un ángulo inscrito que subtiende al
arco AB y, por lo tanto, el ángulo del centro AOB es de 60º. Con esto el triángulo ABO es
equilátero (radios de la circunferencia), determinando así que el ángulo ABO es de 60º.
C

O
60º
x
60º
B
30º
A
Por último, el valor de x se obtiene por la propiedad de la suma de ángulos interiores en
un triángulo:
x + 30º + 60º = 180º
x = 90º
48. La alternativa correcta es A
  DC

AB
= 18º, despejando obtenemos que el arco DC mide 84º.
2
49. La alternativa correcta es C
CFP  BFE (A – A)
 CF : FB = CP : EB
En AED se tiene: CD : AD = CP : AE
Como AE = EB  CF : FB = CD : AD
11
50. La alternativa correcta es A
El dato EC // DB , nos permite utilizar teorema de Thales, es decir,
8
15
=
2x  1
x
 x=
15
22
Como BC = 2x – 1, entonces
BC = 2 ·
BC =
15
–1
22
4
11
51. La alternativa correcta es C
Por Pitágoras se obtiene que AD = 4 cm y aplicando Euclides se tiene 36 = 4
modo que DB = 9 cm.
52. La alternativa correcta es D
Al llevar la información a una gráfica, esta queda:
6m
30º
x
12 m
12 m
x
Se busca el valor de x, para ello utilizaremos la función tangente de un ángulo
6
x
1
6
=
x
3
tg 30º =
x=6 3 m
12
.
DB, de
53. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
El centro de gravedad corresponde a (3, 3, 3). (Verdadera)
Para que en el plano dos rectas sean paralelas deben no intersectarse y
además pertenecer al mismo plano. (Verdadera)
La diagonal de un cubo de arista a es a 3 . (Verdadera)
54. La alternativa correcta es A
55. La alternativa correcta es C
I)
II)
III)
65
, y la probabilidad de que elija el
120
25
plan biólogo, dado que es mujer, es de
. Por lo tanto lo solicitado es
65
65
25
25
·
=
. (Verdadero)
120 65
120
55
La probabilidad que sea varón es de
. (Falso)
120
El total de los que elije el plan humanista son 45. (Verdadero)
La probabilidad que sea mujer es de
56. La alternativa correcta es D
F = 37
B=9

37
9
2
+

45
45
45
FB=2
57. La alternativa correcta es A
p(1ª extracción que sea blanca):
3
8
p(2ª extracción sea blanca sin reposición):
p(B y B) =
2
7
3
2
3
·
=
8
7
28
13
58. La alternativa correcta es D
Como la entrada tiene 3 maneras de ocurrir, el plato de fondo igualmente 3 maneras de
ocurrencia y finalmente el postre tiene 2 maneras que ocurra (sucesos independientes),
1 1 1
1
·
·
=
entonces la probabilidad de lo pedido es
.
3 3 2
18
59. La alternativa correcta es B
3 alumnos tienen 0 celular
6 alumnos tienen 1 celular
3 alumnos tienen 2 celular
Que tenga a lo más 2 celulares son 12 alumnos en total. Por lo tanto la probabilidad
12
pedida es
.
15
60. La alternativa correcta es D
50 + 40 + 30 + 35 + 40 + x
= 40
6
195 + x
= 40
6
x = 45
61. La alternativa correcta es C
La moda es 2, que es el dato que tiene la frecuencia más alta.
La mediana es 2, que es el dato que se encuentra en la posición central y además
sabemos que los alumnos encuestados son 27.
La media aritmética es
I)
II)
III)
0 · 5 + 1 · 7 + 2 · 10 + 3 · 3 + 4 · 2
= 1,62
27
Falsa, son iguales.
Falsa, es mayor.
Verdadera.
14
62. La alternativa correcta es A
I)
Si la suma de los elementos de A es cero, entonces la media es
cero. (Verdadera)
II)
Es imposible saber cual es la mediana ya que la lista podría ser:
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} o {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -9}. Ambas listas
suman 0, pero tienen diferentes medianas. (Falso)
III)
La moda no necesariamente es cero por la misma razón anterior. (Falso)
63. La alternativa correcta es A
294.000
x
=
42
100
 x = 700.000
El sueldo total del presupuesto familiar es de $ 700.000. Por lo tanto gasta en vivienda $
140.000, que es el 20%.
64. La alternativa correcta es E
Con el dato (1) no se sabe cuantas personas viven en la Región Metropolitana.
Con el dato (2) no se sabe cuantas personas viven en la Región Metropolitana.
Para poder resolver el problema se necesita saber cuantas personas viven en la Región
Metropolitana, y con ambas informaciones a la vez no se puede determinar. Por lo tanto
se requiere información adicional.
65. La alternativa correcta es C
Con el dato (1) sólo conocemos el valor del radio.
Con el dato (2) al unir B con O, se obtiene el AOB (isósceles) y el sector circular BOC
1

 4 del círculo  , pero no conocemos el radio.


Con ambos datos se puede determinar el área.
15
66. La alternativa correcta es C
Asociamos P a la edad actual del Padre y J para la edad actual de Julio y planteamos las
ecuaciones. Consideremos que como se trata de dos incógnitas, necesitamos tener dos
ecuaciones:
(1) (P – 2) + (J – 2) = 40  P + J = 44, tenemos una ecuación.
(2) P – J = 24, la diferencia continua entre sus edades (2ª ecuación).
Claramente, necesitamos de ambas ecuaciones para resolver el problema.
67. La alternativa correcta es B
Con el dato (1) no se puede determinar la altura del trapecio.
Con el dato (2) se determina que AB = 15, AD = 5 y la altura del trapecio es 4.
 Se puede calcular el área
68. La alternativa correcta es E
Se requiere información adicional por que no conocemos medidas de trazos.
69. La alternativa correcta es B
A partir de la opción (1), si AB = 10, no es posible determinar la medida del trazo CB, ya
que no conocemos el tipo de triángulo que se representa.
En cambio de la opción (2) AB  CD y CD = 2 5 , sí es posible determinar la medida del
trazo CB, ya que se puede aplicar el Teorema de Pitágoras.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
70. La alternativa correcta es C
Dato (1) no es suficiente, ya que no se conoce el número de fichas azules.
Dato (2) no es suficiente, ya que no se conoce el número de fichas negras.
Datos (1) y (2) sirven, ya que nos dice que las fichas blancas, negras y azules están el la
2
1
= .
razón 1 : 2 : 3 respectivamente. Así: P(negra)
6
3
16