C I — OIJI— O BERNARDO UNIVERSIDAD X IVI r ACEVEDO NACIONAL SECCI ONAL SEPTI EMBRE E B R A L FRIAS DE COLOMBIA MANIZALES DE 1990 O ft I— O l i I— O BERNARDO J i vi J EE e FÍftI ACEVEDO FRIAS Trabajo presentaodo con el fin de dar cumplimiento al literal "d" del articulo 21 del acuerdo 72 de 1978, para la promoción a la categoria de PROFESOR ASOCIADO. UNIVERSIDAD NACIONAL SECCIONAL SEPTIEMBRE DE COLOMBIA MAN IZALES DE 1990 r f\ B « rt D CE C O M I El |N| :i o o INTRODUCCION CAPITULO 1 CALCULO INTEGRAL 1.1 P a r t i c i ó n d e [ a, b ] 1. 2 Fun c ión escalonada 2 1.3 Ejercíc ios 4 1-4 1 P rop i e d a d e s d e. f u n c i ó n escalonada 4 1.5 Ejercicios 6 ' 1.6 Integral de una función acotada 7 1.7 Propiedades de la integra1 de una función escalonada 12 1.7.1 Propiedad ad it iva 12 1.7.2 P rop i edad homog enea i4 1.7.3 Invariancla frente a traslación 16 1.7.4 Aditividad 17 1.7.5 Dilatación del intervalo de integración 20 1.7.6 Teorema de comparación 22 1.8 Ejercicios 23 respecto al intervalo de integración 1.9 Integrales de funciones generales 24 1.18 Integral de una función acotada 31 1.18.1 Integral superior e inferior 31 1.11 Ejercicios 39 1.12 Integrabi 1 .idad de funciones monetarias acotadas 48 1.13 Propiedades fundamentales de las integrales de 1.14 1.15 funciones monótonas acotadas 43 Ejercicios 55 - Teorema fundamental del cálculo 1.16 Ejercicios 1.17 Primitiva de una función 1.18 Ejercicios 1.19 _ 1.28 57 62 (integral indefinida) 68 Algunas propiedades de la integral indefinida Ej ere icios 1.21 64 78 72 — Métodos d e integración 73 1.21.1 Sustitución 73' 1.21.1.1 Integrales de funciones trigonométricas 79 1.21.1.2 S u s t i t u c iones t r i. g o n o m é t r i c a s 1.21.2 Integración por partes 100 1.21.3 Integración por fracciones parciales 110 1.22 Integración de algunas funciones irracionales 123 1.23 Integración de funciones hiperbólicas 125 1.24 Ej ere ic ios 129 Integrales de funciones racionales de Sen:;, Cosx 131 1.26 Ejercicos 134 1.27 Algunas reglas para aproximar 1.25 — integrales 89 definidas 136 .1.. 27.1 Regla de los trapecios 1.27.2 Regla de los rectángulos ,136 139 1.27 . 3 Reg I a de 5.impson 140 1. 28 I n teg ra 1 es i m pro p .i. as 1.28.1 Integrales impropias de primera especie 156 1.28.2 Integrales impropias de segunda especie 185 1.28.3 Integrales impropias de tercera especie 198 1.29 Función Gama 199 1.30 Función Beta 1. 31 E j e r c i c .i. o s .154 ' 202 20 8 CAPITULO 2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES 2.1 Areas 215 2.2 Coordenadas polares 228 2.2.1 Areas e n c o o r d e nadas po1a res 2.2. 2 E j e r c i. c i o s 2.3 Longitud de arca 7 2 .3.1 Pa rame t r i 2 ac i ón de a 1 g un as c ur vas 2.3.2 Diferencial de longitud de arco 2. 3.3 L o n g .i. t u d d e u n a r c o e n c o arde n a d a s polares 2.4 Area de una superficie de revolución / 253 2.5 Volúmenes de ciertos sólidos •/ 259 2.5.1 Método de la sección 259 2 „5 2 2 . 5.3 ^ Só 1 i dos de revol ución 1/ M é t. o d o d e 1 a s c a p a s c i 1 i n d r i. c a s 237 244 246 2!49 251 2 521 265 266 2-6 Ejercicios 275 2.7 Centro de masa 276 2.8 Centroide de LA na región plana 279 2.9 Centro geomètrico de un arco 284 2.1(3 Arco de una superficie generada al rotar un arco en coordenadas polares 284 2.11 Trabajo 2E¡5 2.12 Determinación de la constante de integración 288 2.13 Ejercicios 290 Respuesta a los ejercicios 293 Bibliografia 296 I N T R O D U C C El presente trabajo, que tiene como los temas que corresponden I OIM contenido el desarrollo al curso del cálculo integral, de dirijo básicamente a estudiantes de ingeniería; comprende dos capitulas. El primero se refiere a todo el cálculo integral de sus y el segundo al aplicaciones. Se ha preferido hacer una exposición que ponga de desarrollo conceptual del teóricos, aplicados y manifiesto el cálculo integral, mostrar sus aspectos satisfacer además las exigencias de claridad y rigor. En la exposición teoremas o teórica se omitió dar demostraciones propiedades; explicaciones basadas en en figuras para hacer comprensibles dichos Para una mejor una serie y fueron ejercicios a comprender aclarar dudas y conceptos. incluidas representaciones gráficas, teoremas. ilustración de los temas tratados se de principalmente compensación de algunos resueltos mejor y el ha propuestos contenido del incluido dirigidos texto y Algunos temas .incluirlos son en de naturaleza clase, sino que optativa deben y no ser es necesario considerados como l e c t u r a t» a d i c i o n a l e s . Con el presente facilite una mayor contribuir interés texto se pretende comprensión al d e s a r r o l l o para el m e d i a n t e el cual y transíormando rigor de y ofrecer una guia de e s t u d i o de temas los la t é c n i c a tratados; del c á l c u l o conocimiento del l a s i d e a s v a g a s y parti.cu.ilares se en productivos conceptos. además y despertar proceso van que el creativo, retinando :i - C A P ! F U L O I IM T El O Fe 1.1 PARTICION DEL INTERVALO O- I O M CERRADO [a,b3. Sea a<ta ; recibe el nombre de partición de un [a,b], toda colección finita de puntos de intervalo Ca,b], cerrado notada por P — C a a j x i j ... , n n } donde xaíxi^. . . .