b - Web del Profesor

1. Demostrar lo siguiente:
(a) Si ax = a para un número a 6= 0 entonces x = 1.
(b) x2 − y 2 = (x − y)(x + y).
(c) Si x2 = y 2 entonces x = y o x = −y.
(d) x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ).
(e) xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 y n−1 ).
(f) x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ).
2. Demostrar lo siguiente:
(a) a/b = (ac)/(bc) si b, c 6= 0.
(b) (a/b) + (c/d) = (ac + bc)/(bd) si b, d 6= 0.
(c) (ab)−1 = a−1 b−1 si a, b 6= 0.
(d) (a/b)(c/d) = (ac)/(bd) si b, d 6= 0.
(e) (a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) si b, d, c 6= 0.
(f) Si b, d 6= 0 entonces a/b = c/d si y sólo si ad = bc. Determine cuándo
a/b = b/a
3. Demostrar lo siguiente:
(a) Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.
(b) Si a < b entonces −b < −a.
(c) Si a < b y c > d entonces a − c < b − d.
(d) Si a < b y c > 0 entonces ac < bc.
(e) Si a < b y c < 0 entonces ac > bc.
(f) Si a > 1 entonces a2 > a.
(g) Si 0 < a < 1 entonces a2 < a.
(h) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d entonces ac < bd.
(i) Si 0 ≤ a < b entonces a2 < b2 .
(j) Si a, b ≥ 0 y a2 < b2 entonces a < b.
4. (a) Demostrar que si 0 ≤ x < y entonces xn < y n .
(b) Demostrar que si x < y y n es impar entonces xn < y n .
(c) Demostrar que si xn = y n y n es impar entonces x = y.
(d) Demostrar que si xn = y n y n es par entonces x = y o x = −y.
5. Demostrar que si 0 < a < b entonces
√
a+b
< b.
2
√
Note que para a, b ≥ 0 la desigualdad ab <
posición adicional a < b.
a<
ab <
a+b
2
se cumple sin la su-
6. Demostrar lo siguiente:
(a) |xy| = |x||y|.
1
1
(b) =
si y 6= 0.
y
|y|
x |x|
(c) =
si y 6= 0.
y
|y|
(d) |x − y| ≤ |x| + |y|.
(e) |x| − |y| ≤ |x − y|.
(f) |(|x| − |y|)| ≤ |x − y|.
(g) |x + y + z| ≤ |x| + |y| + |z|. ¿Cuándo ocurre la igualdad?
7. (a) Demostrar que |a| = | − a|.
(b) Demostrar que |a| < b si y sólo si −b < a < b.
(c) Utilizar el resultado anterior para dar otra prueba de |a+b| ≤ |a|+|b|.
(d) Sea b > 0, demostrar que |x| > b si y sólo si x > b o x < −b.
8. Considere el conjunto Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} en el cual se han definido las leyes
de composición interna ⊕ y definidas como se indica en las siguientes
tablas
⊕
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
(a) Estudie cada tabla. Determine el “patrón” que sigue. Pruebe detalladamente que la estructura (Z5 , ⊕, ) es un campo.
(b) Defina en Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} operaciones ⊕ y usando tablas
análogas. ¿Es (Z7 , ⊕, ) un campo?
(c) Considere la misma cuestión para (Z6 , ⊕, ).
9. ¿Cuáles de las estructuras (N, +, ·), (Z, +, ·) y (Q, +, ·) son campos? Explique.
10. El conjunto de los números complejos se define como
C = {(x, y) : x, y ∈ R},
y las operaciones de suma y producto de números complejos se definen
respectivamente por:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) y
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
(a) Pruebe detalladamente que (C, +, ·) es un campo.
(b) Muestre que es imposible “ordenar” los números complejos en un
sentido análogo al orden estudiado en R.
11. Consideremos una relación ∼ en un conjunto S. Decimos que la relación
∼ es un orden parcial si satisface las siguientes propiedades:
• (Reflexiva) Para todo x ∈ S se cumple que x ∼ x.
• (Transitiva) Para x, y, z ∈ S se tiene que si x ∼ y y y ∼ z entonces
x ∼ z.
