Juegos de Investigación Operativa. El Juego de la Producción Lineal

Juegos de Investigación Operativa. El Juego de la Producción
Lineal
Miguel Ángel Hinojosa Ramos
Ana María Sánchez Sánchez
Departamento de Economía y Empresa. Universidad Pablo de Olavide.
Ctra. de Utrera, Km.1. 41013-SEVILLA.
Telf.: 954 349 846 Fax: 954 349 339
e-mail: mahinram@dee.upo.es
amsansan@dee.upo.es
Resumen
Algunos problemas de Investigación Operativa pueden abordarse desde el punto de
vista de la teoría de juegos cooperativos. Los jugadores que cooperan no sólo deben
resolver un problema de optimización, como puede ser minimizar los costes conjuntos
totales, sino que también deben afrontar un problema de reparto adicional, es decir
deben distribuir estos costes conjuntos entre los jugadores individuales. Esta interacción
entre optimización y reparto es el objetivo principal de los juegos de Investigación
Operativa. El estudio depende del tipo de problema que se plantee: Conexión, Ruta,
Secuenciación, Producción e Inventario; y se relaciona con la teoría de juegos
cooperativos de utilidad transferible. En este trabajo nos centraremos en el problema de
producción lineal.
Abstract
Some problems of Operation Research can be studied from the cooperative game theory
point of view. The players that cooperate should not only solve a problem of
optimization, (minimize the total combined costs for instance), but rather they should
also deal with an allocation problem, that is to say, they should distribute these
combined costs among the individual players. This interaction between optimization
and allocation is the main goal of the Operation Research Games. The study depend of
the problems: Connection, Routing, Sheduling, Production and Inventory; and can be
relate with transferable utility cooperative game theory. In this paper we concentrate on
the linear production problem.
Palabras Clave: Teoría de Juegos, Juegos Cooperativos de Utilidad Transferible,
Ivestigación Operativa, Juego de Producción Lineal.
1. Introducción
Una Clasificación comúnmente aceptada de la Teoría de Juegos distingue entre: Juegos
Cooperativos y no Cooperativos según puedan o no establecerse acuerdos vinculantes entre
los jugadores. En este trabajo nos centraremos en lo que son los juegos cooperativos,
llamados de utilidad transferible o juegos TU, ya que el reparto entre los miembros de una
coalición de la utilidad total que el grupo consigue puede repartirse de cualquier forma
entre ellos.
Desde sus comienzos la Teoría de Juegos no cooperativos ha tenido una fuerte interacción
con la Investigación Operativa. Sin embargo, la aplicación de modelos de la Teoría de
Juegos Cooperativos a este tipo de problemas es más reciente y su estudio se conoce como
Juegos de Investigación Operativa (Borm et al., 2001).
Problemas de Investigación Operativa que se formulan y resuelven utilizando la Teoría de
Juegos son por ejemplo:
• Problemas de Conexión.
• Problemas de Rutas.
• Problemas de Secuenciación.
• Problemas de Inventario.
• Problemas de Producción.
A continuación nos centraremos en el Problema de Producción Lineal.
2. Problema de Producción Lineal
Consideremos una empresa que dispone de m recursos (mano de obra, capital,
materiales, maquinaria, etc.) en unas cuantías que denotaremos por b ∈ (m (bk,
k=1,2,.. ,m representa la disponibilidad del recurso i-ésimo). La empresa desea producir
p productos distintos empleando esos recursos. El vector de producción lo denotaremos
por x, x ∈ (p, (xj, j=1,...,p representa la cantidad producida del producto j-ésimo). Sea
A ∈ (m×p la matriz tecnológica de la empresa; (akj representa la cantidad del producto késimo que se necesita para producir una unidad del producto j-ésimo). La empresa desea
maximizar los beneficios derivados del proceso de producción que se supone lineal. Sea
cj el beneficio neto que obtiene la empresa cuando vende una unidad del producto j,
j=1,...,p. Denotamos por c, c ∈ (p, al vector que representa los beneficios unitarios de
los diferentes productos.
Formulemos el problema:
max c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c p x p


s.a. a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1 p x p ≤ b1 
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 p x p ≤ b2 


a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mp x p ≤ bm 

x1 , x 2 , , x p ≥ 0

Matricialmente el problema se expresa:


s.a. Ax ≤ b 
x ≥ 0 
Supongamos que varios agentes, con capacidad para producir por sí mismos con la
misma tecnología, deciden asociarse y aportar sus recursos a un proceso productivo
común. En estos problemas de varios decisores con distintos intereses, es difícil que
todos estén de acuerdo con un determinado reparto de los beneficios/costes que resulten
del proceso de producción, incluso en el caso en que dicho proceso optimice la
utilización de sus recursos. La teoría de juegos cooperativos en forma de función
característica se utiliza para analizar y resolver estos problemas de reparto del
beneficio/coste total entre los agentes.
Formulamos un juego cooperativo de n jugadores (los agentes que intervienen en el
proceso de producción) y una función característica, que representa el beneficio mínimo
que cada coalición estaría dispuesta a aceptar en un posible reparto. Este beneficio no es
otro que el beneficio que obtendría la coalición si afrontara por sí misma el proceso
productivo usando exclusivamente los recursos de sus miembros.
Formalmente, cada jugador, i ∈ N={1,2,...,n}, dispone de un vector de recursos
b i = b1i , b2i , , bmi . Una determinada coalición, S, controla una cantidad de cada
max c t x
(
)
i
recurso que representamos por b( S ) = ∑ b . Con estos recursos la coalición S puede
i∈S
producir de acuerdo con el siguiente problema de producción lineal:

max c t x
[ p S ] s.a. Ax ≤ b(S )

x≥0

Se define el juego de la producción lineal como un juego cooperativo de utilidad
transferible, (N,v), en el que N={1,2,…,n} es el conjunto de jugadores y la función
característica, v, viene dada por:
v(φ ) = 0
v( S ) = c t x ∗ ( S ),
∀S ⊆ N .
donde x*(S) es una solución óptima del problema [pS].
Si consideramos varios agentes (varias empresas) que producen, con la misma
tecnología, según los recursos de que disponen cada uno, un problema interesante es
estudiar la posible cooperación entre varios de los agentes que pueden juntar sus
recursos en un proceso de producción conjunto cuya finalidad es obtener un mayor
beneficio aprovechando posibles sinérgias.
El análisis de este problema se realiza desde la perspectiva de la teoría de juegos
cooperativos de utilidad transferible. En la siguiente sección nos ocupamos del estudio
de este tipo de juegos llamados “juegos de producción”.
2.1. Características del Juego
La linealidad de la función objetivo en el problema [pS], que define la función
característica para la coalición S hace que cuanto mas grande sea una coalición, de más
recursos podrá disponer y, por tanto aumentará la producción. Definamos a
continuación un concepto necesario para poder definir una consecuencia derivada de lo
anteriormente indicado.
Definición. Un juego (N,v) se dice superaditivo si, para cualquier par de coaliciones S y
T tales que S ∪ T = ∅, se verifica:
v( S ∪ T ) ≥ v( S ) + v(T )
El concepto de superaditividad se relaciona con el concepto económico de sinergia.
Se puede probar que el juego de la producción lineal es superaditivo (Owen, 1975).
En juegos cooperativos TU suponemos que todos los jugadores alcanzan un cierto
consenso, forman la gran coalición y el problema que se plantea es como repartir la
utilidad total, v(N), entre los jugadores de una manera “justa”. Este reparto o conjunto
de repartos “justos” constituyen una solución del juego. Uno de los conceptos de
solución más comúnmente utilizado es el concepto de núcleo del juego.
Definición. En el juego de la producción (N,v), el núcleo del juego, core(N,v), es el
conjunto de todos los vectores, x = ( x1 , x 2 , , x n ) , que satisfacen las siguientes
condiciones:
∑x
i
≥ v( S ),
∑x
i
= v( N )
i∈S
i∈N
∀S ⊂ N
Este conjunto puede ser vacío, tener un único elemento, o estar compuesto por un
número infinito de elementos.
Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que el núcleo del juego (N,v) sea
no vacío es que el juego sea equilibrado (Owen, 1975).
Definición. Un juego (N,v) se dice equilibrado si para cualquier colección equilibrada
β = {S1 , S 2 , , S m } , con pesos de equilibrio α = (α 1 , α 2 , , α m ) , se verifica:
∑α
S⊂N
S
v( S ) ≤ v( N )
Definición. Sea β = {S1 , S 2 , , S m } una colección de subconjuntos no vacíos de N.
Β se llama una colección equilibrada si existe un vector de números positivos,
α = (α 1 , α 2 , , α m ) , llamados pesos de equilibrio, tales que:
∑α
S∈β
i∈S
S
= 1, ∀i ∈ N
Owen (1975) probó que el juego de la producción lineal es equilibrado. Además
demostró que es un juego totalmente equilibrado, ya que cada subjuego es un juego
equilibrado. Como consecuencia el núcleo del juego de la producción lineal es no vacío.
En el problema de la Producción Lineal, la teoría de la dualidad constituye una
herramienta para obtener repartos “justos”'. La idea es remunerar las aportaciones de
recursos que realiza cada agente al proceso productivo a los precios sombra
correspondientes.
2.2. Conjuntos de Owen
Dada una coalición S, consideremos el problema dual del problema [pS]:
[d S ]
min b(S) t u 