••••. >in ¡ ;<a=a y X n = b . A partir de una partición Pi, nuevos de partición añadiendo Ca,b]. a Una de La,b], los tal se puede lomar otra puntos que ya están en P, o t r o s partición Pa. , se denomina un afinamiento de P y se dice que P* es más fina que P. Ejemplo 1. Se los conjuntos F'jPajPa; son considera el intervalo cerrado [1,8] y, se forman P-í.1,8} ; P»= {1, 4 ,8} ; F'3=í 1,2 ,4 ,6,8} . Observe que particiones de [l,8] y que P 3 es más fina que P 2 . k-ésimo subintervalo cerrado [ük-uXu] elemento de la partición. / a[ xcb • xi • v-zt • / / / / • x* • ic•+• i . . . Ejemplo de un partición de La partición P determina n subintervalos C Xai, x ] , [Xi,Xa] ]b xn [a,b]. cerrados C x K —a. ¡i Xn ] . . . . C Xn —i j Xr> ] y n subintervalos abiertos. Al intervalo cerrado [>:k-t,>:k] se llama el k-ésimo cerrado de P y al intervalo abierto subintervalo FUNCION ( x k - i , x k ) el k-ésimo abierto de P. Con ayuda de estos conceptos se puede dar una definición analítica de función 1.2 subintervalo escalonada. ESCALONADA Una función y=S(x),cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b], se dice que es una P = {xaiMi función xn} de escalonada, si existe una [a,b] tal que y=S(x) es constante en cada subintervalo abierto de P. Es decir, para k=l,2,3 número real S*, tal que y=S(x)=Sn Ejemplo 1. Sea partición s(x)=5 si para -31x£3. n existe un xk-i<x<xk, Una partición de [ - 3 , 3 ] es { - 3 , 3 } y observe que s(x)=5 si -3<x<3, luego s(x)=5 es escalonada en [-3,3]. Sin embargo se puede tomar otra por ejemplo, Pi={~3,-1,0,1,3]- y se partición de [-3,3] observa que s(x) es constante en cada subintervalo abierto de P*. En efecto : 5 s i x e[-3,-l] 5 s i. x e[-l,0) s ( x) - < 5 si x «[0,1) 5 s i x e[1.3]. El gráfico figura de siguiente la función s(x)-5 para -3ix£3, se observa en la S(x) = 3 I I -rr - 1 J Obsérvese que si una subintervalos abiertos si.ib.in terva 1 o abierto -i función de de P, Px 14-f escalonada es ; también siendo P± es constante en .los constante en cada un afinamiento de P. Ejemplo 2. Sea s(;•;) = [>; ] = parte entera de x. Se recuerda que la parte entera de x, notada por Cx], se def ine como el mayor entero menor o igual que x. La Ex] se analiza de la forma siguiente 1. si x>0 entonces 2» si x<0 entonces Cx] = 0 si 0<x<l [xj = -1 si -llx<0 Cx3 = 1 si 11x<2 Cx] = - 2 si ~2<x<-l Cx] - 2 si 2¿x<3 Cx] = - 3 si - 3 1 x < - 2 Cx] = 3 si 3<x<4 Cx] = n si nlx<n+l Cx] -n si ~n.i x < - (n-1) Observese el gráfico de s(x)=Cx] en C~3,3] en la figura Y siguiente -f i i y asi una partición de [ - 3 , 3 ] es que s(x)-[x] P=í~3,-2,-1,0,1,2,3} y se tiene es constante en cada subinterva1o abierto de P; luego 1.3 s(x) = [x] es una función escalonada en [-3,3]. EJERCICIOS. Hacer las graficas y mostrar que la siguientes funciones son todas escalonadas en el intervalo 1. f(x)=[2x] si -11x13 indicado. 2. h(x)= Cx+1] si - 3 1 x 1 4 3. q(x) = [(x)i'"-23 si 01x125 4. 1 (x ) = [ X a ] 5. r ( x ) = [ x ]2 6. g ( x ) = ( [ x ] ) 1 / 3 si 01x12 si -11 xl 6 7. i(x ) = [->:] si - 2 1 x 1 2 si -31x14, 1 si - l l x < 0 2 si 01x<3 4 si -51 x<-.l 8. m(x) = < ~5 1.4 si 31x15. PROPIEDADES. SUMA Y PRODUCTO ;.u pon e q u e be DE FUNCIONES s( x) y ESCALONADAS. t ( x ) son f u n c i o n es escalón a d as d e f i n idas ambas en el mismo intervalo cerrado Sean Pi, P 3 > cada subintervalo [a,b]. particiones de [a,b] tales que s(x) es constante en abierto de F'i y t(x) es constante en cada subintervalo abierto de A partir de la forma de s(x) y t(x) se puede definir una función siguiente: h ( x ) —s ( x ) +1 ( x ) s i al x 1 b „ 4 escalonada Para mostrar que h(>:) es una función escalonada en [a,b], se encontrará una partición P de [a,b], tal que h ( x ) es constante en cada subinterva1o puntos de Px, Esta abierto de P y para ello se toman todos los junto con todos los puntos de Ps>. partición, reunión de Pi y P 2 se llama afinamiento común de Pi y P 2 . Puesto que tanto s(x) como t(x) son constantes en subintervalos abiertos del afinamiento común, también y asi h(x) es una función escalonada en En forma los análoga [a,b]. se hará el producto de funciones Ejemplo. 1 Mostrar que escalonada en lo es h(x) escalonadas. h(x)= [x/2]+[x] para 01x16 es una función [0,6]. Solución. Se sabe que [x/2] y [x] son funciones escalonadas y [x/2] se define en el intervalo [0,6] asi: 0 si 01 x/2<l; 0.1 x<2 [x/2] = < 1 si 11x/2<2; 21x < 4 <3; 41x<6 y sus gráficas se pueden apreciar en las figuras Y siguientes. ¡>i OM ~t—?—r Luego P x = í 0 ,2, , 4 , 6 ]• es una X partición de [0,6], para s ( x ) = [x/2]y Pa={0,.1,2,3,4,5,6} luego una es par tición una partición de [0,6], para t(x) = £.X] de [0,6] para h(x) = s(x) + t(x) e P={0,1,2,3, 4 , 5 ,6} que es la reunión de Pa. con P s ; asi que h(>;) e constante en cada subintervalo abierto de P, pues r S!+ti=0+0=0 si x e[0,l) Sa+t2=0+1=1 si x e[l,2) h(>!): s 3 + t 3 = 1 + 2 = 3 si x «[2,3) s^+t^. = 1+3=4 si x «[3,4) s 3 + t = = 2 + 4 = 6 si x «[4,5) s«.+t«,=2+5=7 si x •= [ 5,6) . luego h(x) es escalonada en [0,6]. Su gráfico se puede apreciar en la figura \ 1.5 1 * 4 5 siguiente. ' EJERCICIOS. Mostrar que las .intervalo indicado siguientes funciones son escalonadas en el 1. h(x)=[x/2]+[~x] si - 2 < x < 4 2. f ( x ) = [ ( x ) 1 / a ] + [ x a ] si 01x14 3. q ( x ) = [ x ] a . [ 2 x ] 4. 1 ( x ) = [ x ] •*• ' = . [-x ] si 01x14 si 01x12 6 5. r(K)=tx]+[-x] si - 5 1 x 1 5 6. m(x)=[x].[x/2] si - 2 1 x 1 5 7. m ( x ) = [ 2 x ]•[ x - 1 ] si —21xl 3 8. f(x)=3[x] si 01x15 9. f (x) = Cx] + Cx+v¿j + |:-¡<3 si -21x12. 10. Sean hacer f(x)=[x] la gráfica y g(x)-[4x] de h(x) para todo x real, en cada caso para -11x12 definida por la fórmula siquiente: a) h(x)=f(K)+g(x) b) h(x)=f(x)+g<x/2) d) h( x ) =f ( x ) . g ( x/2) 1 e) h ( x ) = 4 c) h(x) = f<x/3)+g(x/2 ) f ( 2x ) . g ( x ) f) h(x) = f(x 2Z ). g) h(x)=[f(x)] a . 