• (Antisimétrica) Para x, y ∈ S se tiene que si x ∼ y y y ∼ x entonces
x = y.
Adicionalmente, si la relación de orden ∼ en el conjunto S satisface la
siguiente condición:
Para todo x, y ∈, se cumple que x ∼ y ó y ∼ x,
entonces decimos que ∼ es una relación de orden total.
(a) Pruebe que la relación x ∼ y si y sólo si x ≤ y define un orden total
en R.
(b) Sea A un conjunto conteniendo al menos dos elementos. Definimos un
orden en P(A), la colección de todos los subconjuntos de A, usando
la inclusión de conjuntos. Pruebe que (P(A), ⊆) es un orden parcial
pero no un orden total.
(c) Considere la relación < en R. Muestre que no se trata de un orden
total exhibiendo contraejemplos para cada una de las propiedades
que dejan de cumplirse.
1. Ud. debe revisar los conceptos y notaciones básicas de la introducción a la
teorı́a de conjuntos que se consideraron en cursos anteriores. En particular
revise:
(a) Leyes de Morgan. Sean A y B subconjuntos de R.
i. Si x ∈ (A ∩ B)c , explique por qué x ∈ Ac ∪ B c . Esto prueba que
(A ∩ B)c ⊆ Ac ∪ B c .
ii. Pruebe la inclusión contraria: (A ∩ B)c ⊇ Ac ∪ B c .
iii. Pruebe que (A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
(b) Dada una función f y un subconjunto A de su dominio, sea f (A) el
recorrido de f sobre el conjunto A, es decir f (A) = {f (x) : x ∈ A},
i. Sea f (x) = x2 . Si A = [0, 2] y B = [1, 4], encuentre f (A) y
f (B). ¿Es f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) en este caso? ¿Y f (A ∪ B) =
f (A) ∪ f (B)?
ii. Encuentre dos conjuntos A y B tales que f (A∩B) 6= f (A)∩f (B).
iii. Pruebe que, para una función arbitraria g : R → R; siempre es
verdad que g(A ∩ B) ⊆ g(A) ∩ g(B) para todos los conjuntos
A, B ⊆ R.
iv. Formule y pruebe una conjetura sobre las relaciones entre g(A ∪
B) y g(A) ∪ g(B) para una función arbitraria g.
(c) Identifique:
∞ \
1 1
− ,
i.
.
n n
n=1
ii.
∞
[
(−n, n).
n=1
∞ \
1 n+1
iii.
− ,
.
n
n
n=1
∞ [
n
0,
.
iv.
n+1
n=1
2. Las siguientes actividades tienen como finalidad que Ud. revise el método
de demostración por inducción.
(a) Lea en el texto T. Apostol: Calculus Volumen 1, las secciones 1.4.1
a la 1.4.7 y realice los ejercicios que allı́ se indican.
(b) Sean x1 , x2 , . . . , xn números reales pruebe que:
n
n
Y
Y
i. xi =
|xi |.
i=1
i+1
n
n
X
X
ii. xi ≤
|xi |.
i=1
i+1
(c) Pruebe que para cada número natural n se tiene que 4n −1 es múltiplo
de 3.
(d) Pruebe que 2n ≤ n! para todos los enteros n ≥ 5.
(e) Pruebe la desigualdad de Bernoulli: si x ∈ R con 1 + x > 0 entonces
(1 + x)n ≥ 1 + nx para cada n ∈ N.
(f) Pruebe que para cada entero positivo n se tiene que
1+
1
1 1
n
+ + ··· + n ≥ 1 + .
2 3
2
2
(g) Pruebe que 2n > n2 para todo n ∈ N con n ≥ 5.
(h) Pruebe que 8 divide a 52n − 1 para todo n ∈ N.
(i) Recordemos que un subconjunto S de R2 es convexo si para x, y ∈ S
el segmento de recta uniendo x y y está contenido enteramente en S.
Pruebe que para cada entero n ≥ 3 la suma de los ángulos interiores
de un polı́gono convexo con n vértices es (n − 2)180 grados.
