ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA 6.10 PROPIEDADES DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. TEOREMA 42. Puntos notables del triángulo. En todo triángulo se cumple: 1. Las bisectrices se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina Incentro, este punto equidista de los lados del triángulo. (Incentro: Centro de la M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al circunferencia inscrita en el triángulo). 2. Las medianas se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina Baricentro (o centroide); este punto se encuentra sobre cada mediana a una distancia de 2 3 del vértice y a 1 sobre el extremo de ésta sobre el lado 3 respectivo. 3. Las mediatrices se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Circuncentro; este punto equidista de los vértices del triángulo. (Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo). 4. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Ortocentro. (Posteriormente se estudiarán las propiedades asociadas a este punto como lugar geométrico y respecto a la proporcionalidad). Demostración de 1 Sean ABC , AK bisectriz de BAˆ C , BS bisectriz de ABˆ C . (Ver figura 110). AK intersecta al Int BC en el punto T, por el Teorema de la barra transversal. (1). AS intersecta al Int AT en el punto P, por el Teorema de la barra transversal. (2). Determinemos PH1 AC , PH2 AB , Figura 110. PH3 BC Teorema perpendicular única ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA “bajada” desde un punto exterior. (3). PH 1 PH 2 propiedad de la bisectriz AT . (4). PH2 PH3 propiedad de la bisectriz BS . (5). PH1 PH3 transitividad de (4) y (5). M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al (6). CP es bisectriz de ACˆ B , de (6) propiedad de la bisectriz. Figura 111. En consecuencia P Int ABC , corresponde a la intersección de las tres bisectrices y equidistan de los tres lados. Demostración de 3. Sean ABC , MK mediatriz de AB , NS mediatriz de BC (Ver figura 112). MK intercepta a NS en un punto P. corolario del Teorema 34. Figura 112. Determinemos los segmentos PA , PB y PC . (Ver figura 113). PA PB propiedad de la bisectriz PM . (1). PB PC propiedad de la bisectriz PN . (2). ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA PA PC transitividad de (1) y (2). (3). M a U te so ri a no l e co du m ca er tiv ci o al P está sobre la mediatriz de AC de (3) propiedad de la mediatriz. Figura 113. En consecuencia P corresponde a la intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres vértices.