UNIVERSIDAD DE MURCIA Ampliación de Topologı́a Relación de problemas no 5 Departamento de Matemáticas REDES 31. Sea (E, d) un espacio métrico y M ⊂ E. Pruebe: (a) x ∈ M si, y sólo si existe una sucesión en M que converge a x. (b) x ∈ M 0 si, y sólo si existe una sucesión en M r {x} que converge a x. ◦ (c) x ∈M si, y sólo si para toda sucesión en (xn )n∈N ⊂ E que converge a x existe no tal que n ≥ no implica que xn ∈ M . (d) M es cerrado en (E, d) si, y sólo si toda sucesión en M convergente tiene su lı́mite en M . (e) M es abierto si, y sólo si para toda sucesión (xn )n∈N ⊂ E convergente a un elemento de M , existe no tal que n ≥ no implica que xn ∈ M . (f) x ∈ f rM si, y sólo si existe una sucesión (xn )n∈N en M convergente a x y otra sucesión (yn )n∈N en M c convergente a x. 32. Sea (X, τ ) un espacio topológico y S ⊂ X un subconjunto. Pruebe: (a) S es cerrado en (X, τ ) si, y sólo si toda red en S convergente tiene su lı́mite en S. (b) S es abierto si, y sólo si para toda red (xi )i∈I ⊂ X convergente a un elemento de X, existe io tal que i ≥ io implica que xi ∈ S. (c) x ∈ f rS si, y sólo si existe una red (xi )i∈I en S convergente a x y otra red (yj )j∈J en S c convergente a x. 33. Sea (X, τ ) un espacio topológico. Demuestre que si una red está eventualmente en un conjunto S ⊂ X, entonces toda subred de dicha red también está eventualmente en S. 34. Sea (X, τ ) un espacio topológico y (xi )i∈I ⊂ X una red. T Se define, para cada i ∈ I el conjunto Gi = {xj : i ≤ j}. Pruebe que el conjunto i∈I Gi es el conjunto de puntos de aglomeración de la red. 35. Sea (X, d) un espacio métrico y (xi )i∈I ⊂ X una red. Pruebe que son equivalentes: (a) limi∈I xi = x ∈ X. (b) La red de números reales (d(xi , x))i∈I tiene lı́mite cero. 36. Sea [a, b] ⊂ R y sea P[a, b] el conjunto de las particiones del intervalo [a, b] P[a, b] = {P = {a = xo < x1 < · · · < xn = b} : n ∈ N, xk ∈ [a, b]} Se define el diámetro de una partición P = {a = xo < x1 < · · · < xn = b} como δ(P ) = max{xk − xk−1 : k = 1, . . . , n} Definimos el conjunto Π = {(P, t) : P ∈ P[a, b] y t = {t1 , . . . , tn } con xk−1 ≤ tk ≤ xk , y xk ∈ P } y las relaciones siguientes: (a) (P, t) ≤ (Q, s) si y sólo si δ(Q) ≤ δ(P ). (b) (P, t) ≤ (Q, s) si y sólo si P ⊂ Q. Pruebe que amabas relaciones hacen de Π un conjunto dirigido.