MATEMÁTICAS MNEMOTÉCNICAS Hay dos de formas de

MATEMÁTICAS MNEMOTÉCNICAS
Hay dos de formas de aprenderse las materias que se estudian, la primera es
aprendérselas de memoria y la segunda es entendiéndolas y buscando una lógica.
Hay ciertas asignaturas como la Historia, la Literatura, ciertas partes de la Biología, de
la Geología, entre otras, que se prestan más a la primera forma, es decir,
aprendiéndoselas de memoria o como se dice coloquialmente, “con codos”.
Y hay otras asignaturas, como las Matemáticas, la Física, la Química, cierta parte de la
Biología, y las normas gramaticales de la Lengua y de idiomas extranjeros, que se
prestan más a la segunda forma.
Para facilitar el estudio y el aprendizaje, en el primer caso, existen técnicas de estudio
consistentes en: pre lectura, lectura, subrayado, resumen, esquemas, etc. mientras
que para el segundo caso, una vez entiendes el porqué y encuentras la lógica de lo
que estás estudiando, es fácil aprenderlo y memorizarlo. Además, por lo general, suele
ser más duradero su recuerdo en nuestra memoria.
Sin embargo, en Matemáticas, que es la asignatura en la que nos vamos a centrar,
hay muchas veces que su estudio no sólo es encontrar la lógica, o su búsqueda es
demasiado compleja para estudiantes de secundaria o de bachillerato. En estas
situaciones, por lo general, los alumnos recurren a la primera forma de estudiar que
hemos descrito anteriormente, es decir, no les queda más remedio que aprenderlo de
memoria “porque sí”.
En estos casos, para facilitar esas memorizaciones, existen unas técnicas llamadas
mnemotécnicas, que no buscan la comprensión a partir de la lógica, pero que son muy
útiles a los alumnos, para afianzar sus conocimientos y recordar fácilmente esas
partes que debían aprenderse de memoria.
El origen etimológico de la palabra mnemotecnia nos llega de la mitología griega,
según la cual, Mnemósine era la diosa de la memoria.
Si consultamos el diccionario de la Real Academia de la Lengua, mnemotecnia
significa: “Procedimiento de asociación mental para facilitar el recuerdo de algo.”
Esas asociaciones mentales son las que nos van a ayudar a recordar las partes de las
matemáticas, o de cualquier otra asignatura, que tenemos que aprender de memoria.
Personalmente, gracias a estas técnicas, sigo recordando hoy en día, algunos
conceptos de asignaturas que no son de mi ámbito profesional, como por ejemplo, en
Lengua, cuándo utilizar deber y cuándo deber de, o en Francés, los significados de
dessert, poisson y dessous, frente a désert, poison y dessus, o en Química, los
números atómicos y masas atómicas de los principales elementos químicos, como el
hidrógeno, el carbono, el nitrógeno o el oxígeno, entre otros.
Hay que tener especial cuidado a la hora de elegir una regla mnemotécnica, ya que no
todas son igual de válidas ni igual de útiles. Voy a contar algunos contraejemplos de
cómo no debe ser una regla mnemotécnica:
Cuando yo era estudiante, en la asignatura de química, cuando se estudia la
formulación de los ácidos y las sales, sabemos que la nomenclatura de los ácidos
terminan en OSO o en ICO en función de coger la valencia menor o mayor del metal,
respectivamente. Cuando se produce una reacción de neutralización, entre un
oxoácido y un hidróxido de metal obtenemos una oxisal. En la nomenclatura
tradicional, las sales que proceden de un ácido terminado en OSO se nombra con la
terminación ITO y las que proceden de los ácidos que terminan en ICO, se nombran
con la terminación ATO.
