τ τ = τ τ - Universidad de Tarapacá

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá
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1
SOLUCIONARIO
Primera Prueba de Física Moderna
Semestre de Primavera 2008
Lunes 24 noviembre 2008
Ingenierías Civiles
Nota: En esta prueba Ud. debe contestar los dos problemas obligatorios y debe elegir dos (2)
problemas de entre los cuatro (4) problemas que se presentan como opcionales.
Problemas obligatorios:
1. (1.5 ptos.) La vida media en reposo de una partícula inestable es τ 0 = 36 × 10−9 ( s ) (tiempo
propio). ¿A qué velocidad v debe moverse esta partícula respecto a tierra para que logre viajar
una distancia D = 12(m) vista por un observador en tierra?
Solución:
Visto desde el sistema κ (tierra), el tiempo se dilata y viene dado por
τ=
τ0
v2
1− 2
c
(1)
donde v es la velocidad con que se mueve la partícula inestable respecto a tierra. En ese tiempo τ ,
la partícula alcanza a recorrer una distancia D = 12(m) vista por el observador en tierra. Pero, dado
que la partícula se mueve con velocidad constante, podemos escribir
v=
v=
Sea x =
D
τ
=
D
τ0
v2
1− 2
c
12
v2
1
−
36 ×10−9
c2
(2)
(3)
v
, entonces esta relación se escribe como
c
x=
109
1 − x2
3c
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(4)
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x=
2
10
1 − x2
9
(5)
Relación de la cual se obtiene x = 0.743 , luego,
v = 0.743c
(6)
2. (1.5 ptos.) Una nave espacial va viajando hacia la derecha del eje x con velocidad v , respecto
a un observador en tierra. Si desde la nave se lanza un cohete verticalmente hacia arriba con
velocidad v0 con respecto a la nave espacial, ¿cuál es la velocidad del cohete con respecto a
tierra?. Obtenga las componentes, el módulo y la dirección de la velocidad.
Solución:
El sistema κ será la tierra y el sistema κ ′ será la nave espacial que se mueve con velocidad
relativa V = v . El cohete tiene una velocidad u ′x = 0 y u ′y = v0 respecto al sistema κ ′ (la nave
espacial). La velocidad del cohete respecto a tierra viene dada por u x y u y . Usando las fórmulas de
transformación de velocidades, se tiene
V2
u′ + V
c2
, uy =
ux = x
u ′V
u ′V
1 + x2
1 + x2
c
c
u ′y 1 −
(7)
Reemplazando los valores conocidos, se tiene
ux =
0+v
=v
0v
1+ 2
c
(8)
ux = v
(9)
v2
2
c2 = v 1 − v
uy =
0
0v
c2
1+ 2
c
(10)
v0 1 −
u y = v0 1 −
v2
c2
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(11)
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3
El módulo de la velocidad u viene dado por
⎛ v2 ⎞
u = u x2 + u y2 = v 2 + v02 ⎜1 − 2 ⎟
⎝ c ⎠
u = v 2 + v02 −
v02 v 2
c2
(12)
(13)
La velocidad del cohete vista desde tierra hace un ángulo θ respecto al eje x , dado por:
tan(θ ) =
uy
ux
=
v0
v2
1− 2
v
c
(14)
Problemas Optativos (responda sólo 2 de ellos)
3.
(1.5 ptos.) Si la energía total de una partícula vale 1.8 veces la energía en reposo, calcule:
a) La masa en movimiento m
b) La velocidad v de la partícula
c) La energía cinética K
d) Su momentum lineal p
Solución:
a) Calcular la masa en movimiento m
A partir de la condición dada en el enunciado, se tiene que E = 1.8 E0 . Pero sabemos que
E0 = m0c 2 y que E = mc 2 , luego, la condición dada se traduce en
m = 1.8m0
Hemos obtenido así la masa en movimiento.