(j) Recordemos que para n entero no negativo se define n! inductivamente por 0! = 1 y (n + 1)! = (n + 1)n!. Además para n, k enteros
no negativos con k ≤ n definimos el coeficiente binomial
n!
n
=
.
k
k!(n − k)!
i. Calcule
8
8
5
5
7
7
5!,
,
,
,
,
y
.
3
5
2
3
0
7
ii. Pruebe que para todo k, n ∈ N con k ≤ n se tiene que
n+1
n
n
=
+
.
k
k−1
k
iii. Pruebe el Teorema Binomial: Si a, b ∈ y n es un entero no
negativo entonces
n X
n
(a + b)n =
ak bn−k .
k
k=0
iv. Pruebe que
n X
n
(−1)k = 0,
k
k=0
para cada n entero positivo.
(k) Si un conjunto A contiene n elementos pruebe que el número de
subconjuntos diferentes de A es igual a 2n . (Recuerde que el conjunto
vacı́o ∅ es considerado subconjunto de cada conjunto).
√
3. En clase se reviso la conocida prueba de que 2 es irracional. Para una
generalización de este hecho considere los Problemas 13 y 17 Capı́tulo 2
del libro de M. Spivak, Calculus.
4. En los siguientes ejercicios Ud. debe formular y probar las afirmaciones
referidas a “acotación por abajo” análogas a las discutidas en clase para
“acotación por arriba”.
(a) Escriba definiciónes formales de cota inferior de un conjunto y de
ı́nfimo o cota inferior máxima de un conjunto.
(b) Pruebe que si un conjunto no vacı́o de números reales posee cota
inferior máxima, ésta es única.
(c) Demuestre que si A es un subconjunto de R, no vacı́o y acotado
inferiormente entonces posee cota inferior máxima.
(d) Pruebe que si m ∈ R es una cota inferior para un conjunto A ⊆ R.
Entonces, m = inf A si y sólo si para cada > 0, existe un elemento
a ∈ A tal que a < m + .
5. Considere el intervalo (1, 4) ⊂ R. Pruebe detalladamente que:
(a) 4 es su supremo.
(b) 1, 1 no es una cota inferior de ese conjunto.
6. Pruebe que inf{1/n : n ∈ N} = 0.
7. Pruebe que sup{1 − 1/n : n ∈ N} = 1.
8. Pruebe que sup{1 − 1/n2 : n ∈ N} = 1.
9. Encuentre los supremos e ı́nfimos (si existen) de los siguientes conjuntos:
(a) {n ∈ N : n2 < 10}.
(b) {n/(m + n) : n, m ∈ N}.
(c) {n/(2n + 1) : n ∈ N}.
(d) {n/m : n, m ∈ N con m + n ≤ 10}.
(e) [0, 4].
(f) (0, 4).
(g) N
(h) [0,
√
2] ∩ Q.
(i) (0, π) ∩ Q.
(j) {n/(n + 1) : n ∈ N}.
(k) {(n + 1)/n : n ∈ N}.
(l) {1/n : n ∈ Z, n 6= 0}.
(m) {x : x = 0 ó x = 1/n, n ∈ N}.
(n) {x : 0 ≤ x ≤
√
3, x ∈ Q}.
2
(o) {x : x + x + 1 ≥ 0}.
(p) {x : x2 + x − 1 < 0}.
(q) {x : x2 + x − 1 < 0 y x < 0}.
(r) { n1 + (−1)n : n ∈ N}.
10. Si A ⊂ R es un conjunto no vacı́o, sea −A = {−x : x ∈ A}. Pruebe que
sup(−A) = − inf(A) y inf(−A) = − sup(A),
si tales números existen.
11. Sean A y B subconjuntos no vacı́os de R, acotados superiormente, tales
que B ⊆ A. Pruebe que sup B ≤ sup A.
12. Sea A ⊆ R acotado superiormente y c ∈ R. Defina los conjuntos c + A y
cA por c + A = {c + a : a ∈ A} y cA = {ca : a ∈ A}.
