Concurso “Problemas con premio”

Concurso “Problemas con premio”
(soluciones ofrecidas por Jesús Gómez Ayala)
DÍA 8 DE NOVIEMBRE
1) La infancia de Diofanto duró un sexto de su vida;
Su barba creció después de un doceavo más;
Se casó después de un séptimo más,
Y su hijo nació cinco años más tarde;
El hijo vivió hasta la mitad de la edad de Diofanto,
Y Diofanto murió cuatro años más tarde que su hijo.
¿A qué edad murió Diofanto?
Sea x la edad a la que murió Diofanto. Según el enunciado, se tiene
x
x
x
x
+
+ + 5 + + 4 = x.
6 12 7
2
Despejando x, resulta x = 84. Entonces Diofanto murió a los 84 años.
2) El grupo U2 ofrece un concierto que comenzará en 17 minutos pero los miembros del grupo deben
cruzar un puente para llegar al lugar del concierto. Los cuatro componentes están en el mismo
lado del puente. Es de noche. Sólo hay una linterna. Sólo pueden cruzar el puente un máximo de
dos personas a la vez. Siempre que se cruce el puente debe llevarse la linterna para ver el camino.
La linterna no puede lanzarse al otro lado ni alumbrar desde lejos. Cada miembro de la banda
puede caminar a distinta velocidad. Cuando vayan dos juntos, la velocidad que lleven será la del
más lento. Sabiendo que Bono tarda 1 minuto en cruzar, Edge tarda 2 minutos en cruzar, Adam
tarda 5 minutos en cruzar y Larry tarda 10 minutos en cruzar, ¿cómo conseguirán llegar a tiempo
al concierto?
Primero pasan Bono y Edge (2 minutos) y vuelve Bono (1 minuto). Después pasan Adam y Larry
(10 minutos) y vuelve Edge (2 minutos) a recoger a Bono. Finalmente, pasan Bono y Edge (2
minutos). Tiempo total: 17 minutos.
3) Resulta que se me cayó un libro del que ya llevaba leı́das casi 500 páginas y perdı́ el punto de
lectura. Lo único que recuerdo es que la suma de los números de las páginas leı́das es igual a la
suma de los números de las que me quedan por leer. ¿En qué página se me cayó el libro?
Sea n el número de páginas leı́das y m el número total de páginas del libro, de modo que m − n
es el número de páginas que me quedan por leer. Del enunciado se deduce, utilizando la fórmula
para sumar una progresión aritmética, que
2n(n + 1) = m(m + 1).
Nos dicen además que n+k = 500, con k un entero positivo pequeño. Como 2×499×500 = 499000
y 706 × 707 = 499142, vamos bajando los valores de n y de m hasta que encontramos
2 × 492 × 493 = 485112 = 696 × 697.
Entonces el libro se me cayó en la página 492 (y tiene en total 696 páginas).
1
DÍA 9 DE NOVIEMBRE
1) Supondremos en este problema que las calabazas contienen un 99 por ciento de agua. Se dejan
secar durante una noche 500 kilos de calabazas, de modo que al dı́a siguiente solamente contienen
un 98 por ciento de agua. ¿Cuánto pesan ahora las calabazas?
Por la noche los 500 kilos de calabazas contienen 5 kilos de materia seca, la misma cantidad que
contendrán a la mañana siguiente. Entonces 5 kilos es el 2 por ciento de lo que pesan por la
mañana, luego por la mañana pesan 5 × 50 kilos, es decir, 250 kilos. O sea, ¡la mitad de lo que
pesaban la noche anterior!
2) Una señora sale de la ciudad A al amanecer y se dirige andando a velocidad constante a la
ciudad B y otra señora sale de la ciudad B al amanecer y se dirige andando a velocidad constante
a la ciudad A. Se cruzan a mediodı́a y, continuando sin parar, la primera llega a B a las cuatro de
la tarde y la segunda llega a A a las nueve de la noche. ¿A qué hora amaneció ese dı́a?
Sea vA la velocidad de la señora que sale de A (=señora A), sea vB la velocidad de la señora que
sale de B (=señora B) y sea x la hora en que amaneció ese dı́a. El espacio que ha recorrido la
señora A por la mañana es el mismo que el que recorre la señora B por la tarde, luego
(12 − x)vA = 9vB
y el espacio que ha recorrido la señora B por la mañana es el mismo que el que recorre la señora
A por la tarde, luego
(12 − x)vB = 4vA .