Para acordarnos de esta concordancia nos decían que nos aprendiéramos la siguiente
frase como regla mnemotécnica:
“Cuando el OSO toca el pITO,
PerICO toca el silbATO”
De esta forma, nos decían que era muy fácil acordarse. Pero claro, a mí siempre me
pareció un poco absurda esta regla porque yo me preguntaba ¿Y por qué el oso no
puedo tocar el silbato y Perico tocar el pito? No hay nada que nos obligue a aprenderlo
al revés. Este es un ejemplo de las reglas mnemotécnicas que yo llamo sin lógica.
Al igual que existen versos para acordarse del número Pi, el más corto de los que
conozco, es el siguiente:
“Sol y luna y cielo proclaman al Divino autor del Cosmo”.
Contando el número de letras de cada palabra, podremos escribir el número Pi.
Existen otros versos más largos, los he visto con hasta treinta y dos palabras, para
acordarse de más dígitos. Pero aquí nos encontramos con otra perogrullada, ¿no será
más fácil aprenderse: tres catorce quince noventa y dos que aprender una poesía de
no sé cuantas palabras? Por no entrar a valorar el valor práctico que puede tener
aprenderse treinta y dos cifras de dicho número.
Por último, para acordarse del significado de las relaciones trigonométricas, podemos
encontrar algunas técnicas mnemotécnicas basadas en palabras sin sentido como:
SORCARTOA, para acordarse de que el Seno es la Ordenada sobre el Radio vector,
el Coseno es la Adyacente sobre el Radio vector y que la Tangente es la Ordenada
sobre la Adyacente. Este es otro ejemplo de las reglas mnemotécnicas que a mí no
me gustan, porque la palabra elegida es una palabra sin sentido y la explicación de
cada razón trigonométrica: “ordenada sobre el radio vector” no ayuda a los alumnos a
entender su significado. La primera de las reglas que muestro en este artículo, también
trata sobre las razones trigonométricas, pero como podrás comprobar es más intuitiva
y fácil de entender por los alumnos de secundaria.
Como profesor de matemáticas, me gusta emplear reglas mnemotécnicas sencillas y
fáciles de recordar, para que los alumnos aprendan la asignatura con menor esfuerzo.
Algunas de las reglas mnemotécnicas que empleo en mis clases, son de mi propia
cosecha y otras las he aprendido de otros profesores o incluso de algún alumno, por lo
que al final las he incorporado todas a mi repertorio de reglas mnemotécnicas, y las he
hecho mías para el beneficio de todos mis alumnos. Por ello, quiero compartirlas
contigo, para que te sean de utilidad y por consiguiente a tus alumnos. Vamos a
detallar algunas de ellas.
1) Diferencia entre Seno y Coseno
Esta primera regla mnemotécnica, es quizás, la más conocida por todos, pero no por
ello, es menos válida.
Es normal que los alumnos confundan el concepto del seno y del coseno, ya que son
dos palabras relativamente parecidas y sus conceptos también son similares, ya que
ambas indican la relación que hay, en un triángulo rectángulo, de dividir un cateto
entre la hipotenusa. No hay ninguna lógica para saber qué cateto es el que debemos
coger cuando calculamos el seno y qué cateto es para el cálculo del coseno.
En esta ocasión lo que les decimos a los alumnos es lo siguiente:
SEno es la relación que tenemos al dividir el cateto SEparado entre la hipotenusa.
COseno es la relación que tenemos al dividir el cateto COntiguo entre la hipotenusa.
Para aquellos alumnos que no están muy familiarizados con la palabra contiguo, se la
substituiremos por el cateto COmpañero.
Como habrás podido comprobar es intuitiva y fácil de recordar.
2) Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º
En trigonometría es muy útil saberse las razones trigonométricas de los ángulos: 0º,
30º, 45º, 60º, 90º, 180º, 270º y 360º, ya que son los ángulos que más veces vamos a
tener que utilizar.
Para recordar las razones trigonométricas de los ángulos rectangulares, es decir, 0º,
90º, 180º, 270º y 360º, recurriremos a la circunferencia goniométrica y deduciremos
sus valores sabiendo que el seno es la componente vertical (Y) y el coseno la
componente horizontal (X). Para ello, esta vez sí empleamos la lógica.