(a) Pruebe que sup(c + A) = c + sup A.
(b) Si c ≥ 0, pruebe que sup(cA) = c sup A.
(c) Postule y pruebe una afirmación de tipo similar para sup(cA) si c < 0.
13. Pruebe que si a es una cota superior de A y si a es tambien un elmento
de A, debe cumplirse que a = sup A.
14. Si sup A < sup B, entonces pruebe que existe un elemento b ∈ B que es
una cota superior para A.
T∞
15. Pruebe que n=1 (0, 1/n) = ∅.
16. Sean x, y ∈ R. Pruebe que
max{x, y} =
|x − y| + x + y
.
2
17. Sea S un subconjunto no vacı́o de R. Pruebe que S es acotado si existe
un M > 0 tal que |x| ≤ M para todo x ∈ S.
18. Sea S un subconjunto no vacı́o y acotado de R. Pruebe que inf S ≤ sup S.
¿Bajo qué condiciones inf S = sup S?
19. Sean S y T subconjuntos acotados de R.
(a) Pruebe que sup(S ∪ T ) ≥ sup S y sup(S ∪ T ) ≥ sup T .
(b) Pruebe que sup(S ∪ T ) = max{sup S, sup T }.
20. Sean A y B suconjuntos acotados no vacı́os de números reales. Sea
C = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}.
(a) Pruebe que sup C = sup A + sup B.
(b) Pruebe que inf C = inf A + inf B.
21. Dados A y B subconjuntos no vacı́os de números reales con la propiedad
que s ≤ t para cada s ∈ A y cada t ∈ B. Pruebe que sup A e inf B existen
ambos y sup A ≤ inf B.
22. Dado x, y > 0 pruebe que existe un número natural n tal que nx ≥ y.
Esta propiedad es referida algunas veces como propiedad de la regla. ¿Por
qué?
23. Ejercicios 12 y 14 del Capı́tulo 2 de M. Spivak, Calculus.
√
24. En clase se discutirá en detalle la existencia de 2 en R. Considere la
generalización de este resultado como sigue:
√
(a) Imite la prueba dada en clase para probar que 3 y sqrt5 existen.
(b) Pruebe que para real x > 0 existe uno y sólo un número real y > 0
tal que y 2 = x.
√
(c) Finalmente consideremos la existencia de n x para cada x > 0 y n ∈
N. Revise la prueba en el libro de W. Rudin, Principios de Análisis
Matemático, Teorema 1.21. Complete los detalles de la prueba y
justifique cada paso.
1. Verfique, usando la definición de convergencia que las siguientes sucesiones
convergen al lı́mite indicado:
1
=0
+1
3n + 1
3
(b) lim
=
n→∞ 2n + 5
2
2
(c) lim √
=0
n→∞
n+3
(a) lim
n→∞ 6n2
2. Muestre que la sucesión
1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, (5 ceros ), 1, . . .
no converge a 0. ¿Para qué valores ε > 0 existe el correspondiente N ?
¿Para que valores ε > 0 no hay el correspondiente N ?
3. Sea [x] el mayor entero menor o igual que x. Por ejemplo [π] = 3 y [3] = 3.
Encuentre lim an y pruebe sus afirmaciones si
n→∞
(a) an = [1/n],
(b) an = [(10 + n)/2n].
4. Informalmente hablando, la sucesión
√
n “converge a infinito”.
(a) Imitando la estructuta lógica de nuestra definición de lı́mite formule
una definición rigurosa para la afirmación lim xn = ∞. Use su
n→∞
√
definición para probar que lim n = ∞.
n→∞
(b) ¿Qué dice su definición de la parte anterior sobre la sucesión
1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, . . . ?
5. Pruebe que la sucesión constante a, a, a, a, · · · converge a a.
6. Sea xn ≥ 0 para todo n ∈ N.
√
(a) Si xn → 0 pruebe que xn → 0.
√
√
(b) Si xn → x pruebe que xn → x.
