Unidad 2: Resolución de triángulos Ejercicio 1 En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados por letras (ambos triángulos son rectángulos en A): Por el teorema del cateto: 16 '5 cm 2 nam; 7 '5 cm a ; a 36'3 cm n 28'8 cm 2 Por el teorema del altura: h 7 '5 cm 28'8 cm ; h 14 '7 cm 2 Por el teorema del cateto: c 28'8 cm 36 '3 cm ; c 32 '33 cm Por el teorema del cateto: 70 cm 2 50 cm a ; a 98 cm m 48 cm Por el teorema del cateto: b 2 48 cm 98 cm ; b 68'59 cm Ejercicio 2 Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las proyecciones y la altura sobre la hipotenusa: La hipotenusa, a, se obtiene por Pitágoras: a 5 cm (Es una terna pitagórica) Por el teorema del cateto: 3 cm 4 cm 2 2 m 5 cm ; m 1'8 cm n 5 cm ; n 3'2 cm 2 Por el teorema de la altura: h 1'8 cm 3'2 cm ; h 2'4 cm Ejercicio 3 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos: Hipotenusa: m n 41 cm 2 Por el Teorema de la altura: h m n; h 20 cm Por el Teorema del cateto: 2 Cateto pequeño: a 16 41; 2 Cateto grande: b 25 41; a 25 '61 cm b 32 '02 cm Ejercicio 4 Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide en dos segmentos, uno de los cuales (el más alejado del centro) mide 20 cm. Calcula la medida de la cuerda. Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia La resolución de este ejercicio es muy sencilla. Lo complicado está en entender qué se pide. La longitud de la cuerda es 2x. EL valor de la incógnita forma parte de una terna pitagórica. La cuerda mide: 40cm 40cm 80cm Ejercicio 5 Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de Pitágoras: 2 2 a 2 h2 c m ; a 2 h2 c m ; a 2 b 2 m2 c 2 2cm m 2 ; a 2 b 2 c 2 2cm a 2 b 2 m2 c 2 2cm m 2 ; a 2 b 2 c 2 2cm Ejercicio 6 b 6 '6 cm y las proyecciones de los lados b y a sobre c miden: m 4 '6 cm y n 13' 4 cm . Calcula el lado a: En un triángulo cualquiera, se tienen los siguientes datos: El ejercicio se resuelve por aplicación directa del Teorema generalizado de Pitágoras para un ángulo agudo: a 2 b 2 c 2 2 cm ; a 2 6'6 2 182 2 18 4 '6 201'96 cm 2 ; a 14 '21cm Ejercicio 7 En el ejercicio resuelto anterior, y una vez hallado el lado b, ¿por qué no lo hemos escogido junto con el ángulo de 45º para resolver el ejercicio? Porque el lado b es un dato calculado por nosotros y, por tanto, podría ser erróneo. Siempre que sea posible, usaremos los datos de los enunciados, no los nuestros. Ejercicio 8 Resuelve el triángulo del que conocemos C 30º , b 25 cm , c 18 cm : sen 30º sen B sen 30º sen B Teorema del seno: ; 18 cm 25 cm c b 25 cm sen 30º B arc sen 25 B sen B ; .. 43'98º 18 cm 36 A 180º B 30º ; A 106 '02º c sen A 18cm ; a 34'6 cm Teorema del seno: ; a sen 30º sen A sen 30º a Ejercicio 9 Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, ¿cuál es la distancia que los separa? Teorema del coseno: d 2 102 82 2 10 8 cos 35º d 5'74 km Ejercicio 10 Completa: Datos Teorema... Para triángulos rectángulos: Ambas proyecciones sobre la hipotenusa de Pitágoras y razones trigonométricas de la altura o del cateto Proyección e hipotenusa del cateto Un lado y un ángulo agudo cualquiera razones trigonométricas Lado y su proyección del cateto Altura sobre la hipotenusa y una proyección de la altura de Pitágoras o razones trigonométricas Dos de los tres lados Hipotenusa y un lado Para triángulos cualesquiera: Dos lados y el ángulo que forman del coseno Dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados del seno Dos lados y la proyección de uno sobre el otro generalizado de Pitágoras Dos ángulos y un lado del seno Tres lados del coseno Ejercicio 11 Resuelve el triángulo del que se conoce A 180º 45º 30º ; 45 , C 30º : a 20 m , B A 105º Teorema del seno: 20 m c sen 30º 20 m ; c sen105º sen 30º sen105º c 10'35 m 20 m b sen 45º 20 m ; ; b sen105º sen 45º sen105º b 14 '64 m Ejercicio 12 En un triángulo se conocen los lados 60º . a 2 cm , c 2 3 cm y el ángulo C A y el lado b: Calcula el ángulo Una primera dificultad es construir el triángulo que se indica. sen A sen 60º Teorema del seno: 2 cm 2 3 2 cm sen A sen 60º ; A 30º 2 3 cm 180º 60º 30º ; B 2cm cos 60º ; b b 90º ; Se trata de un triángulo rectángulo. B 2cm ; b 4 cm cos 60º Ejercicio 13 Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de 60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas características) Por construcción, observamos que el triángulo debe ser rectángulo, pero necesitamos realizar otras demostraciones para estar seguros. Como no sabemos a ciencia cierta que se trate de un triángulo rectángulo, aplicaremos el Teorema de coseno, siendo x el otro cateto: 2 x 2 2l l 2 2 2l l cos 60º ; teniendo en cuenta que el coseno de 60º es 2 2 2 2 2 1/5, tenemos: x 4l l 2l 3l ; por tanto x l 3 . Ahora aplicamos el