Sin embargo, para los ángulos 30º, 45º y 60º no podemos hacer los mismo, ya que la
lógica en esta ocasión es demasiado compleja y difícil de aplicar para alumnos de
secundaria y bachillerato, e incluso para algunos universitarios, por lo que
recurriremos nuevamente a una regla mnemotécnica. Haremos lo siguiente:
Colocamos los ángulos en una tabla de esta forma:
Seno
Coseno
Tangente
30º
45º
60º
Les diremos a los alumnos que en las casillas del seno enumeren los ángulos:
Seno
30º
1
45º
2
60º
3
Coseno
Tangente
A continuación, que saquen sus raíces cuadradas:
Seno
30º
Coseno
Tangente
1
45º
60º
Y por último, que dividan entre 2
Seno
Coseno
Tangente
30º
45º
60º
Ya hemos completado los valores correspondientes al seno, que es lo más difícil.
Para calcular los cosenos, debemos explicarles que el seno de un ángulo es igual que
el coseno de su complementario, por lo que, una vez aprendido los senos, podemos
deducir rápidamente los cosenos. También podemos repetir el mismo proceso que con
el seno, pero en esta ocasión, de abajo a arriba, ya que el complementario de 30º es
60º, el de 45º es él mismo y el de 60º es 30º.
De esta forma, la tabla se queda como sigue:
Seno
Coseno
Tangente
30º
45º
60º
Por último, para calcular las tangentes, como sabemos que
, sólo
tendremos que dividir el valor de la primera columna entre el de la segunda.
Finalmente nos queda:
Seno
Coseno
Tangente
30º
45º
1
60º
3) Ángulos complementarios y suplementarios
¿Te has planteado alguna vez por qué se utilizan las palabras complementario y
suplementario para designar a dos ángulos que suman 90º y 180º respectivamente?
Si vamos nuevamente al diccionario de la Real Academia de la Lengua, podemos leer:
Complementario: “Que sirve para complementar o perfeccionar”
Suplementario: “Que sirve para suplir una cosa o completarla”
Podemos comprobar que son dos palabras casi sinónimas, por lo que una vez más,
para distinguir su significado matemático no nos sirve la lógica y debemos recurrir a
una regla mnemotécnica. Yo empleo la siguiente:
Para que mis alumnos aprendan a distinguirlas, les escribo la C y la S de forma
angulosa:
A continuación les dibujo los ángulos de 90º en cada dibujo:
En la C hay un ángulo de 90º, por tanto los Complementarios suman 90º
En la S hay dos ángulos de 90º, por tanto los Suplementarios suman 180º
4) Estudio de parábolas
Cuando los alumnos, normalmente en 3º de ESO, se inician en el estudio de las
funciones cuadráticas, de la forma:
y = ax2 + bx + c
les digo que se fijen en la a que es “la que manda” sobre la función.
Después les pregunto, “¿Cuándo te pasa algo positivo, cómo estás, contento o triste?”
“Contento” responden. ¿Y si te pasa algo negativo?: Triste.
Pues a las parábolas les pasa lo mismo, cuando la a es positiva la parábola está
contenta:
Y cuando la a es negativa, la parábola está triste
5) Estudio de funciones
Cuando los alumnos de bachillerato realizan el estudio de las funciones, buscando
máximos, mínimos, concavidad y convexidad, una de las formas de hallarlo es a través
de la segunda derivada.
Les digo algo parecido al caso anterior:
Si la segunda derivada es positiva, la función está contenta.
Si la segunda derivada es negativa la función está triste
Por tanto, a partir de este dato, podemos deducir si la función es cóncava o convexa y
si tenemos un máximo o un mínimo.
6) Integración por partes
Una de las principales dificultades que se encuentran los alumnos de 2º de
bachillerato en la integración por partes, es saber qué funciones deben escoger para la
u y qué funciones cogen para el dv.
