Ecuaciones de Cauchy-Riemann ● La propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones entre la parte real e imaginaria de una función: Ecuaciones de Cauchy-Riemann: Ecuaciones de Cauchy-Riemann ● ● Teorema: una condición necesaria para que una función sea diferenciable en es que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfagan. Consequentemente, si f es una función analítica en un conjunto abierto, entonces las ecs. de Cauchy-Riemann deben satisfacerse en cada punto del conjunto abierto. Ecuaciones de Cauchy-Riemann ● Comentario: Que se satisfagan las ecs. de Cauchy-Riemann NO es suficiente para asegurar que la función sea diferenciable. Para ello hay que añadir condiciones de continuidad a las derivadas parciales de u y v Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema: Sea f(z)=u(x,y)+i v(x,y) definida en un conjunto abierto (entorno) que contiene a Si ● Las derivadas parciales de u y v existen en dicho entorno. ● Las derivadas parciales son continuas en ● Satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann Entonces f(z) es diferenciable en y Ecuaciones de Cauchy-Riemann Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales son continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todos los puntos de la vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema Sea definida en un entorno de Si ● las derivadas parciales con respecto a r y existen ● Las derivadas parciales son continuas en ● Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar). Entonces f(z) es diferenciable en y Ecuaciones de Cauchy-Riemann Teorema Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula en ese dominio, entonces f(z) es constante en D. Funciones armónicas ● Una función real se dice que es armónica en un dominio D, si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en D y si en cada punto del dominio se satisface la ecuación de Laplace Funciones armónicas Teorema Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y v(x,y) es una función armónica. ● Comentario: si conocemos u(x,y) podemos construir su función “armónica conjugada” v(x,y) utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta forma podemos encontrar la función analítica f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) Algunas funciones elementales Veamos algunas funciones analíticas que se reducen al caso de funciones elementales del Cálculo cuando z=x+i0 ● Función exponencial ● Función logaritmo ● Exponentes complejos ● Funciones trigonométricas ● Funciones hiperbólicas ● ● Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Polinomios ? Algunas funciones elementales ● Función exponencial Esta función es muy importante, pues, entre otras cosas, de ella se definen otras funciones. Con ● tenemos: De aquí que: ● es decir, la función es multivaluada Algunas funciones elementales Por ejemplos: a) si y sólo si k:entero b) si y sólo si Es decir que período es una función periódica con Algunas funciones elementales De modo que dividimos el plano complejo en diferentes bandas o regiones Algunas funciones elementales ● Comentario: notemos que la función tomar el valor negativo -1: Entonces ● puede e Finalmente, hemos obtenido anteriormente que Algunas funciones elementales ● Funciones trigonométricas Hemos visto que por lo que ● De aquí se define o generaliza las funciones seno y coseno a “ángulos complejos” como Algunas funciones elementales con derivadas Algunas funciones elementales Algunas propiedades ● ● ● ● ● ● ● si y sólo si ● si y sólo si Algunas funciones elementales Similarmente se definen las funciones con derivadas