b) Calcular la velocidad v de la partícula
Pero m =
m0
v2
1− 2
c
, donde v es la velocidad de la partícula, luego,
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(15)
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1
4
= 1.8
(16)
v = 0.8315c
(17)
v2
1− 2
c
De esta relación se obtiene la velocidad
c) Calcular a energía cinética K
La energía cinética viene dada por K = E − E0 , reemplazando los valores conocidos, se obtiene
K = 1.8 E0 − E0 = 0.8E0
(18)
K = 0.8m0 c 2
(19)
d) Calcular su momentum lineal p
A partir de la expresión relativista E = c p 2 + m02 c 2 , se tiene que
p=
E 2 − m02 c 4
c
=
E 2 − E02
c
(20)
Reemplazando datos, se tiene,
p=
E0 1.82 − 1
m c2
= 1.497 0
c
c
(21)
Finalmente, se tiene el momentum lineal de la partícula
p = 1.497 m0 c
4. (1.5 ptos.) Las coordenadas de espacio y tiempo para dos eventos o sucesos medidos por el
sistema κ son : x1 = 6 × 103 ( m ) , t1 = 2 × 10−5 ( s ) y x2 = 12 × 103 ( m ) , t2 = 1 × 10−5 ( s ) .
a) ¿Cuál debe ser la velocidad de κ ′ con respecto a κ para que los dos eventos aparezcan
como simultáneos visto por κ ′ ?
b) ¿Cuánto vale ( x2′ − x1′ )
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(22)
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5
Solución:
a) ¿Cuál debe ser la velocidad de κ ′ con respecto a κ para que los dos eventos aparezcan como
simultáneos visto por κ ′ ?
Si los eventos son simultáneos en κ ′ , se debe cumplir que t1′ = t2′ . Expresemos los tiempos t1′ y t2′
en función de los datos conocidos en el sistema κ . Usando las transformaciones de Lorentz, se
tiene
V ⎞
⎛
t1′ = γ ⎜ t1 − 2 x1 ⎟
c
⎝
⎠
(23)
V ⎞
⎛
t2′ = γ ⎜ t2 − 2 x2 ⎟
c
⎝
⎠
(24)
Restando estas dos ecuaciones, se tiene
( t2′ − t1′ ) = γ ⎡⎢( t2 − t1 ) −
⎣
V
⎤
x − x1 ) ⎥
2 ( 2
c
⎦
(25)
Pero ( t2′ − t1′ ) = 0 porque son simultáneos en κ ′ . Luego, la relación (25) queda
( t2 − t1 ) =
V=
V
( x2 − x1 )
c2
( t2 − t1 ) c 2
( x2 − x1 )
(26)
(27)
Reemplazando los datos conocidos, se tiene
V=
( t2 − t1 ) c 2
( x2 − x1 )
=
−1 × 10−5
3 × 108 c
3
6 × 10
V = −0.5c
(28)
(29)
Esto significa que los sistemas κ y κ ′ se están acercando.
b) ¿Cuánto vale ( x2′ − x1′ )
Usando las transformaciones de Lorentz, se tiene
x2′ = γ ( x2 − Vt2 )
x1′ = γ ( x1 − Vt1 )
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(30)
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6
Restando,
( x2′ − x1′ ) = γ ⎡⎣( x2 − x1 ) − V ( t2 − t1 )⎤⎦
(31)
Reemplazando datos,
( x2′ − x1′ ) =
1
1 − 0.5
2
⎡ 6 × 103 − (−0.5 × 3 × 108 ) ( −1 × 10−5 ) ⎤
⎣
⎦
( x2′ − x1′ ) =
4.5 × 103
1 − 0.52
( x2′ − x1′ ) = 5.2 × 103 (m)
5. (1.5 ptos.) El profesor de física que se encuentra en la sala de clases debe tomar la Primera
Prueba de Física Moderna. Los alumnos se encuentran en una nave espacial que se desplaza con
velocidad v = 0.87c . En el instante en que la nave espacial pasa frente a la sala de clases, el
profesor da por iniciada la prueba. Si el profesor quiere que la duración total de la prueba según
sus alumnos (tiempo propio) sea de t0 = 20 ( min ) , calcule el tiempo t1 (medido en la sala de
clases) que debe esperar el profesor antes de enviar un rayo de luz que les informe a los
alumnos que se acabó el tiempo para la prueba.
Hint: El tiempo total para la prueba, según el profesor, está formado por el tiempo t1
desconocido, más el tiempo t2 que demora la luz en recorrer toda la distancia que la nave
espacial alcanza a recorrer en el tiempo correspondiente a t0 .