1.6 Sea INTEGRAL s(x) DE una UNA FUNCION función ESCALONADA escalonada definida en I [a,b] y sea P={Xc,xx,....x„} una partición de [a,b] tal que s(x) es constante en cada subintervalo abierta de P. Se designa por sk., el valor constante que toma s(x) en el subintervalo de manera que s ( x ) = s K si x k _ i < x < x k , para abierto k-ésimo de P, k=l,2,...,n. b La .integral de s(x) de a a b se designa por el símbolo s ( x ) d: b n y se define por la fórmula siguiente s ( x ) dx = S s fc (;< k -x k _i) k -1 b es decir, que para obtener el valor de la integral (x)dx multiplica cada, val or* cons tante s k , por la longitud del , se intervalo * k-ésimo, formando el producto s k (x k -xk-i) y se suman luego todas los productos asi obtenidos. 0 bserve s e q ue los val o r e s d e la f u n c i. ó n e n los ex t r e m o s d e 1 1 o s intervalos no se toman en cuánta, ya que no aparecen en el segundo mienbro de *. b Si s(>;)>0 para todo >: e[a,b], la integral, s(x)dx representa el a área limitada por las gráficas de x=a, x=b, s (x ) y el eje x. En otras palabras el número que eventualmente se asigna como área recibirá el nombre de la integral s(x) sobre [a,b] si s(x)il3 para cada x e[a,b]. En realidad, la integral se definió para cualquier función, bien sea mayor o menor que cero en Si s(x) es una función [a,b]. cuya gráfica se observa en la figura siguien te: B • •*> • b la integral s(x)dx, representará a y B, es decir, la s ( x ) dx = A-B. a B la diferencia entre la áreas A La letra x que aparece en el símbolo papel esencial en la s(x)dx no juego ningún definición de integral. Cualquier otro símbolo adecuado servirá exactamente igual; se usan frecuentemente para ello las letras t, u, v, 2, ....en vez de x; b es decir! b s (t) d t; b s(z)dz s(u)du a ... Son consideradas todas b como notaciones diversas para una misma cosa. Algúnos autores de simultameamente libros de cálculo tienen tendencia a suprimir la variable aparente y el símbolo d y escribir b simplemente la integral a Una razón depende es, que expresa aún con más fuerza solamente de la , que la integral función s y del integrando embargo en algúnos casos se consideran [a,b]. Sin completas. 6 Ejemplo 1. Calcular [ x / 2 ] d; Solución. Se sabe Cx/2] =< que [x/2], para 0 si 0<x<2 .1 si 2.1 x<4 si 41x<6 x en el intervalo [0,6], se define asi 4 -Sfl su gráfica se puede observar en la figura siguiente: r 2 ' 1 - — asi í P—•[ 0 , 2 y 4 n 6 } = { Xca j X x , Xa ? X 3 } P i 6 > 1 1 ¡> R — ' f— . 4 y[ x / 2 ] d x 0 Ss,,. ( xi« — xic — s. ) = S i ( Xa.-Xc ) + 5 a ( x»-x 4 ) + s 3 ( x 3 - x 3 ) = 0 ( 2 - 0 ) + 1 ( 4 - 2 ) + 2 ( 6 - 1 ) = 6 k=l luego II x/2]dx=6 0 4 Ejemplo .2 Calcular C x ] d; Solución. Su gráfico se observa en la figura siguiente; Y luego P : •1,0, • í x <4, j 4 ] 10 y 3dx E s * ( Xk-X k _i. )=5i ( X 1 - X b ) + S 2 ( Xa-Xi )+S 3 ( X 3 - X a ) + S 4 ( X 4 - X 3 ) + S b ( X 8 - X 4 ) + k=l S<fa ( X 4 - X a ) = - 2 ( - 1 + 2 ) - 1 ( 0 + 1 ) + 0 ( 1 - 0 ) + 1 ( 2 - 1 ) + 2(3-2)+3(4-3)=-2-1+1+2+3=3. Ej Mostrar 1. que las s i g u i e n t e s integrales tiene el valor C x ] d x = 2, .indicado. C t+'é'Jdt = 4, 2 [ x]d; [ - x ]d; [t^Hdt = 5 - ( 2 ) A '= s -(3) x '' 2 i -.1 4. [2x]dx = 6. 5. •6 0 [ t a ] d t = 2 ( 21- ( 18 ) ( 3 )1 ( 5 )i'»— ( 6 ) 9 [ t * ' a ] d t = 13 9. Si. n es un e n t e r o positivo, d e m o s t r a r que n n ( n-1 ) a) [t:]dt n(n-l)(2n~l) [t]adx = b) 0 0 n(n-1)(4n+l) t(t)1/a]dt c) 0 11 (7 ) x st ^ ) 1.7 ALGUNAS PROPIEDADES ESCALONADA. En esta sección, satisface se DE LA dan unas INTEGRAL DE propiedades UNA FUNCION fundamentales la integral de una función escalonada. Todas estas son válidas para integrales de funciones más generales. Se darán teoremas y en cada caso se ilustrará con un 1.7.1 TEOREMA La integral la suma (PROPIEDAD ADITIVA). de una suma de dos funciones escalonadas es de las b integrales; b (s(x)+t(x))d x es decir b s ( x) dx + t( x)dx . que 10 10 ([(>;) 1 / 2 ] + [x/2] )dx- 0 .10 [ ( x ) 1 / , a ]dx + C x/2]dx 0 0 Solución. Sea s(x) = [(x) i X = ! 3 y t(x) = [x/2] entonces S ( X )— 0 si 0< (x')J-"a<l¡ 01x11 1 si 1 < ( x ) A ' a < 2 ; 11x < 4 ( ^0 si 01 x<2 y 2 si 2 1 ( x ) 1 / 2 < 3 ; 3 si 3 1 ( x ) 1 / a < 4 ; V 41x<9 91x<16, igual si s ( x ) y t(x) = a .1 Mostrar como ejemplo. funciones e s c a l o n a d a s en [a,b] entonces Ejemplo que 1 si 21x<4 t(x)= < 2 si 41x<6 3 si 61x<8 4 si 81x<10. V Y s U W [m] SOOaCV*] ' r i i I q i i |'0 8 hfvl = M io + Ofc] rr-r 8 "I 1° 1(3 a) ( s (;•;) +1 ( x ) ) d x ; Sea P=[0,1,2, 4 , 6 „ 8, 9 ,10}={ x» , x* x ,} una 0 10 partición del intervalo [0..Í0] entonce; (s(x)+t(x))d: 0 7 2 s*(Xk-Xk-i) = 0(1-0)+1(2 -1)+2(4-2)+4(6-4)+5(8-6)+6(9-8) + k=l 7 (10-9)=36. 10 s ( x ) dx ; Sea P a .={0,1, 4 , 9,10>={ Xn>, x* , . . . b) 0 .1.0 intervalo [0,10] entonces s ( x ) d; 0 Z s k (x» t -Xk- i )=0( 1-0)+1(4-1)+2 (9-4)+3(10-9) =16. k=.t 13 } una partición del 10 c) t(x)dx; Sea P 2 = Í 0 , 2, 4, 6, 8,10 ]•=•[ x® , x x , - . , x B } una partición del 0 10 intervalo [0,10] entonces t( x)d: 0 2 Su ( X R — X K — JL ) =0 ( 2—0 ) +1 ( 4—2 ) +2 ( 6—4 ) +3 ( 8—6 ) +4 ( 10—8 ) =20 ; asi que k=l ^v 10 .10 (s(x)+t(x))dx = 36 = 0 10 s ( x ) d x + t. ( x ) d x = 16 + 20, 0 Demostración de la 0 propiedad aditiva. Sea P = í x B , X i ) . . . x n } una partición de [a,b] tal que es constante en cada subintervalo abierto h(x)=s(x)+t(x) de P; luego n n h ( x)dx = E hk(x k -xk-i)= 2 (Sk+tk)(xk-x k -i) : k=1 k=l b n n : Z s k. ( x k — x k — x ) + 2 t u. ( x k.