UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ECONOMIA TEORIA DE JUEGOS Profesora: Marcela Eslava Parcial 1 1 de marzo de 2007 Usted tiene 1 hora y 20 minutos para responder este examen Instrucciones generales: • No puede usar calculadora ni celular. • No responderemos preguntas durante el examen • Asegúrese de que todas sus respuestas están argumentadas de forma convincente y clara. • Defina de forma clara toda la notación que use. • En cualquier pregunta puede hacer uso de sus respuestas anteriores, siempre y cuando sea claro qué parte de sus respuestas previas está usando en un momento dado y por qué. 1. Esta pregunta busca analizar de manera formal la situación descrita en el siguiente fragmento de un artículo aparecido en El Tiempo el pasado 25 de febrero. La encrucijada de Transmilenio Usuarios se están bajando del masivo para regresar al transporte tradicional “En la deserción de viajeros ha incidido la demora en las rutas y la congestión en estaciones(...) Jueves 22 a las 11:30 am. No es hora pico y hay aglomeración. La razón no es un aumento de pasajeros; se debe a que a esa hora solo circula la mitad de la flota” Considere el siguiente juego entre Transmilenio y los pasajeros de transporte público (que modelaremos como un solo agente: el “grupo de pasajeros”). El juego trata de modelar las razones detrás de la situación descrita en el artículo citado arriba. Los pasajeros escogen si usar Transmilenio (denotado como acción T) o transporte público (denotado como acción P) como medio de desplazamiento fundamental. Los operadores de Transmilenio buscan maximizar sus ganancias, dadas por sus ingresos menos sus costos de operación. Deben tomar una decisión entre operar la flota completa (denotado como acción FC) o sólo la mitad de ésta (denotado como acción MF). Los ingresos de la empresa (en miles de millones de pesos) son de 21 si los pasajeros deciden usar Transmilenio como medio de transporte primordial y 15 si deciden usar transporte particular principlamente. Sus costos son de 10 si usan la flota completa y 5 si sólo operan media flota. Los pasajeros obtienen una utilidad de 5 si usan transporte público. Su utilidad de usar Transmilenio depende de qué parte de la flota esté operando: si opera la flota completa, esta utilidad es de 10, pero si sólo opera media flota su utilidad es de 0. Transmilenio y los pasajeros toman sus decisiones de manera simultánea, y las funciones de pagos de ambos jugadores son conocidas por todos los participantes. Suponga que los jugadores sólo juegan estrategias puras. a. Escriba la matriz de pagos correspondiente al juego descrito arriba. b. Solucione el juego usando eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas. Escriba claramente y paso a paso el procedimiento, la(s) solución(es) a la(s) que llega y el o los resultados asociados. c. Encuentre y escriba la función (o correspondencia) de reacción de cada uno de los jugadores. d. Encuentre el o los equilibrio(s) de Nash de este juego. Compare con su respuesta en b y explique por qué las dos respuestas deberían o no deberían coincidir. e. Relacione la situación descrita en el artículo de periódico con el resultado teórico que encontró. ¿Cómo puede explicar la situación socialmente subóptima que describe el artículo con base en el juego planteado y el resultado que obtuvo para éste? 2. Ahora retome el juego anterior y permita que los jugadores usen estrategias mixtas. Suponga que Transmilenio juega FC con una probabilidad de p y que los pasajeros juegan T con una probabilidad de q. a. Escriba las funciones de pagos esperados de los dos jugadores. b. Encuentre todos los Equilibrios de Nash de este juego (tanto en estrategias mixtas como en estrategias puras). c. Compare su respuesta en 2.b. con la que obtuvo en el punto 1.d. y explique la intuición de que al permitir estrategias mixtas surjan no surjan nuevos equilibrios en este juego (es decir, equilibrios en estrategias mixtas). 3. El pasado mes de enero el Banco de la República anunció una estrategia más proactiva de freno a la revaluación. Una posible interpretación del anuncio de mayor preocupación por la estabilidad de la tasa de cambio es que el Banco está cambiando su función objetivo. Mientras la Constitución establece que el objetivo prioritario del Banco es la lucha contra la inflación, la nueva posición parece implicar que la lucha contra la revaluación es ahora también parte de esa función objetivo. En el siguiente problema analizamos este cambio de objetivos. Suponga la siguiente situación: el gobierno escoge el nivel de impuestos y el Banco de la República (BR) la política monetaria, que acaba determinando el nivel de inflación y de revaluación. El gobierno busca maximizar su utilidad, capturada por la siguiente función: − r 2 (G − T − r ) 2 UG = − − βT (1) 2 2 donde G es el gasto público, que se considera dado (exógeno al modelo), T es el nivel de impuestos, r es la revaluación y β es un parámetro que representa la pérdida de popularidad del gobierno por un incremento de los impuestos. Esta función captura que el gobierno muestra aversión a los crecimientos de la deuda pública (donde el crecimiento de la deuda es igual al déficit fiscal) y las altas revaluaciones. El último término, a su vez, captura que al gobierno subir los impuestos le genera pérdidas de popularidad con los votantes. En cuanto al BR, supondremos inicialmente que le interesa sólo luchar contra la inflación, lo que está capturado por la siguiente función objetivo: − α (π ) 2 (2) 2 donde α es un parámetro y π es la tasa de inflación. Suponemos que el Banco de la República escoge π, el gobierno escoge T, y el gobierno y el Banco escogen sus movidas de manera simultánea. Las funciones objetivo de ambos jugadores son conocidas por todos los participantes, y sólo se juega estrategias puras. Suponemos también que la escogencia de π afecta la revaluación según la función r = - π (por ejemplo porque la política monetaria expansionista impulsa la inflación pero frena la revaluación). U BR = a. ¿Es esta situación un juego, según la definición de juego que hemos utilizado? Explique. Suponga ahora que, además de controlar la inflación, el BR decide empezar a incorporar entre sus objetivos directos la lucha contra la revaluación y el control del déficit (pues éste también puede afectar la revaluación). La nueva función objetivo del BR es: − α (π ) 2 (G − T + r ) 2 − 2 2 2 (G − T + r ) 2 − α (− r ) = − 2 2 U BR = U BR donde el segundo renglón usa el supuesto de que r = - π para expresar el problema del BR en función de r. Se puede entonces asumir que el BR escoge directamente r y que maximiza esta última función de utilidad. b. ¿Es esta nueva situación un juego, según la definición de juego que hemos utilizado? c. Encuentre la función de reacción de cada jugador en este caso en que el BR se preocupa por la revaluación. d. Encuentre el o los Equilibrio(s) de Nash de este juego (con BR preocupado por la revaluación). e. Encuentre las escogencias de equilibrio de T y r en la primera situación en que el BR sólo se preocupa por la inflación; es decir, la función objetivo del BR es la ecuación (2). Note que no tiene que encontrar de nuevo la función de reacción del gobierno (es igual a la que halló en d) y que puede usar r = - π para escribir la ecuación (2) en función de r y permitir que el BR escoge directamente r. f. Compare sus resultados sobre revaluación e inflación en d y e. Comente cómo las diferencias dependen de α y explique la intuición. Explique a partir de su resultado la preocupación de los analistas de que el combate proactivo de la revaluación pueda estar contribuyendo al incremento de la inflación observado en los últimos meses.