Solución:
El sistema κ corresponde a la sala de clases del profesor de física, y el sistema κ ′ corresponde
a la nave espacial en la cual viajan los estudiantes con velocidad relativa respecto al sistema κ
de valor v = 0.87c . El tiempo total que tuvieron los estudiantes para hacer la prueba, visto por
el reloj de los alumnos (tiempo propio), fue de t0 = 20 ( min ) . Por lo tanto, de acuerdo a la
dilatación del tiempo, el tiempo total que tuvieron los alumnos para la prueba según el reloj del
profesor es:
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(32)
(33)
(34)
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t=
t=
7
t0
v2
1− 2
c
20(min)
1 − 0.87 2
= 40.56(min)
t = 2433.6( s )
(35)
(36)
(37)
En ese tiempo, la nave logró recorrer una distancia D = vt = 0.87ct
D = 0.87 × ( 3 × 108 ) × ( 2433.6 )
(38)
D = 6.35 × 1011 (m)
(39)
Esta es la distancia que debe viajar la luz para informar a los alumnos que la prueba se terminó.
Entonces la luz demora un tiempo t2 =
D
en recorrer dicha distancia, esto es:
c
t2 =
D 0.87ct
=
= 0.87t
c
c
(40)
t2 = 0.87 × 2433.6 = 2117, 2( s )
(41)
t2 = 2117, 2( s )
(42)
El tiempo total t viene dado por la suma de los tiempos t1 (desconocido) y el tiempo t2 , es decir,
t = t1 + t2
(43)
Luego, el tiempo t1 en que el profesor debe lanzar el rayo de luz que le indique a los alumnos que la
prueba ha terminado, viene dado por:
t1 = t − t2
(44)
t1 = 2433.6 − 2117.2
(45)
t1 = 316.4( s )
(46)
t1 = 5.27(min)
(47)
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8
6. (1.5 ptos.) ¿A qué velocidad V se debe mover un romboide de lados propios a0 = 1.0(m) y
b0 = 0.7(m) a lo largo del eje x , para que un observador en tierra lo vea como un rombo, es
decir, que se cumpla la condición geométrica: a = b ?
Hint: Calcule las longitudes a y b vistas desde κ , y recuerde que b = bx2 + by2
κ y′
κ′
y
b0
300
a0
x, x ′
z′
z
Solución:
Dado que las varillas en movimiento se ven más cortas a lo largo de la dirección de movimiento, la
contracción de longitudes viene dada por L = L0 1 −
V2
c2
Para el lado horizontal a0 = 1.0(m) , se tiene
a = a0 1 −
V2
c2
(48)
Para la varilla inclinada, se tiene que sólo el lado b0, x = b0 cos 300 sufre contracción de longitudes,
y el lado vertical b0, y = b0 sin 300 , queda inalterado. Por lo tanto, se cumple que
bx = b0, x
V2
1− 2
c
bx = b0 cos 300 1 −
(49)
V2
c2
by = b0, y
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(50)
(51)
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9
El largo de la varilla inclinada vista desde el sistema κ , queda
b = bx2 + by2
(52)
⎛ V2 ⎞
b = b02 cos 2 300 ⎜1 − 2 ⎟ + b02 sin 2 300
⎝ c ⎠
(53)
b = b0 1 −
V 2 cos 2 300
c2
(54)
La condición que se debe cumplir para que desde el sistema κ el romboide se vea como rombo es:
a=b
(55)
Reemplazando los resultados (48) y (54), se tiene
V2
V2
=
b
1
−
cos 2 300
0
2
2
c
c
(56)
⎞
a02 ⎛ V 2 ⎞ ⎛ V 2
1 − 2 ⎟ = ⎜ 1 − 2 cos 2 300 ⎟
2 ⎜
b0 ⎝
c ⎠ ⎝
c
⎠
(57)
a02 a02 V 2
V2
− 2 2 = 1 − 2 cos 2 300
2
b0 b0 c
c
(58)
a02
V 2 ⎛ 2 0 a02 ⎞
cos
30
−
=
1
−
⎜
⎟
c2 ⎝
b02 ⎠
b02
(59)
a0 1 −
Desarrollando, obtenemos
V =c
a02 − b02
( a02 − b02 cos2 300 )
(60)
Reemplazando los datos numéricos, se tiene,
V =c
(
1 − 0.7 2
1 − ( 0.7 cos 300 )
2
)
V = 0.898c
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(61)
(62)