—x k — is)( x ) d x + t. ( x ) d x k=l k=1 a a 1.7.2 Para TEOREMA todo (PROPIEDAD número real HOMOGENEA). c y s(x) función escalonada en [a,bj se tiene que b b c . s ( x ) d x = c s. ( x ) d ; 14 Ejemplo .1 Mostrar que 3. [ x / 2 ] d : [x/2]dx. Solución. c. i *(*) = C */*] i i » i <¡> 1i I i : • 1 1 ' l 2 ° I i l 1 1 P 1 1 : tcv « f 1 111 i i • * & 1, » Sea s(x)=[x/2] y sea P={1,2,4,6} = { x « , . , x 3 } una partición de [1,6] 6 entonces sea 3.s(x)dx = Z s*(K k -x f c _ A )=0(2-1)+3(4-2)+6(6-4) k=l Pi - [1,2,4,6} = { x b , . . . x 3 } = 18; y una partición de [1,6] entonces 6 6 s(x )dx = 3[0(2—1)+1(4-2)+2(6-4)] = 18; luego 3. s ( x ) d : s ( x) dx . Demostración Sea (propiedad F:' = {Xa,, Xt, . . - x n } constante en si x k _i<x<xk si x k _ i < x < x k , los homogenea) una intervalos para k=l,2 partición abiertos n entonces 1uego 15 de de [a,b] tal que s(x) es P. c.s(x)=c.s k Sea s(x) = s* b b n n c . s ( x ) d x = 2 cs k (>!k-Xi,-i )=c S s k ( x k -x k -i )=c . s(x)dx. k=i k=l a a 1.7.3 T E O R E M A ( INVARIANCI A FRENTE Sea función s (x) una escalonada A UNA en TRASLACION). [a,b] y c un número real cualquiera entonces b b+c s (>:) d: s(x-c)dx. a+c Demostración. Sea P = íxa,x t tal que s(x) x n ) una partición del intervalo cerrado es constante en cada La,b] subintervalo abierto de P; es decir s(x)=s k si xk_.i<x<xk. Sea t(x) = s(x-c) si x e [a+c,b+c] x k -i + c<x<x k + c, por lo tanto partición de abiertos de Pi, b+c entonces t(x) = s k si F'i = {x B +c ) Xt+c í ...x n +c} es una [a+c,b+c] y t(x) es constante en los subintervalos entonces t(x) es una función escalonada y asi b+c n n t ( x ) d x =s(x-c)dx = E s k (x k +c-(x k -i+c))= S s k (x k -x k -i) : k=l k=.1 a+c a+c b s( x )dx . 16 5 Ejemplo 1. Mostrar que [x]d: [x-23d: C x-2]dx i+: Solución. Y Cx) - C-^J è Cxi - L*-¿J 1 2 3 T 1 si 11x-2<2; 3< x<4 2 si 21x-2<3; 41x<5 * 3 4 S [x-23 =< . Sea F-í1,2,3} una partición de [1,3] tal que s(x) es constante en los intervalos abiertos de F', entonces [x]dx = 1(2-1)+2(3-2)=3 y sea P t = í 1 + 2 , 2 + 2 , 3 + 2 } = { 3 , 4 , 5 } una partición para t(x)=[x-2] en [3,5]=[1+2,3+23 5 3 [x-23dx = 1(4-3)+2(5-4)=3 1.7.4 Sea luego TEOREMA (ADITIVIDAD INTEGRACION). s(x) b una c s ( x ) d x— función 5 Cx 3d; RESPECTO escalonada b s ( x) dx + s ( x) d: 17 entonces en [x-23dx. AL INTERVALO [a,b3; si a<c<b DE entonces Demostrac ión. Sea P = { x ( , , x i , . . . x q , . . . x n } una partición de [a,b] tal que s ( x ) es constante en cada subintervalo abierto de P. Sea c=Xc, entonces b s ( x) d; ( X k~ q 2 k=l X k. — x ) — k=l S k n ( x k. ~ x k. — x ) •+• S sk.k. k-q + 1 k. — X b s ( x ) dx + s ( x) dx 6 Ejemplo .1 Mostrar que C(x)1/a]dx [ <x)*'®3ds 0 0 Solución. i r » i <1 [(:Oi/2]dx = t(x)1/2]dx = 0(1 0 ) + .1. ( 4— 1 ) +2 ( 6—4 ) =7 . 0(l-0)+l(4-l)+2(9~4)=i: ò 18 rOO^Jd; (9-6)=6 ; [(x)1/a]dx entonces 0 13 0 6 9 [(x) 1/2 "Jdx + [ C(K )*'- a 3dx - 7 + 6 - 13. 6 0 b Hasta ahora, al utilizar el simbolo s ( x ) d x se ha en ten d .ido, q ue a el limite inferior Es conveniente a es extender menor un que poco el limite superior b. los conceptos y considerar integrales con limite inferior mayor que el limite superior; esto se logra si se define: b a a ( x ) d x = - s(x)dx si a<b, y se define a b s ( x)dx = 0 a si s(a) existe. Estos convenios permiten afirmar que el teorema anterior es válido no solo si c esta entre a y b, si no que cualquier ordenación de a,b y c. El b a s ( x ) dx + s ( x ) dx + s ( x) d; Ejemplo .2 Mostrar que 0. tx ]d; [ x ]dx 4 19 válido para teorema anterior se puede escribir asi: c es Solución, y su) = C*] i—? 5 1 2 3 4 [ x ] d x = 1 ( 2 - 1 ) +2 ( 3 - 2 ) +3 ( 4 - 3 ) =1+2+3=6 1 .1 [ I x ] d x = 3 (3-4)+2 (2-3)+1(1-2) = - 6 ; y asi 4 4 [ x ] dx 1.7.5 Sea l x ] d x = 6. TEOREMA (DILATACION INTEGRACION). s(x) un INTERVALO DE función escalonada en [a,ta] y k un número real £ 0 kb entonces DEL b S( J )dx = k k ka s ( x) dx Demostración. i) k>0. Sea P=i y,a es constante en una partición de [a,b] tal que s(x) cada subintervalo abierto de P. Supóngase que s(x)=s* si x k _i<x<x k .. Sea t(x) = s(x/k) si ka<x<kb entonces t(x)=s k si 20 xs(kxk_t,kxk)5 por lo tanto F'1={k;-!BI¡,kx1, . . . 'kx n J es una partición y t(x) es constante en de [ka,kb] cada subintervalo abierto de P x y asi t(x) es escalonada y kb t ( x )dx ka kb b n n x S( - )dx = E sk ( k x r - k x i< _ i. ) = k . S s k ( x k - x k _ 1 ) =sk ( .x)dx . k k=l k=i ka a Si k<0 la demostración se hace en forma análoga. 10 5 Ejemplo .1 Mostrar que [ x ] d x = '4. [ x / 2 ] d ; Solución. S(>0 - [X] ra 1 2 3 4 5 [x]dx = f 10 1(2-1)+2(3-2)+3(4-3)+4(5-4)=10 1 10 [ x / 2 ] d x = 1(4-2)+2(6-4)+3 (8-6)+4 (1.0-8) =20 , entonces 10 Cxjdx C x/2]d¡ 10. 21 1.7.6 Sean TEOREMA s(x) y (COMPARACION). t. (x) dos funciones escalonadas en [a,b] tales que s(x)lt(x) para todo x e[a¡,b] entonces b b s( x )d: t(x)dx a Demostración (ejercicio). 1 si 01 x <2 Ejemplo .1 2 si 01x<2 Sea s(x) = 2 si 2<x<3 ; t.(x) 4 si 21x<3 3 si 31x<4 5 si 31x<4 Solución. S(x) z T, 4 ->X i s(x)d x = 1(2-0)+2(3-2)+3(4-3)=2+2+3=7 i i ; y 0 4 t. ( x ) d x = 2 (2-0) +4 (3-2) +5 (4-3) =4+4+5=13 4 22 ; luego 5( x) dx « 7 i t(x)dx = 13, 0 0 1.8 EJERCICIOS. Verificar las siguientes igualdades : 1. ( 12 x ] + [ x / 2 ] ) d ; [ 2 x ] d x + [ x / 2 3 d x 3.[x3d; C x3dx . C 2x 3 dx — [2(x-2)]dx 0 0 4. C-x3dx [ - x 3 d x + [-x3dx + [-x 3 dx . 0 i. 1 [ (x)*' a ]dx 5. Í0 C (x-2)*' a ]ds 0 [(:<) 1/2 ]dx + 0 6 12 L x 3dx = [ x 3dx + [ x 3dx 23 [(x) l / =]d; ?0 6/3 7. [2x/3]dx = 12/3 [2x]dx = Cx]dx . O / "T 4/3 12 8. [2x+4]dx 14 > 1= p [x+2]dx = '4. C x ]dx . 