4.12 Ciertos teoremas fundamentales del cálculo de probabilid

4.12 Ciertos teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades
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Nodo Raíz: 4. Cálculo de probabilidades y variables
Siguiente: 4.14 Tests diagnósticos
Previo: 4.10 Probabilidad condicionada e independencia de
4.12 Ciertos teoremas fundamentales del cálculo
de probabilidades
Hay algunos resultados importantes del cálculo de probabilidades que son conocidos bajo los nombres de
teorema de la probabilidad compuesta, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. Veamos
cuales son estos teoremas, pero previamente vamos a enunciar a modo de recopilación, una serie de
resultados elementales cuya demostración se deja como ejercicio para el lector (algunos ya han sido
demostrados anteriormente):
4.12.0.1 Proposición
Sean
no necesariamente disjuntos. Se verifican entonces las siguientes propiedades:
1.
Probabilidad de la unión de sucesos:
2.
Probabilidad de la intersección de sucesos:
3.
Probabilidad del suceso contrario:
4.
Probabilidad condicionada del suceso contrario:
4.12.0.2 Ejemplo
En una universidad el 50% de los alumnos habla inglés, el 20% francés y el 5% los dos idiomas ¿Cuál es
la probabilidad de encontrar alumnos que hablen alguna lengua extranjera?
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Solución:
Sea A el suceso hablar inglés:
.
.
Sea B el suceso hablar francés:
El suceso hablar francés e inglés es
:
.
Así:
4.12.0.3 Ejemplo
En una estación de esquí, para navidad-es, la experiencia indica que hay un tiempo soleado sólo el
de los días. Por otro lado, se ha calculado que cuando un día es soleado, hay una probabilidad del 20% de
que el día posterior también lo sea. Calcular la probabilidad de que, en navidades, un fin de semana
completo sea soleado.
Solución: Llamemos S al suceso sábado soleado y D al suceso domingo soleado. La única manera en que
un fin de semana completo sea soleado es que lo sea en primer lugar el sábado, y que el domingo
posterior también. Es decir:
Luego sólo el
de los fines de semana son soleados.
El primero de los teoremas que vamos a enunciar es una generalización de la probabilidad de la
intersección de dos sucesos, a la de un número cualquiera pero finito de ellos:
4.12.0.4 Teorema (Probabilidad compuesta)
Sea
una colección de sucesos aleatorios. Entonces:
Demostración
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Los teoremas que restan nos dicen como calcular las probabilidades de sucesos cuando tenemos que el
suceso seguro está descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos su
probabilidad. Para ello necesitamos introducir un nuevo concepto: Se dice que la colección
es un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos si se verifican las relaciones
(véase la figura 4.5):
Figura:A1,A2,A3,A4 forman un sistema exhaustivo y
excluyente se sucesos.
4.12.0.5 Teorema (Probabilidad total)
Sea
un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Entonces
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Demostración
Obsérvese la Figura 4.6. De ahí realizamos las siguientes operaciones:
Figura:Si A1,A2,A3,A4 forma un sistema exhaustivo y
excluyente se sucesos, podemos calcular la probabilidad de
B a partir de las cantidades
, o lo que es lo
mismo,
4.12.0.6 Ejemplo
Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:
Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas;
Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas.
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Se realiza el siguiente experimento aleatorio:
Se tira una moneda al aire y si sale cara se elige una bola de la primera urna, y si sale cruz de
la segunda.
¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?
Solución: La situación que tenemos puede ser esquematizada como
U1
U2
Como U1 y U2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe provenir
de una de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de la probabilidad total nos permite afirmar
entonces que
4.12.0.7 Teorema (Bayes)
Sea
un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Sea
conocemos todas las cantidades
,
un suceso del que
, a las que denominamos verosimilitudes.
entonces se verifica:
Demostración
Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en términos de la intersección, y del
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teorema de la probabilidad total:
4.12.0.8 Ejemplo
Se tienen tres urnas. Cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas:
Primera urna, U1: 3 bolas blancas y 2 rojas;
Segunda urna, U2: 4 bolas blancas y 2 rojas;
Tercera urna, U3: 3 bolas rojas.
Se realiza el siguiente experimento aleatorio:
Alguien elije al azar y con la misma probabilidad una de las tres urnas, y saca una bola.
Si el resultado del experimento es que ha salido una bola blanca, ¿cuál es la probabilidad de que provenga
de la primera urna? Calcular lo mismo para las otras dos urnas.
Solución:
Vamos a representar en un esquema los datos de que disponemos:
U1
U2
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U3
En este caso U1, U2 y U3 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultado debe
provenir de una de esas tres urnas y de una sólo de ellas), por tanto es posible aplicar el teorema de
Bayes:
Con respecto a las demás urnas hacemos lo mismo:
4.12.0.9 Observación
Obsérvese que en el ejemplo anterior, antes de realizar el experimento aleatorio de extraer una bola para
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ver su resultado, teníamos que la probabilidad de elegir una urna i cualquiera es
. Estas
probabilidades se denominan probabilidades a priori. Sin embargo, después de realizar el experimento,
y observar que el resultado del mismo ha sido la extracción de una bola blanca, las probabilidades de cada
urna han cambiado a
. Estas cantidades se denominan probabilidades a posteriori. Vamos a
representar en una tabla la diferencia entre ambas:
a priori
1
a posteriori
1
Las probabilidades a priori
cambian de tal modo de las a
posteriori que una vez
observado el resultado del
experimento aleatorio, se puede
afirmar con certeza que no fue
elegida la tercera urna.
Esta fenómeno tiene aplicaciones fundamentales en Ciencia: Cuando se tienen dos teorías científicas
diferentes, T1 y T2, que pretenden explicar cierto fenómeno, y a las que asociamos unas probabilidades a
priori de ser ciertas,
podemos llevar a cabo la experimentación que se considere más conveniente, para una vez obtenido el
cuerpo de evidencia, B, calcular como se modifican las probabilidades de verosimilitud de cada teoría
mediante el teorema de Bayes:
Así la experimentación puede hacer que una teoría sea descartada si
o reforzada si
. Una aplicación básica de esta técnica la tenemos en Medicina para decidir si un paciente
padece cierta enfermedad o no, en función de los resultados de un test diagnóstico.
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4.12.0.1 Proposición
4.12.0.2 Ejemplo
4.12.0.3 Ejemplo
4.12.0.4 Teorema (Probabilidad compuesta)
4.12.0.5 Teorema (Probabilidad total)
4.12.0.6 Ejemplo
4.12.0.7 Teorema (Bayes)
4.12.0.8 Ejemplo
4.12.0.9 Observación
Nodo Raíz: 4. Cálculo de probabilidades y variables
Siguiente: 4.14 Tests diagnósticos
Previo: 4.10 Probabilidad condicionada e independencia de
Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
Bioestadística: Apuntes en vídeo
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