En algunos libros de texto de 2º de bachillerato viene una tabla con 7 u 8 tipos de
funciones, tales como:
Función
n
x e
x
xn sen x
x
u
dv
n
ex
x
xn
sen x
x
e sen x
e
sen x
…
…
…
Y así hasta enumerar 7 u 8 casos distintos y evidentemente no abarcan todos los
posibles.
En este caso no es viable aplicar la lógica porque no los alumnos de 2º de bachillerato
no tienen los conocimientos adecuados para analizar y deducir qué tipo de función
cogemos para cada uno de las partes de la integración.
Para ello, nuevamente echamos mano de una regla mnemotécnica que es muy
sencilla para discernir este tipo de problemas de integración.
Escribo en la pizarra la palabra ALPES, que es muy fácil de aprender por todos, y justo
debajo escribo u dv, quedando de la siguiente forma:
ALPES
u dv
A continuación les indico la función que representa cada una de las letras:
A: corresponde a Arco senos, Arco cosenos, Arco tangentes, etc.
L: indica todas funciones del tipo Logarítmico
P: nos referimos a todas las funciones Polinómicas independientemente del grado del
mismo, es decir, también estaría incluido el grado cero.
E: corresponden a todas las funciones Exponenciales
S: por último, esta letra representa a las funciones trigonométricas como Seno o
coseno.
Una vez tenemos identificadas las funciones con las letras, sólo nos queda asociarlas
con las partes de la integración, de tal forma, que la función que corresponde a la letra
situada más a la izquierda de la palabra ALPES, se asocia a la u que también está
situada a la izquierda, mientras que la función que la función que corresponde a la
letra situada más a la derecha de la palabra ALPES, se asocia a dv, que también está
más a la derecha.
Hagamos algunos ejemplos y luego los compararemos con los de la tabla anterior.
Tomemos en primer lugar la función: f(x) = x3 · ex, donde x3 es un polinomio y ex es
una exponencial, como en la palabra ALPES, la P está más a la izquierda que la E, el
polinomio x3 se asociará a la u, mientras que la exponencial ex se asociará a dv.
u = xn
dv = ex
Que es lo mismo que nos decían en la tabla.
Sigamos con este otro ejemplo:
Sea la función f(x) = x · sen (4x – 2)
A la hora de integrar por partes, volvemos a fijarnos en cada una de las funciones que
la componen. Por un lado tenemos el polinomio x y por otro lado, la función seno. Nos
fijamos nuevamente en la palabra ALPES. Como la P está más a la izquierda que la S,
entonces, el polinomio x se asociará a la u y la función seno se asociará a dv.
u=x
dv = sen (4x – 2)
Si volvemos a comparar con lo que indicaba la tabla, comprobamos que el cambio se
realiza de la misma manera.
Por último cogemos la función f(x) =
· cos (–2x + 5)
Al igual que en los casos anteriores, nos fijamos en las funciones que componen la
función f(x). Por un lado tenemos
que es una exponencial, y por otro lado
tenemos un coseno, que recordemos está incluido en la S. Volvemos a mirar la
palabra ALPES, como la E está más a la izquierda, la exponencial se asocia con la u,
y como la S está más a la derecha, el coseno se asocia a la dv.
u=
dv = cos (–2x + 5)
Es una regla sencilla y fácil de recordar.
Como habrás podido comprobar, las reglas mnemotécnicas que hemos seleccionado
para este artículo, son sencillas, fáciles de recordar, a los alumnos les suelen gustar y
podríamos decir que incluso poseen cierta lógica. Espero que te sean de utilidad y que
tus alumnos se beneficien de ello.
Como he comentado al principio, las reglas descritas en este artículo han sido creadas
por mí o por compañeros o incluso por alumnos, por lo que no puedo citar ninguna
fuente como bibliografía ni como referencia, más que mi propia experiencia como
profesor.
Enrique Salazar Dutrús