Teorema del Seno para averiguar el ángulo opuesto al lado mayor, que llamaremos : 3 2l 3 sen sen 60º 2 2 1 ; es decir, 90º ; se despeja sen ; sen 2l l 3 l 3 l 3 2l Se trata de un cartabón: el ángulo que falta es el de 30º Ejercicio 14 En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado c 8 cm . El tercer lado mide a 6 cm . Dibújalo a escala 1:1. Teorema generalizado de Pitágoras: b2 c 2 a 2 a b c 2cm ; m 2c m 2'75 cm 2 2 2 b 4 cm sobre el lado Ejercicio 15 Calcula el radio (r) y la apotema (ap) de un octógono regular de lado 10 cm: (Pista: ¿conoces algún ángulo?) Nos fijamos en el ángulo central: 360º 45º ; 8 22'5º ; ahora podemos usar las razones 2 trigonométricas: tg 5 cm 5 cm ; ap ; ap 12'07 cm ap tg 22'5º sen 5 cm 5 cm ; r ; r 13'07 cm r sen 22 '5º Ejercicio 16 Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que 30º y C 45º . a 10 cm , B Recuerda la definición de altura. El área de un triángulo se calcula como (base x altura)/2. Cada uno de sus tres lados puede actuar de base. La elección de una u otra altura será lo que determine la dificultad del ejercicio. El lado a es conocido, por tanto parece lógico escoger su altura correspondiente, h. Para calcularla necesitamos el valor del lado b y utilizar el seno de 45º (también hubiera valido obtener c y el sen de 30º). Para obtener b calculamos previamente el tercer ángulo desconocido y aplicamos el Teorema del seno. A 180 45 30; A 105º ; sen 30º b a 10 m ; b sen105º sen 30º sen105º Al tratarse de un resultado no exacto, se reserva en la calculadora. h ; por tanto, h b sen 45º ; b sen 30º 10 10 sen 45º sen105º Base h Calculamos el área del triángulo: Área 2 2 sen 30º sen 45º Área 50 ; Área 18'3 cm2 sen105º Aplicando la razón trigonométrica del seno: sen 45º Ejercicio 17 En el ejercicio 10 hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el coseno, se puede averiguar el resto de elementos de cualquier triángulo. ¿Cuántos datos se necesitarán para el caso de los triángulos rectángulos? 2 datos: un ángulo agudo y un lado, o bien, dos lados. Ejercicio 18 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8 cm y 4’5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el teorema de Pitágoras): c m n 12'5 cm ; Teorema del cateto: a 2 m c 56' 25 cm2 a 7 '5 cm b 2 n c 100 cm2 ; b 10 cm ; para el cálculo del área, utilizaremos los catetos Base h a b 7 '5 10 2 calculados: Área ; Área 37 '5 cm 2 2 2 Ejercicio 19 En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla sus tres lados. La suma de los ángulos de un triángulo es 180º: 180º 2 32º ; 72º 2 x y 100 y 100 2 x y 2 y Sistema de ecuaciones: cos 74º cos 74º x 2x 100 2 x 2 x cos 74º ; 100 2 x cos 74º 2 x 2 x cos 74º 1 ; 100 x ; x 39' 2 cm ; y 21'61cm 2 cos 74º 1 Ejercicio 20 Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras). (área del trapecio: A ( B b) h) 2 Usamos razones trigonométricas: h ; h 30 sen 33º 30 x cos33º ; x 30 cos33º 30 70 b 2 x ; b 70 2 x 70 2 30 cos33º sen 33º Área del trapecio: A 70 70 2 30 cos 33º 30 sen 33º 140 60 cos 33º 15 sen 33º 2 A 732 '65 cm 2 Ejercicio 21 Calcula x: La incógnita está situada en un triángulo con pocos datos. Tan solo con un ángulo y un lado conocidos, en un triángulo no rectángulo, no es suficiente para averiguar la incógnita. Debemos apoyarnos en el triángulo inferior para conseguir disponer de más información. Conocidos los tres lados del triángulo no rectángulo inferior, y utilizando el Teorema del coseno, podemos obtener el ángulo α , que por semejanza, coincide con el ángulo superior perteneciente al triángulo donde está la incógnita 352 422 682 109 68 35 42 2 35 42 cos α ; cos α ; α arccos 2 35 42 196 2 2 2 No nos debe sorprender que de un resultado negativo; los cosenos de ángulos comprendidos entre 90º y 270º son negativos, y a la vista del dibujo, alfa es claramente obtuso. Ya en el triángulo superior, conocidos α y el ángulo de 22º, obtenemos : 109 180º 22º arccos ; Y por último, por el Teorema del seno se calcula x: 196 x 96 sen ; x 96 x 64'95 m sen sen α sen α Ejercicio 22 Un edificio y un árbol tienen 12 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situados a 20 m de distancia. ¿En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier teorema) Disponemos de dos triángulos rectángulos y dos incógnitas, x y H. Las distancias que deben recorrer los pájaros, H, deben ser iguales. Se establece una ecuación para cada triángulo (Teorema de Pitágoras) y se igualan las hipotenusas, es decir, se resuelve el sistema por el método de Igualación: H 2 122 x2 2 2 2 2 12 x 4 20 x 2 H 2 42 20 x 144 x2 16 400 40 x x2 ; 40 x 416 144 272 , para que se cumplan las condiciones del problema, hay que situar el recipiente a x 6'8 m del edificio.