4 8 9. Verificar 10 las siguientes propiedades con un b c-a a) . s ( c-x) d x b+c s ( x) dx. a ejemplo, b b) s ( x) dx c-b s(x+c)d x . a+c kb O . s ( x) dx = k s ( kx) d; ka a b d) 1 ( b~-a )s(a+(b-a)x)d x s ( x) dx = 0 1.9 INTEGRALES La integral DE FUNCIONES s(x)dx, MAS GENERALES. se ha definido para una función En este apartado se dará una definición escalonada aplicable a funciones más generales. La definición se construirá de tal manera que la integral resultante goce de todas las propiedades dadas para las funciones 24 esca1onadas. La por idea es simplemente asi: se empieza aproximando por defecto y exceso, la función se sugiere en la figura f(x) mediante funciones escalonadas, siguiente a* f como T^Cx) 1. Vx) b a Para ello se supone que se elige una función arbitraria s(x), cuya gráfica esta por debajo función escalonada escalonada de la y=f(x) y una arbitraria t(x) cuya gráfica esta por encima de y=f(x). b Si ahora se considera el conjunto de todos los números t (x) d x obtenidos posibles, se b eligiendo tiene en s(x) virtud del y s ( x)dx y t(x) de todas las maneras teorema de comparación que b s ( x) d xi t ( x) d x . a Si la integral de f(x) ha 25 cumplir también el teorema comparación, a de ser un número comprendido entre s ( x)d¡ a t(x)dx Si p¿ira cada par de funciones s(x) y t(x) de aproximación existe un número único con esta propiedad parece lógico tomar este número como definición de la integral de y=f(x). Naturalmente hay dificultades, por ejemplo la función f(x)=l/x >;4=0 ; y f(0)=0 intervalo que funciones definida contenga escalonadas; para el pues todo número origen, cerca arbitrariamente grandes o dicho de se si real x» En ningún puede aproximar por al origen f(x) toma valores otro modo f(x) no es acotada en ningún intervalo que contenga al origen. Por ello, restringirse al tratar de definir la integral, es preciso a las funciones que son acotadas en [a,b]; es decir aquellas funciones f(x) para las cuales existe un número rea1 M>0 tal que -M¿f(x)lM para cada x •= [ a,b]„ Geométricamente las graficas de tales funciones, están entre las araficas de dos funciones toman los valores -M y M situadas escalonadas s(x) y t(x) que respectivamente. vi 0~ / 1/ / / l (*: 1 k \ . Kr Definición. Se supone f(x) acotada en C a, b ] y f:[a,b] > R. Sea P={xa», Xi, . . . , x n } una partición de [a,b] y sea im. = i. n f £ f ( x ) / x c [ x .i-i,xi] } y M .i =Su p £ f ( x ) / x e [ x i. - * , x ¿ ] } . Se define la suma superior de y=f(x) para la partición P; notada por U(f,P) como: U(f,P) = 2 M R ( X R - X R _ X ) : k=l t(x )dx 5 t(x)¿f(x); siendo (Xr-Xr-a) la longitud del k-ésimo subintervalo abierto de P. Se define la suma inferior de y=f(x) para la partición P, notada b n por L ( f , P) como L(f,P)= 2 m k ( x k - x k - i ) = s(x)dx; k=l s(x)¿f(x). El hecho de que f(x) este acotada en [a,b] garantiza la existencia de M k y m*.- Ejemplo .1 f(x)— x 0<x<6. Sean Px=í0,2,4,6}; P»»{0,1»2,3,4,5,6} Pr> = £ Xia , x x ü - . - j x„ } particiones del intervalo II 0,6]. Hallar i) a) U(f,Px) b) U(f,P,-») c) U(f,P„). ii) a) L(f,Px) b) L ( f , P a ) c) L ( f , P n ) . En efecto: 6 P A=£ 0,2,4,6 }=£ x GO , x x , xa , x3 }, U ( f , P x ) = 2. 2 M k=l t( x)ds 0 2 ( M x + M 2 + M 3 ) = 2(2+4+6)=24= área subrayada en la figura 27 siguiente, -f(x) = v tU) y h> i / HJ •I Mi 1 U(f,P a )S Pa— {0,1,2,3,4,5,6} = { x» , x 4 , . . . x*> . U ( f , P a ) = 2 M R ( x*-x* k=l 6 SMk=M1+Ms,+lvl3+lvl^+M=>+tvlí,=l+2+3+4+5+6=22=área subrayada en la figura k=l siguiente t ( x)dx 0 / / -fíx) = X ib) / V V Z, 3 4 5 fe n U(f,P,,) = 21 M k ( x k - x k - i ) . k=l En general si se tiene una partición P=íx 0 ,xi se quiere que los .intervalos abiertos de P tengan x n } de [a,b] y todos longitud; se toma la longitud de cada subintervalo asi: y asi se halla n subintervalos de igual b--a 6-0 6 n n n 1 on g .i tud , es decir, ù x k = x * - x k . 28 igual (b~a)/n, )= n 6 6 n para k=l,2 ,3, . . . , n ; luego U ( f , P n ) = 2 M k . - = 2 f (>;k) k=l n n k=l y se mirará cuanto vale f(x*) asi: X» = 0 = a; x i = ÓXx = 6/n; 2Ú*1 = Xa = ri 2.6/n = 12/n; i Xk-1 = (k-l)ÓXi = (6/n).(k-1); Xk = kóx k = 6k/n; Xr> ~ nóxi = n6/n = 6; luego n n n U(f,P n ) = 6/n. 2 f ( x k ) = 6/n. 2 f(6k/n) = 6/n. 2 6k/n = k=i k=l k=l '36 n 36 n (n+1) — . 2 k = — . n12 k= l n(n+l) = 18. 2 n Asi se tiene una sucesión 2 n de áreas decreciente y acotada interiormente, luego converge; es decir Tn ={Jx.Ta,...,T„...} y asi se lim T„ - Inf{Tr,3= lim 18.n(n+l)/n a = 18. A este valor n—>(» n—>® el la 18.n(n+1)/n a ,...} = { 1 8 . n ( n + 1 ) / n 2 } = {36,27 llamará más adelante la integral superior de f(x)=x en [0,6] y se notará por í(f) (í(f)=18). i i ) P x — í 0 , 2 , 4 , 6 J ='[ , X3 } . L(f,P* )= 2 mk. ( X K - X k X ca , X - 1 k= 1 x, Xa )= 2. 2 m* = 2. (m 1 +m a ! +m3) =2. (0+2+4) =12=área k=l 6 subrayada en la figura siguiente s(x)dx. 38 4 f {M % -- 6 6 L(f,P 3 )= E m k ( x k - x k - 1 ) = E m K =0+1+2+3+4+5=15= k=l k=l subrayada en la figura s ( x ) d x = área 0 siguiente, Y y ; 5ód 1 / X M Ji n L ( f , P r , )= E f; h .—f. i IÍ, y, v-j yc n m k ( x k •ük-i)=(6/n) E m k k.=l •s k=1 n = (6/n) E f ( x k - i ) k=l n n n (6/n) E f (6.(k-1)/n) = (6/n) E 6(k-l)/n = (36/n=) E k-1 k-1 k=l k=l n n-1 2 (36/rV ) E k-1 = (36/n ) E k = k=2 k=l 2 36 _ n» n(n-l) n(n-l) = 18. Asi n- se; fx.iede formar una suseción creciente de áreas, acotada, luego es convergente y si Ísr,}-={sa,s3 s,-J = [9,12,.•.,18.n(n-l)/n=,....} n(n-l) entonces A éste lim n->® valor = Supísr,}= lim .1.8. n->® se 1.1 amará = .18. na más adelante la integral inferior de 30 f(>:)=* en [0,6] y se notará por I(f) 1.10 Sea INTEGRAL f(x) t(x) DE una UNA (I(f)=18) FUNCION ACOTADA. función definida y acotada en [a,b]. Y sean funciones s(x), escalonadas arbitrarias definidas en [a,b] tales que s(x)£f(x)£ t(x) para cada x •= [ a , b ] . Si existe un núnero I y solo uno, tal que b b mK ( k " K— X) = s ( x) d x £ I £ t(X)dx k=l a par de escalonadas i s( x )£f ( x )i t ( x ) para la f b de n E M k=l K ( X K ~ X I < ~ I ) Para cada a funciones integral = s(x), cada x e [a,b]; desde a t(x) este? que verifiquen que número I se denomina hasta b y se indica por el símbolo b f( x ) dx ó a Cuando a I función existe dice que f(x) es integrable en [a,b]. La f se llama .integrando, los números a y b, los limites de integración INTEGRAL se y el SUPERIOR intervalo E Supóngase que