Despejando el cociente vA /vB en ambas expresiones e igualando, resulta
12 − x
9
=
,
12 − x
4
de donde (12 − x)2 = 36 y por lo tanto x = 6. Ese dı́a amaneció a las seis de la mañana.
3) ¿En cuántos ceros termina el factorial de un millón, es decir, el número que se obtiene realizando
la multiplicación 1 x 2 x3 x 4 x x 999.999 x 1.000.000?
Como el 2 aparece más veces en total como factor que el 5 en los números 1, 2, . . . , 106 , el número
de ceros con que termina 106 ! es exactamente el número total de veces que el 5 divide a los números
1, 2, . . . , 106 . Sea S el conjunto formado por los números 1, 2, . . . , 106 . En S hay 106 /5 = 200000
múltiplos de 5, hay 106 /52 = 40000 múltiplos de 52 , hay 106 /53 = 8000 múltiplos de 53 , hay
106 /54 = 1600 múltiplos de 54 , hay 106 /55 = 320 múltiplos de 55 , hay 106 /56 = 64 múltiplos
de 56 , hay 12 múltiplos de 57 (ya que 106 /57 = 12, 8) y 2 múltiplos de 58 (ya que 106 /58 =
2, 56). Pensando un momento, vemos que el número total de veces que el 5 divide a los números
1, 2, . . . , 106 es
200000 + 40000 + 8000 + 1600 + 320 + 64 + 12 + 2 = 249998.
Entonces el factorial de un millón termina con 249998 ceros.
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DÍA 10 DE NOVIEMBRE
1) Ana y Juan tienen cada uno varios euros y quieren comprarse un mismo libro. A Ana le faltan
5 euros y a Juan le faltan 3 euros, ası́ que deciden juntar su dinero para comprar un solo libro y
compartirlo, pero descubren que todavı́a les falta dinero. ¿Cuánto vale el libro?
Sea a ≥ 2 el número de euros que tiene Ana, sea j ≥ 2 el número de euros que tiene Juan y sea x
el precio del libro. Entonces a + 5 = x y j + 3 = x, luego (a + j) + 8 = 2x. Como a + j < x, se
deduce que 2x < x + 8 y por lo tanto que x < 8. Pero a + 5 = x y a ≥ 2, luego x ≥ 7. El libro vale
siete euros.
2) En una isla desierta, cinco hombres y un mono recogen cocos durante el dı́a, y después se
duermen. El primer hombre se despierta y decide tomar su parte: divide los cocos en cinco partes
iguales y le sobra un coco, que se lo da al mono. Después toma su parte y vuelve a dormirse.
Entonces se despierta el segundo hombre y, haciendo un montón con los cocos que quedaron, lo
divide en cinco partes iguales y le sobra un coco, que se lo da al mono. Sucesivamente ocurre
lo mismo con cada uno de los tres hombres restantes. ¿Cuántos cocos habı́a por lo menos en el
montón original?
Sea x el número de cocos que se lleva un hombre y sea y el número de cocos que se lleva el siguiente.
Del enunciado se deduce que y = (4x − 1)/5 o lo que es lo mismo
x + 1 = (5/4)(y + 1).
Sea n el número total de cocos y sean a, b, c, d y e las cantidades de cocos que se van llevando
sucesivamente los hombres. Es claro que n = 5a + 1; usando este hecho y aplicando varias veces la
fórmula de arriba, se deduce que
n + 4 = 5(a + 1) = (52 /4)(b + 1) = (53 /42 )(c + 1) = (54 /43 )(d + 1) = (55 /44 )(e + 1)
lo cual implica que
44 (n + 4) = 55 (e + 1)
de donde resulta que n + 4 es múltiplo de 55 y por tanto la solución más pequeña para n es
55 − 4 = 3121. En el montón habı́a por lo menos 3121 cocos.