7. (Teorema del emparedado). Pruebe que si xn ≤ yn ≤ zn para todo
n ∈ N y si lim xn = lim zn = l entonces también lim yn = l.
n→∞
n→∞
n→∞
8. Pruebe que el lı́mite de una sucesión, si existe, debe ser único. Es decir si
lim xn = l1 y lim xn = l2 entonces l1 = l2 .
n→∞
n→∞
9. (a) Pruebe que si bn → b entonces |bn | → |b|.
(b) ¿Es cierto el recı́proco? Es decir, si sabemos que |bn | → |b|, ¿podemos
concluir que bn → b?
10. (a) Sea {an } una sucesión acotada (no necesariamente convergente) y
suponga que lim bn = 0. Pruebe que lim an bn = 0. ¿Por qué no
n→∞
n→∞
podemos usar el Teorema sobre operaciones algebraicas con lı́mites
para probar esto?
(b) ¿Podemos concluir algo sobre la convergencia de {an bn } si asumimos
que {bn } converge a un lı́mite b 6= 0?
(c) Use la parte (a) para completar nuestra prueba sobre el lı́mite del
producto de sucesiones convergentes.
11. De un ejemplo de cada una de las siguientes situaciones, o establezca que
lo requerido es imposible:
(a) Sucesiones {xn } y {yn } las cuales divergen, pero cuya suma {xn +yn }
es convergente.
(b) Sucesiones {xn } y {yn } donde {xn } converge, {yn } diverge y {xn +
yn } converge.
(c) Una sucesión convergente {bn } con bn 6= 0 para todo n, tal que {1/bn }
diverja.
(d) Una sucesión no acotada {an } y una sucesión convergente {bn } con
{an − bn } acotada.
(e) Dos sucesiones {an } y {bn } donde {an bn } y {an } convergen, pero
{bn } no.
12. Nuestro Teorema sobre desigualdades y lı́mites ¿continúa siendo cierto si
asumimos que todas las desigualdades son estrictas? Si asumimos, por
ejemplo, que una sucesión convergente {xn } con xn > 0 para todo n ∈ N,
¿qué podemos concluir sobre el lı́mite?
13. Si an → 0 y |bn − b| ≤ an , pruebe que bn → 0.
14. (a) Pruebe que la sucesión definida por x1 = 3 y
xn+1 =
1
4 − xn
converge.
(b) Ahora que sabemos que lim xn existe, explique por qué lim xn+1
n→∞
n→∞
debe existir también y toma el mismo valor.
(c) Tome lı́mites en ambos miembros de la ecuación recursiva de la parte
(a) para calcular explicitamente lim xn .
n→∞
15. Siguiendo el modelo del ejercicio anterior, pruebe que la sucesión definida
por y1 = 1 y yn=1 = 4 − 1/yn converge y encuentre el lı́mite.
16. Pruebe que
√
q
2,
√
2 2,
r q
√
2 2 2, . . .
converge y encuentre el lı́mite.
17. Calculando raı́ces cuadradas. Sea x1 = 2 y defina
1
2
xn+1 =
xn +
.
2
xn
(a) Pruebe que x2n es siempre mayor que 2 y use este
√ hecho para probar
que xn − xn+1 ≥ 0. Concluya que lim xn = 2.
n→∞
√
(b) Modifique la sucesión {xn } de modo que converja a c.
18. Pruebe que las subsucesiones de una sucesión convergente convergen al
mismo lı́mite que la sucesión original.
19. De un ejemplo de cada una de las siguientes situaciones o muestra que tal
requerimiento es imposible.
(a) Una sucesión que no contiene 0 y 1 como términos pero contiene
subsucesiones que convergen a cada uno de estos valores.
(b) Una sucesión monótona que diverge pero tiene una subsucesión convergente.
(c) Una sucesión que contiene subsucesiones convergentes a cada punto
en el conjunto {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . . }.
(d) Una sucesión no acotada con una subsucesión convergente.
(e) Una sucesión que tiene una subsucesión que es acotada pero no contiene subsucesiones que convergen.
20. Asuma que {an } es una sucesión acotada con la propiedad que cada subsucesión convergente de {an } converge al mismo lı́mite a ∈ R. Pruebe que
{an } debe converger a a.