f(x) funciones escalonadas x €[a,b]. En [a,b] el intervalo de INTEGRAL es acotada que integración. INFERIOR. en satisfacen [a,b] y que s(x), t(x) son s(x)£f(x)ít(x) para cada este caso se dice que s es inferior a f y que t. es superior a f. 31 • (x ) d )•: / síf 3 y T == C t(x)dx / fit }, es decir a S es el conjunto de todos los números s(x)dx obtenidos al tomar a como s(x) todas las funciones escalonadas inferiores a f y T es b el conjunto de todos lo números t(x)dx obtenidas al tomar como l(x) todas las funciones escalonadas superiores a f. S y T, son conjuntos acotada, asi integral el no vacíos de números reales, ya que f es SupíS} superior de y f, el InfÍT} por el existen Inf[T} y se define y se representa la por b I( f) ; es decir, Inf [T} = I ( f ) = Inf •[t(x)dx / f £ t } y la integral a inferior se define por SupíS} = I(f)= SupC TEOREMA. Toda función inferior ( I (f) ) y acotada tiene f una s(x ) d x / sif } en [a,b], tiene una integral superior b satisface las desigualdedas integral (í( f)) b s(x)dx < I(f) i I(f) 1 a para todas las funcines escalonadas s y t tales que 32 t(x)dx a que s(x)áf(x)¿t(x) para cada x e[a,b]. La función f(x) es integrable en [a,b] integrales superior e inferior son iguales si y y en solo cuyo si sus caso se tiene que b f o í(f) = I(f). Demostración . b Sea S = í s (x) dx / s<f } ; T = i a t ( x ) d x / f<t }. a b Sea sabe que s ( x ) d; t(x)dx si sifit, de modo que todo número de S es menor que cualquier número de T. También se puede afirmar que S tiene extremo superior y T tiene extremo inferior que satisfacen b las desigualdades b s(x)dx í SupíS} ¿ InfíT} 1 a t(x)dx para todas las s, t. que a satisfacen slfit. Esto demuestra que tanto el SupíS}, como el b Inf(T) satisfecen b s(x)dx ¿ SupíS} 1 t ( x) dx y a 33 s(x)dx 1 Inf {T} .i t( )dx para cada par de escalonadas s,t que satisfacen funciones sifit. Por lo tanto f es integrable en [a,b] si y solo si. SupíS} b InfíT} y en cuyo caso se tiene que f = SupCS} = In f{T}. a Ejemplo .1 Sea f(x)=x= 0<x<4. Hallar 4 a) I(f) b) I(f) !ad>:. c) el valor de 0 Solución. Sea la P = { x B , X i , . . x „ } una partición del intervalo [0,4] y se longitud de para k=l,2,...,n cada subintervalo igual, es decir, asi: x» = 0; Xi = ÓXi = 4/n; x= = 2(1x2 = 2.4/n = 8/n; x k -i = (k-l)ÓXk-i = (4/n).(k-1); ük = kùx* = k.4/n: x n = núx'r, = n. 4/n = 4. n 4 n 4 n luego L(f,P)= E m k ( x ^ - x ^ - i ) = - E m* = - E f ( x k - i ) k=1 n k=l n k=l 34 tomará óxk=(4-0)/n, 4 - n 4 2 f((4/n).(k-1))= - n k=l 64 n 2 ((k-1).(4/n)) a = 64 n3 n k=l n n 3 k=2 n 2 64 n-1 64 n3 k=l n3 (k-l) a '= k=l (n-1) (n ) (2n-.t) 6 64 — . —(n-1)n(2n-l) : y asi la sucesión 6 n3 [sr,} = í 64 — . —n(n-l)(2n-l) } 6 n3 se puede demostrar que es creciente y acotada superiormente 64 n (n-.l) (2n-l) es convergente y lim — . = n — > a> 6 n3 n b) U(f,P) = 2 M k ( x h - x k - i ) = k=1 4 n 16 64 n 2 k52 = 2 — k5* = — 2 3 n k=l n n k=l 64.2 = Sup{sn) = I(f). 3 4 n 4 n - 2 f(x*)= - 2 f(4k/n) = n k=l n k=l 64 n(n+l)(2n+l) — . „ Se puede ver que 6 n3 64 n (n + .1.) ( 2n +1) — „ } es una suceción decreciente y o n3 [tn> = •[ acotada inferiormente, lim luego luego Ctr>} es corvergente y b4 n(n+1)(2n+l) 64.2 — . = = Inf{t„} = I(f); luego I(f) = I(f) n3 |->® 6 y como f ( x )=xa! 4 xa d x = [0,4] y 0 6 01x14 es acotada, entonces f(x) es integrable en 64 64 — . 2 = — = I(f) = I(f) 6 3 Ejemplo 2. Demostrar que f(x)=x es integrable en [ - 1 , 1 ] y hallar su valor. Como; f(x) es acotada en [-1,1]; 35 se verá que I(f)=I(f) - 1 ;dx . En ef ec: t.o s Sea P=í x «} una parti.ci.ón de í-1,1] "I l-(-l) tal que x k ~x k _i. = n 2 = _ ; para k=l,2,3,....,n. n Ahora >¡<a = ~1 j¡ >'x = -1+áx* = -1 + (2/n ) ; Xk-i = -1+(k-1)óx K = -l+(k-l).(2/n); Kk = -l + kúxk = - 1 + k . (2/n ) ; n x„ = -1+nóx = —1+n.(2/n) = 1; y asi L(f,P) = E m^íx^-xk-i) k=i 2 n 2 n 2 n - 2 m k - — E f(!<k-i) = _ E f (~i+(k-l) . (2/n) ) = n k=.l n k-1 n k=l 2 n n 4 n 32 - E (~l+(2/n) . (k-1) ) = -2+ (4/n ) E k-1 = - 2 + — E k-1 == n k-1 k=l n5» k=2 4 n-1 4 -2 + — E k = -2 + — n 2 k=l n3 (n)(n-1) 2 = -2 + — . n(n-l). Y asi n= . 2 2n(n-.l) ís„} = [-2+ } se puede ver que es creciente y acotada n22 2n(n-1) superiormente, luego ís n > converge y lim - 2 + n - > oo = 0 - Supís,-,} n2* = I (f) . Ahora U(f,P) = n E Mk(xk-xk-t) = k=l 2 n - E f(—1+(2k/n)) = n k = .1 2 n E M* = n k=.l 2 n - E f(xk) = n k=l 2 n 4 n - E ( - 1 + ( 2 k/n)) = - 2 + E k = n k=1 n | < = .1. 36 4 -2 + 2n ( n+1 ) . (n)(n+l) = - 2 + £.. n ^ y se puede verificar que n-*- 2n(n + 1) ítn) = Í-2+ } es decreciente y acotada inferiormente, na 2n(n+1) luego converge y lim t 0 = lim ~2 + n - > o» n -• > a) = 0 = I(f)=I(f), luego n38 .1 I (f ) = I ( f ) = 0 ;d¡ Ejemplo .3 Demostrar que la función f (x) = (2x a -8) - l < x < 3 es integrable en [ - 1 , 3 ] y hallar su valor. En efecto:3-(-1)=4; ó x k = 4/n y sea P=í x«a, x x , . . . , x n } una partición de [-1,3]. Ahora se tiene : x® = ~lj Xi = -l+ÜXk = -I-i-(4/n) = (4/n)-1; x 2 = -l+2ÓXk = - 1 + 2 ( 4 / n ) = (8/n)—1; x* = -l+3Óxw = - 1 + 3 ( 4 / n ) = « (12/n)-1; = -l+(k-l.)úx k -i = - l + ( k - l ) . (4/n) ; x k = — i+koxi< = - 1 + k (4/n ) = - 1 + 4 ( k/n ) ; Un = -1+nQXk = —1+n(4/n) = 3 ; y asi n 4 n 4 n a) L.(f , P ) = 2 m k ( x k ~ x k _ i ) = _ E m* = - S f ( x k - x ) = k=l n k=l n k=l 4 n 4(k-1) _ E (2[ — 1 ]a - 8 ) = n k=1 n 4 n 16 8 - E 2 ( — (k~l)*~ n k=l n35 n 4 n 4(k-1) - S f( -1): n k=l n (k-1)+1)-8 4 n - S C n k=l 128 32 16 — ( k ~ l ) — n2 n (k-1)-6] n 64 n ___24 n SI S (k-JL)a - __ 2 (k-1) - __ k=1 n® k-1 n k=l n3 128 n 64 n Z(k-1)= - - — E (k-1) k=2 n 2 k=2 n3 128 n-1 E k.a ri* k=l 24 n — El n k=l 64 n-1 128 E k - 24 = na k—1 n- n(n+l)(2n+l) 64 . n(n-l) . -24 6 40 Sn, asi que Supis,-,} = lim s n = - — = 1(f). n—> ai 3 b) U ( f , F:' ) = E M k ( x k - x k - i ) k=l 4 n - E f[(4k/n)~l] = n k=l 4 16k2 n 4 n 32 k a 4 n ,1.6k na 32.4 n(n+l)(2n+l) 4.16 n3 6 na lim tr, = n->œ 16k 6) n 4 n E 6 = n k=l n k=l n k=l f (!