Aproximación cuasi-estacionaria en un cable

Aproximación cuasi-estacionaria en un cable
Por un conductor macizo de radio a, que puede considerarse de longitud infinita, circula
una corriente alterna del tipo I = I0 cos(ωt). Bajo la aproximación cuasi-estacionaria,
calcule (µ = 1, = 1) los campos E y B en el interior del conductor.
Solución
Consideramos que por el conductor circula una corriente I = I0 e−iωt (en notación compleja). La distribución espacial de esa corriente dentro del conductor es desconocida.
Sin embargo, suponemos que la ecuación constitutiva para un conductor es J = σ E
(ley de Ohm), donde σ es la conductividad del material.
Si se asume que el medio es lineal, los campos oscilarán armónicamente como E =
E(r) e−iωt y B = B(r) e−iωt . Además, si la frecuencia es baja, la conductividad σ(ω)
puede considerarse constante σ ' σ(0). Las ecuaciones de Maxwell para el rotor de
E(r) y B(r) son
iω
B
c






∇×E =





iω
4πσ
E−
E
∇×B =
c
c
(1)
Si se aplica el rotor a ambos miembros de la segunda ecuación y se tiene en cuenta que
∇ · B = 0, entonces ∇ × (∇ × B) = −∇2 B. Haciendo las sustituciones para ∇ × E se
cumple que
−∇2 B = i
ω2
4πσω
B
+
B
c2
c2
(2)
En la aproximación cuasi-estacionario (baja frecuencia) se puede hacer una expansión
en potencias de ω, B(r) = B(0) + B(1) + B(2) + .... El término ω 2 B/c2 siempre corresponde a un orden superior de la expansión respecto de 4πσωB/c2 , y puede eliminarse.
La aproximación al orden más bajo posible (no estático) es,
∇2 (B(0) + B(1) ) ' ∇2 B(0) = −i
4πσω (0)
B
c2
(3)
La simetrı́a del problema permite escribir B(0) = B(r) ϕ̂. Su laplaciano vectorial es
(∇2 B)ϕ = ∇2 B(r) −
B(r)
d2 B(r) dB(r) 1 B(r)
=
+
− 2
r2
dr2
dr r
r
1
(4)
La ec. (3) para el orden más bajo posible es una ecuación de Bessel
1
d2 B(r) dB(r) 1
+
− k 2 + 2 B(r) = 0
2
dr
dr r
r
,
k2 = − i
4πσω
c2
(5)
cuya solución es B(r) = B0 J1 (kr). La función de Neuman N1 (kr) se elimina porque
diverge en kr = 0. El valor de k es
k=
1−i
δ
δ=√
,
c
2πσω
(6)
donde δ es una longitud caracterı́stica llamada “longitud de penetración”. El campo
E(1) = E(r) ẑ se puede hallar a partir de ∇ × E(1) = iωB(0) /c. Como J00 (x) = −J1 (x)
se obtiene que
E(r) =
iω
B0 J0 (kr)
ck
(7)
La constante B0Rse determina por la condición de que la corriente total que circula en
el cable es I0 = J · ds (s es la sección transversal del cable). También podrı́a usarse
la ley de Ampére (despreciando la corriente de desplazamiento). Entonces, se obtiene
B0 =
1
2I0
ca J1 (ka)
(8)
Es posible usar el mismo procedimiento, pero empezando por hallar E a partir de la
ecuación de Faraday.
Validez de la aproximación
La solución hallada se apoya en el supuesto de que la frecuencia es baja (σ ' σ(0)) y
que B(1) es despreciable frente a B(0) . Eso significa (según la expansión en potencias)
que debe cumplirse que ω`/c 1 (` es una longitud caracterı́stica vinculada a δ). Pero
comparando la ec. (3) con la ec. (2) se ve también que
ω 2 c2
.
1
c2 4πσω
(9)
√
√
Esto permite identificar ` = c/ 4πσω = δ/ 2. La validez de la aproximación dependerá de la longitud de penetración δ, y ésta a su vez, del producto σω. Para bajas
frecuencias, σ debe ser alta. El medio tiene que ser entonces un buen conductor. La
aproximación cuasi-estacionaria se corresponde con la de buen conductor.
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