3) En un concurso televisivo le ofrecen a uno elegir entre tres puertas, una de las cuales tiene
como premio un coche y las otras dos premios baratos. Una vez que uno ha elegido una puerta, el
presentador abre una de las dos restantes y muestra que en ella hay uno de los premios baratos, y
ofrece al concursante la opción entre conservar la puerta por él elegida o cambiarla por la otra que
queda. ¿Es más ventajoso perserverar en la elección original o cambiarla? ¿O son ambas opciones
igualmente ventajosas? Razonar la respuesta.
En media, una de cada tres veces el coche estará en la puerta que he elegido en la primera opción,
luego la probabilidad de ganar si no cambio de puerta es 1/3, la misma que si escojo una puerta
y el presentador no me da más opciones para continuar. Por lo mismo, en media, dos de cada
tres veces el coche estará en una de las dos puertas que no he elegido en la primera opción, luego
necesariamente en aquélla de ellas que el presentador no ha abierto, luego la probabilidad de ganar
si cambio de puerta es 2/3. Ası́ pues cambiar la opción original es el doble de ventajoso que
perseverar en ella.
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DÍA 11 DE NOVIEMBRE
1) Se encuentran en el autobús dos amigos magos que no se veı́an hace mucho tiempo. Dice uno:
Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y la suma es el número del autobús en el que
vamos. ¿A que no sabes qué edades tienen? El otro hace unos cálculos y exclama: Me faltan datos.
Es cierto, la mayor toca el piano. Ah, entonces ya sé las edades de tus hijas. ¿Qué edades tienen?
Sean a, b y c las edades de las tres hermanas, en orden creciente. Entonces abc = 36 = 22 33 . Por la
factorización única, las posibilidades para (a, b, c) son las siguientes: (1, 1, 36), (1, 2, 18), (1, 3, 12),
(1, 4, 9), (1, 6, 6), (2, 2, 9), (2, 3, 6) y (3, 3, 4). La suma a + b + c vale en cada caso 38, 21, 16, 14, 13,
13, 11 y 10; ası́ pues los magos viajan en el autobús número 38, 21, 16, 13, 11 ó 10. Si viajaran en
el autobús 38, 21, 16, 11 ó 10, al segundo mago no le faltarı́an datos (por ejemplo, si el número del
autobus fuera el 38, ya sabrı́a que el primer mago tiene dos hijas de un año y otra de 36). Luego
viajan en el autobús número 13. Entonces el primer mago tiene una hija de 1 año y dos de 6 o
bien dos hijas de 2 años y una de 9; como “la mayor toca el piano”, tiene dos hijas de 2 años y
una de 9.
2) Seis músicos participan en un festival de música. En cada concierto, algunos de esos músicos
tocan y los demás escuchan. ¿Cuál es el mı́nimo número de conciertos necesario para que cada
músico escuche a todos los demás?
Cuatro conciertos son suficientes. En efecto, el primer dı́a tocan (1, 2, 3) (y escuchan (4, 5, 6)), el
segundo dı́a tocan (3, 4, 5) (y escuchan (1, 2, 6)), el tercer dı́a tocan (5, 6, 1) (y escuchan (2, 3, 4))
y el cuarto dı́a tocan (2, 4, 6) (y escuchan (1, 3, 5)). Además, menos de cuatro conciertos no son
suficientes, ya que cada concierto produce a lo sumo 9 “audiciones individuales” y por lo tanto 3
conciertos pueden producir a lo sumo 27 “audiciones individuales”, mientras que para que cada
músico escuche a todos los demás se precisan 30 “audiciones individuales”. Ası́ pues el número
mı́nimo de conciertos es cuatro.
3) En un tablero de 8 por 8 centı́metros se recortan dos cuadrados de 1 por 1 centı́metros en dos
esquinas diametralmente opuestas. Estudiar si es posible cubrir el tablero resultante con 31 fichas
de dominó de 1 por 2 centı́metros.
Supongamos que se trata de un tablero de ajedrez; entonces los cuadrados de esquinas diametralmente opuestas son del mismo color. Si eliminamos dos cuadrados diametralmente opuestos, nos
queda un tablero con 30 cuadrados blancos y 32 negros o con 30 cuadrados negros y 32 blancos.
Ninguno de estos dos tableros es posible cubrirlo con 31 fichas de dominó, ya que se haga como se
haga cada ficha cubre un cuadrado blanco y otro negro.
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