•:*) = 4 n _ E 2 C ( 4k / n ) — 1 3=s—8 n k=1 8k n 32 k38 4 — + 1)—8 = _ E ( n n k = l rv n12 n k=1 4 n E Mi. n k=l n n(n+l) 2 128 n(n+1)(2n+l) lim » n —>® 6 n3 38 24 = t n 64 lim — n ~a> 2 ; 1 ueqc n(n+1) n- lim 24 n -oo 128.2 'n entonces -40 40 — ; asi que Inf{t„} = lim t„ = - — = I(f) n - > <o 3 3 hj 24 = 40 f ( x) dx = - _ I(f)=I(f) R Ejemplo .4 Demostrar que 1 X 6 Q f(x) = i no es integrable 0 x el en [1,2]. En efecto: f(x) es acotada y sea P={ Xa>, x ± , . . . x„ } una partición de [1,2]. n n L(f,P) = 2 mKtXk-Xk-i) = 2 0 ( x k - x k - t ) = 0 y U(f,P) = k=l. k=l n n 2 M k ( x k - x k _ i ) = 2 l ( x k - x k _ i ) = xr< — xea - 2-1 = 1, luego k=l k=1 SupCL(f,P)} ^ Inf[ü(f,P)} y asi f no es integrable. En que este ejemplo se puede observar acotadas en [a,b] no siempre son 1.11 todas las funciones integrables. EJERCICIOS. I. Demostrar que las siguientes funciones son integrables en el intervalo dado, calculando 1. f(x) = x+3 3. h(x) = x»-l -21x£3. -51x17. I(f), I(f). 2. g(x) = 2 x a - l -21x15. 4. f(x) = 2x+4 01x14. 5. f(x) = x a + x + l - 2 1 x 1 3 . Una vez llegado aqui, se presentan dos inquietudes 1. Que funciones acotadas son integrables ?. fundamentales 2. Supuesto que una función es integrable; como se calcula la integral ?. En la primera pregunta, se limitará a dar respuestas que solo requieren parciales ideas elementales; por ejemplo se mostrará que todas las funciones monótonas acotadas y continuas definidas en [a,b] son integrables; generales de propiedades la integral nos ayudan integral de funciones El numeral mostrará, 1.12 2. Se como luego y a se hace ampliar desarrallará INTEGRABILIDAD es ver muchos las propiedades en que forma esas conocimientos en la específicas. calcular T E O R E M A . Si f(x) se desarrollarán DE más adelante; integrales para FUNCIONES monotona entonces f es integrable en en en diversas MONOTONAS un el cual se funciones. ACOTADAS. intervalo cerrado [a,b]; [a,b]. demostración. Se demostrará el teorema para funciones razonamiento es análogo para funciones Sean I(f), I(f) sus integrales crecientes; el decrecientes. superior e inferior respectivamente; se demostrará que í(f) = I(f). Sea n un entero positivo y se escalonadas s n ( x ) y t 0 ( x ) del modo Sea construyen dos funciones siguiente: P =•[ Xa, Xa., . . . . , x n > una partición de [a,b] en n subintervalos iguales, esto es subintervalos (b-a)/n para cada valor de k. 40 [xk-i,xk] tales que Xk-Xk-1= Se define ahora s n (x) y t„ ( x ) por la formulas s n (x)=f(x k -i); El los puntos mantengan Con d e división, xk_t<x<xk. se definen s n y t n de modo que se las relaciones s n ( x ) i f (x)it n (x) en todo esta D tr, ( x ) = f ( x k ) si siguientes: elección d e funciones escalonadas [a,b]. s e tiene, ta t n (x ) d x - ft sn(x)dx = Z hk(xk-xk-i)- Z k=l k=l mk(xk-xk-i) = n n b-a n 2 f ( x k ) ( x k - x k ~ i ) ~ Z f ( x k - ! ) ( x k - x k _ i ) = Z [ f ( x k ) - f ( x k - i ) ] ( )= k=l k=l k=l n b-a ta~a c C f(x n )-f(X»)]= [f(b)-f(a)] = n n n donde c=(b-a)[f(b)-f(a) ] , b luego t„ ( x ) d x 5 n ( X )d X = n a a Las integrales superior e inferior de f satisfacen las desigualdades siguientes : b tata Sn i I(f) < a t r*» y a ta Sn ¿ I(f) < a a Si se multiplica por -.1 la primera desigualdad ta se obtiene b I(f) > tn que sumada con la segunda se tiene 41 desigualdad b b b t„ 1 I(f) - I(f) < a y asi a a Kf)-J(f) | 1 sn = — n para todo n£l, y de aquí se a concluye que I(f) = I (í ) T E O R E M A . Sea f con .de execpción intearable en En y acotada un asi. en número f es [a,b] finito integrable y continua en [a,b]. en [a,b] de puntos, entonces f es [a.b]. particular si f es continua en [a,b], f es integrable en Ea,b]. Demostración, El teorema (ejercicio). anterior suministra funciones que son buena información a cerca de la integrables. Ejemplo .1 f(x)=l/x para -11x11; no es continua; no es acotada y tampoco es .integrable. Ejemplo .2 f(x)=[x] -11x12; es acotada en [-1,2]; no es continua en un número finito de puntos y es integrable en [ - 1 , 2 ] . 'l si x «O Ejemplo .3 f(x) = < -lix!2 ; f es acotada en [ - 1 , 2 ] ; 0 si. x«I no es continua en un número infinito de puntos y no es integrable. Ejemplo .5 f(x)=x2-8 para - 1 1 x 1 3 ; f es acotada, es continua, es monnotona y es integrable en [ - 1 , 3 ] . 42 1.13 A L G U N A S P R O P I E D A D E S F U N D A M E N T A L E S I N T E G R A L E S DE F U N C I O N E S M O N O T O N A S 1.13.1 Si entonces f (x) v g ( x) f(x)+g(x) es son integrable b b [f(x)+g(x)]d: funciones en DE LAS ACOTADAS. integrables en Ca,b3 y además se [a,b] tiene: b f(x)dx + g ( x) dx . Demostración Sea I(f ) f ( x)dx 5 I (g ) g(x)dx, a integrables; pues f y g son a se demostrará que I(f+g) = I(f+g) = I(f) + I(g). 