21. Pruebe que lim bn = 0 si −1 < b < 1.
n→∞
22. Sea {an } una sucesión acotada y defina el conjunto
S = {x ∈ R : x < an para infinitos términos an }.
Pruebe que existe una subsucesión {ank } convergente a s = sup S. (Ésta es
una prueba directa del Teorema de Bolzano-Weierstrass usando el Axioma
de Completitud).
23. De un ejemplo de la situación indicada o muestre que ésta es imposible.
(a) Una sucesión de Cauchy que no sea monótona.
(b) Una sucesión monótona que no sea Cauchy.
(c) Una sucesión de Cauchy con una subsucesión divergente.
(d) Una sucesión no acotada conteniendo una subsucesión de Cauchy.
24. Demuestre que cada sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
25. Asuma que {xn } y {yn } son sucesiones de Cauchy. Use la desigualdad
triangular para probar que zn = |xn − yn | define una sucesión de Cauchy.
26. Si {xn } y {yn } son sucesiones de Cauchy, un modo fácil de probar que
{xn + yn } es una sucesión de Cauchy es usar el Criterio de Cauchy: por
dicho criterio {xn } y {yn } deben ser convergentes y por el Teorema de
Álgebra de Lı́mites {xn + yn } es también convergente y por lo tanto
Cauchy.
27. Pruebe el criterio de convergencia para series alternantes mostrando que
la sucesión de sumas parciales
sn = a1 − a2 + a3 − · · · + (−1)n+1 an
converge, para ello:
(a) Muestre que la sucesión {sn } es de Cauchy.
(b) Use la Propiedad de los Intervalos Anidados.
(c) Considere las sucesiones {s2n } y {s2n+1 } y use el Teorema de Convergencia Monótona.
28. (a) Pruebe el Criterio de Comparación usando el Criterio de Cauchy para
series.
(b) De otra prueba del Criterio de Comparación usando el Teorema de
Convergencia Monótona.
P∞
29. Dada la serie k=0 ak , para cada k ∈ N sea pk = ak si ak es positivo y
pk = 0 en otro caso y de modo similar sea qk = ak si an es negativo y
qk = 0 en otro caso.
P∞
(a) Muestre
que
Psi∞ k=0 ak diverge entonces al menos una de las series
P∞
k=0 pk o
k=0 bk diverge.
P∞
(b) PruebePque si P
k=0 ak converge condicionalmente entonces ambas
∞
∞
series k=0 pk y k=0 bk divergen.
P∞
30. De
P∞un ejemplo que muestre
P∞ que es posible que ambas series k=0 ak y
k=0 bk diverjan pero
k=0 ak bk converja.
P∞
P∞ 2
31. (a) Pruebe que si
k=0 ak converge absolutamente entonces
k=0 ak
converge absolutamente. ¿Se cumple la proposición sin asumir convergencia absoluta?
P∞
(b) Si k=0 ak converge
P∞ √ y ak ≥ 0, ¿podemos concluir algo sobre la convergencia de k=0 ak ?
P∞
32. (a) Pruebe que si k=0 ak converge
P∞ absolutamente y la sucesión {bk } es
acotada entonces la serie k=0 ak bk converge.
(b) Encuentre un contraejemplo
P∞ que pruebe que la parte (a) no se cumple
si la convergencia de k=0 ak es sólo condicional.
P∞
33. Criterio de la Razón. Dada una serie k=0 ak con ak 6= 0, el Criterio
de la Razón establece que si la sucesión {ak } satisface
ak+1 = r < 1,
lim k→∞
ak entonces la serie converge absolutamente. Pruebe el Criterio de la Razón
a través de los siguientes pasos:
(a) Sea r0 tal que r < r0 < 1 (Tal r0 , ¿existe?) Explique por qué debe
existir un n0 ∈ N para el cual si n ≥ n0 entonces |an+1 | ≤ |an |r0 .
P∞
(b) ¿Por qué la serie an0 k=0 (r0 )n necesariamente converge?
P∞
(c) Ahora, pruebe que k=0 |ak | converge.