Espacios normados y variable compleja. Relación de ejercicios n. 2. 1. Pruebe que (X, d) es un espacio métrico en cada uno de los siguientes casos e indique el significado p de convergencia de una sucesión. a) X = R, d(x, y) = |x − y|, (x, y ∈ R). b) X el conjunto formado por todas las sucesiones {xn }∞ n=1 de complejos y ∞ d({xn }∞ n=1 , {yn }n=1 ) = ∞ X n=1 2−n |xn − yn | , 1 + |xn − yn | (xn , yn ∈ C, para todo n). 2. Sean (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) dos espacios métricos. Pruebe que ρ, ρ1 y ρ2 son distancias en X1 × X2 . ρ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ). ρ1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 )2 + d2 (x2 , y2 )2 1/2 . ρ2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max {d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )} . ¿Son estas distancias equivalentes? ◦ 3. Determine A, A y ∂A en cada uno de los siguientes casos. a) A = (0, 1) ∪ (2, 3] ∪ {6} en R. b) A = Q en R. c) A = Q en C. d) A = (0, 1)∪(2, 3]∪{6} en C. e) A = {z ∈ C : |z| < 1}\[0, 1] en C. 4. Sea (x, d) un espacio métrico y sean A, B ⊂ X. Pruebe que A ∪ B = A ∪ B, A ∩ B ⊂ A ∩ B. Si es posible, dé ejemplos en que la última inclusión sea estricta. 5. Sea (X, d) un espacio métrico. Una familia F de subconjuntos abiertos de X se dice que es una base de la topologı́a de X si cualquier abierto de X puede expresarse como unión de elementos de la familia F. (a) Sea (X, d) un espacio métrico. Pruebe que (X, d) es separable si y sólo si su topologı́a tiene una base numerable. (b) Pruebe que si a, b ∈ R y a < b entonces el espacio B([a, b]) de las funciones acotadas de [a, b] en C con la norma del supremo no es separable. ∞ 6. Sean {xn }∞ n=1 e {yn }n=1 dos sucesiones de Cauchy en un espacio métrico (X, d). Para cada n sea an = d(xn , yn ). Pruebe que la sucesión numérica {an } es convergente. 7. a) Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea {Fn }∞ n=1 una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados y no vacı́os de X con diam(Fn ) → 0. Pruebe n→∞ que ∩∞ n=1 Fn es un conjunto no vacı́o y que contiene un único elemento. ¿Qué sucede si se omite la hipótesis de que los Fn son cerrados? ¿Qué sucede si se omite la hipótesis de que diam(Fn ) → 0? n→∞ b) Sea (X, d) es un espacio métrico con la propiedad de que para toda sucesión decreciente de subconjuntos cerrados Fn de X con diam(Fn ) → 0 se tiene que n→∞ ∩∞ n=1 Fn es un conjunto no vacı́o y que contiene un único elemento. ¿Puede asegurarse que (X, d) es completo? 8. Demuestre que para 1 ≤ p ≤ ∞ el espacio `p es un espacio de Banach. 9. Sea 0 < p < 1. 1 2 (i) Demuestre que (1 + x)p ≤ 1 + xp , para todo x > 0. (ii) Demuestre que (a + b)p ≤ ap + bp , para todo par de números a, b > 0. (iii) Dado z = (z1 , z2 , . . . , zn ) ∈ Cn definimos kzkp = n X !1/p |zk |p . k=0 Compruebe que k·kp no es una norma en Cn pero dp definida por dp (z, z 0 ) = kz−z 0 kpp es una distancia en Cn . (iv) De forma análoga, si z = {zn }∞ n=1 es una sucesión de complejos, definimos kzkp = ∞ X !1/p p |zk | . k=0 Se define `p como el espacio de las sucesiones z = {zn }∞ n=1 de complejos con kzkp < ∞. Compruebe que `p es un espacio vectorial complejo, que k · kp no es una norma en `p pero que dp : `p × `p → R definida por dp (z, z 0 ) = kz − z 0 kpp es una distancia completa en `p . |x−y| (x, y ∈ R). Diga 10. Sea d la distancia en R definida por d(x, y) = 1+|x−y| razonadamente si (R, d) es completo, totalmente acotado y/o compacto. 11. Sea I = [0, 1]. Para cada n ∈ {3, 4, 5, . . . } sea fn :→ R definida por fn (x) = 1, si 0 ≤ x ≤ 1 , 2 1 1 + ≤ x ≤ 1, 2 n 1 1 1 fn (x) = αn x + βn , si ≤x≤ + , 2 2 n fn (x) = 0, si αn y βn son números reales tales que fn es continua. Diga razonadamente si la sucesión {fn }∞ n=3 es de Cauchy y/o convergente en: (a) (C(I), k · k∞ ). (b) (C(I), k · k1 ). 12. Si X es un espacio normado y A y B son subconjuntos de X se define A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}. Pruebe que: (a) Si uno de los conjuntos A o B es abierto entonces A + B es abierto. (b) Si A y B son compactos, entonces A + B es compacto. (c) Si A es compacto y B es cerrado, entonces A + B es cerrado. (d) Encuentre dos subconjuntos cerrados de R tales que A + B no sea cerrado. 13. Pruebe que en un espacio normado la adherencia de la bola abierta de centro x y radio r es la bola cerrada del mismo centro y radio.