3ean s A ( x ) , s » ( x ) funciones escalonadas cualesquiera inferiores a f (x) y g(x). Como f y g son integrables se? tiene que b I (f)=Sup{ b sa. ( x ) dx / sj. 1 f } y I (g ) =Sup { s 3 ( x ) d x También se tiene que I (f) +1(g)=Sup{ Si / Si i f } + a b Sup-Í g ]• = Supí a b Si + =2 / s.t i f, Saig a Pero como s^lf y s 2 ¿ g entonces s = s i + s 2 1 f+g y así 43 } / s 2 íg } s (x ) d; s x ( x ) d x + Sa( x )dx 1 I(f+g). a F'or lo tanto el número a ta I(f+g) es una cota superior para el Supí sx( x) dx + sa ( x) dx } . a Esta cota superior no puede ser menor que el extremo superior del conjunto, de manera que I(f)+I(g) £ I(f+g). En forma análoga, si se hace uso de las relaciones b b I (f ) = I n f £ tx / f<tx }; I(g) = Inf £ ta / g £ t 2 } 5 donde tx, t.: a representan funciones escalonadas arbitrarias superiores a f y g respecitvamente„ Como se obtiene que I(f+g)£I(f) + I(g ) . I(f+g)£I(f) +1(g)£ I(f+g) y I(f+g)£ I(f+g) se conc1uye que I ( f+g)=1(f+g) = I(f) + I(g). Ejemplo .1 Sea f(x)=x a ; g(x)=x; Se por sabe la que 0£x£4. f(x) y g(x) son integrables en el intervalo propiedad 1.13.1 se tiene x2dx 0 0 1.13.2 Si f(x)+g(x) = x a + x que (x a +x)dx integrable en [0,4] y además f(x) es integrable en [a,b] y c entonces cf(x) es integrable y además se tiene 44 [0,4]; + es xdx 0 es una constante b cf(x)dx = c f(x )dx Demostración. Si c=0 (trivial). Se supone que c>0. Se que toda observa forma h=cs cualquier siendo siendo función escalonada h inferior a cf es de la s una función escalonada inferior a f y función escalonada q superior a cf es de la forma q=ct t una función escalonada b I(cf)= Supí a f. Asi que b h / hicf s / sif Supí c a a b b I(cf)= Infi superior q / cf¿q } Infi c } t / fit } el (f ) c I ( f ) , 1uego I(cf)=I(cf)=cI(f). Sea c<0; siendo t y h una escalonada q función función superior escalonada escalonada a cf inferior a cf es decir superior es de la forma q=cs siendo función escalonada inferior a f. Asi que b I (cf)=Sup{ b h / hicf c I n f •[ t /fit a f y toda } = Supí c, t / fit. el (f ) . 45 h=ct función s una En forma análoga I(cf)=cl(f). Asi que Ejemplo .1 Sea f (x)=x= Sea í(cf)=1(cf)=cI(f). 0<x<4. sabe que f(x) es integrable entonces por la propiedad 1.13, 4x= es integrable y además 4 4 4x 2 dx = 4 x2dx. 0 1.13.3 Se supone que a<b<c y que las dos b integrales c f f , a existen, entonces existe y se tiene que f b c b f a + a b Demostración . Se desicina con I(f), í(g) las integrales inferior y superior de f b en [a,c]; se mostrará que I(f)=í(f)= f a Si s + f . b es una función escalonada cualquiera inferior a f en se ti en e c c b s c + s. b 46 [a,c] Reciprocamente, en h si h,q son funciones escalonadas inferiores a f [a,b], y Cb,cll respectivamente, la función s que coincide con en [a, bII y con q en [b,c] es una función escalonada inferior a f en [a,c] para la que c b c h Supí + c q , por lo tanto h /h < f } + Supí I(f)=Supí q /q<f } f a + f . a Análogamente, se demuestra que Nota s / si f I(f): f f . + : La demostración es parecida para cualquier otra disposición de los puntos a,b,c. 8 * Ejemplo .1 ídx = 0 1.13.4 Si ;dx + 0 xdx 1 = 0 f (x ) es integrable en se tiene que b+c b f(x)d;< = f(x-c) dx . a+c Demostración. 47 * x dx XdX 8 [a,b], para cada número real c Sea g(x) la función definida en el intervalo Ca+c,b+c] por la ecuación g ( x) = f(x-c ) . Se designa g(x) en por el I(g),I(g) las integrales inferior y superior de intervalo [a+c,fa+c] y se demostrará que I(g)=I(g)= b f (x ) d x . Sea s cualquier función escalonada inferior a g(x) en Entonces en la h(x)=s(x+c) función es una h definida función [a,b] escalonada por la [a+c¡,b+c3. ecuación inferior a f en [a,b]. Además toda función escalonada h inferior a f en [a^b] tiene esta forma para una cierta s inferior a g» También por la propiedad de traslación para las funciones escalonadas se tiene b+c b b h ( x) d; s ( x ) d x - s(x+c)d x a+c a a Por consiguiente se tienes que b+c I(g)= Supí s / säg } jupl f ( x) d; h /hif } a a+c En forma analoga se demuestra que I(g): f ( x) d; a 48 integrales de Ejemplo .1 v HU%/ M (x+4 ) dx 0 4 6 (x2-x+l)d: Ejemplo .2 ((x+2)=-(x+2)+l)d: 0 1.13.5 Si f(x) es integrable en [a,b] entonces para cada número r e a .1 k ^.Q s e t i e n e . kb f(x)dx f( x/k) dx . k ka Demostrac ión Se supone k>0 y ! define g en el intervalo [ k a s k b ] por la ec u ac .i. ón g ( x ) = f ( x / k ) Se designan por I(g), I(g) las integrales superior e inferior de g en [ka,kb] y se demostrará que b I (g ) = I ( g ) = k f(x)dx a Sea s Entonces cualquier la función función h h(;:)=s(kx) es una función escalonada definida en escalonada inferior [a,b] inferior a g en por a la f [ka,kb]. igualdad en [a,b"J. Además toda función escalonada h inferior a f en [a,b] tiene esta forma. 49 Por la propiedad de dilatación para funciones escalonadas se tiene. kb b b s(x)dx = k s ( k x ) d x = kh ( x ) d x . ka a a a K B Por consiguiente I(g)= Supí s /slg } = Sup[ k f(x)dx . Análogamente se demuestra que I(g)= k a El J = a K A k h / hif f(x)dx. a mismo tipo de demostración propiedad si puede utilizarse para demostrar la k<0. 4 Ejemplo .1 8 2 x d x = v¿ 0 Ejemplo .2 :dx ; ( k = 1 /3) 0 (l-Ka)1/a Ejemplo .3 (k=2) 0 D X 0 :dx ; dx = TL/2 entonces hallar (4-x2)1/2d; Solución. ( 4 — X A ) 1 / A D X (1-(xa/4))1/adx 50 = 4 l-x3)1/2dx = 2n ( k='-É ) 1.13.6 Si f(x) y g(x) son funciones integrables en [a,b] y si g(x)<f(x) para cada x en [a,b] se tiene que b b g( x ) dx 1 f(x)d; Demostración. Sea s cualquier función escalonada inferior a g y t cualquier función escalonada superior a f; se tiene entonces que. b b b t a y por lo tanto a b g = Sup{ a s /slg } i a b Infi t /f<t } = f luego g ( x) dx í f(x )dx a 4 Ejemplo. 4 1 u <s _•. 0 Ejemplo 1.13.7 .2 6d x . 0 3d; Si 4d; f(x) es integrable en [a,b] y si m<f(x)¿M para todo en [a,b] entonces b m.(b-a) < f(x )dx < M.(b-a) a 51 D e m o s t r a c i ó n , (ejercicio). 1.13.8 Si f(x) es integrable en [a,b] y f(x)£0 para todo x en [a,b] entonces b f (x)d x > 0. a Demostración, 1.13.9 Si (ejercicio). f(x) y g(x) son integrables en [a,b] y si f(x)£g(x) para todo x de [a,b] entonces, b b f ( x ) d: g ( x)dx . Demostración . Como f-g es integrable y f-g¿0 por la propiedad 1.13.8 se tiene que b b [ f(x)-g(x)]dx £ 0 y como b [f(x)-g(x)]dx a se tiene que f ( x) dx > b f ( x ) d; g ( x ) d x¿0 a g ( x ) d: a 1.13.10 Sea f(x) continua en La^b] y por lo tanto integrable en Ca,b] entonces 52