s.a. A t u ≥ c 
u≥0 

En este problema la región factible no depende de la coalición que se forme; sin
embargo la solución del problema u * ( S ) = u1* ( S ), , u m* ( S ) , y el valor de la función
objetivo v(S) = u*(S)b(S) si que depende de cada coalición S ⊆ N.
Si se valoran los recursos que cada jugador aporta al proceso de producción a los
precios de equilibrio o precios sombra de los recursos correspondientes a la solución
óptima del problema cuando se forma la gran coalición, N, el vector resultante es un
reparto del núcleo del juego. El reparto o conjunto de repartos obtenidos de esta forma
se llama conjunto de Owen. Veamos el teorema en el que se prueba lo anteriormente
dicho.
(
)
Teorema. Si u*(N) es solución óptima del problema [dN], el vector de Owen(N,v),
donde Owen(i)= u*(N)bi, constituye un reparto del núcleo del juego (Owen, 1975).
En este teorema los vectores de u*(N) se interpretan como los precios sombra a los que
se valoran los recursos, es decir a los agentes se les valoran sus recursos de acuerdo al
vector de precios sombra, que produce un vector Owen, siendo dicho vector un reparto
del núcleo del juego.
La solución que proporcionan los Conjuntos de Owen no tiene porque ser única. Si [dN]
tiene solución múltiple, todas las valoraciones duales que dichas soluciones representan
son válidas para obtener elementos del conjunto de Owen. Aún en el caso en que [dN]
tenga solución única, si hay holgura positiva en alguno de los recursos, eliminando el
recurso sobrante obtenemos una solución múltiple dual y algunas de las valoraciones
duales que dichas soluciones representan nos permiten obtener elementos en el conjunto
de Owen del juego original.
Ejemplo. Consideremos tres agentes o jugadores que aportan al proceso productivo tres
recursos necesarios, según se muestra a continuación:
139 181 110 


B = 140 87 183 
130 225 215 


Se producen tres bienes que se venden en el mercado obteniéndose unos beneficios
t
unitarios c = (2.5,5,4) . La matriz tecnológica del problema es:
 2 9 3,5 


A = 6 4 9 
8 9 7 


Veamos el Juego:
Si se forma la gran coalición el problema a resolver es:
max 2,5 x1 + 5 x 2 + 4 x3

s.a. 2 x1 + 9 x2 + 3,5 x3 ≤ 430

6 x1 + 4 x2 + 9 x3 ≤ 410 
8 x1 + 9 x 2 + 7 x3 ≤ 570 


x1 , x2 , x3 ≥ 0
Si resolvemos el problema, utilizando el software LINDO obtenemos que el esquema
óptimo de producción consiste en producir exclusivamente de los bienes segundo y
tercero, es decir, x*(N) = (0, 36,343, 29,403).
La solución óptima del problema dual [dN], es: u*(N) = (0,4328, 0,2761, 0).
Resolviendo el problema [pN] hemos obtenido el valor de la función característica para
la gran coalición en el juego de la producción (N,v), siendo dicho valor de
v(N) = 299,328. Resolviendo los problemas [pS] para cada coalición, S, obtenemos
todos los valores de la función característica del juego:
S
v(S)
{1}
73,774
{2}
102,336
{3}
98,142
{1,2}
198,528
{1,3}
194,868
{2,3}
200,507
N
299,328
Obtengamos el reparto de Owen, valorando los recursos aportados por cada jugador a
los precios duales, u*(N). Se obtiene el siguiente reparto:
Owen(N,v) = {u*(N)bi} = ((0,4328, 0,2761, 0) (139, 140, 130)t, (0,4328, 0,2761, 0)
(181, 87, 225)t, (0,4328, 0,2761, 0)(110, 183, 215)t) = (98,821, 102,366, 98,142).
A continuación se presenta una tabla que contiene los valores de la función
característica con las asignaciones del reparto de Owen, pudiéndose comprobar que
dicho reparto es del núcleo del juego. Owen( S ) = ∑ Owen(i ) , representa la asignación
i∈S
que conjuntamente obtiene la coalición S con el reparto de Owen.
S
v(S)
Owen(S)
{1}
73,774
98,821
{2}
102,336
102,366
{3}
98,142
98,142
{1,2}
198,528
201,19
{1,3}
194,868
196,96
{2,3}
200,507
200,507
N
299,328
299,328
En éste ejemplo la máxima utilidad que se obtiene de la cooperación de los tres agentes
que participan en el proceso de producción es v(N) = 299,3283. Pero ahora en éste caso
sobran recursos. En concreto sobran 37,0895 unidades del tercer recurso. En este caso
los agentes pueden considerar la posibilidad de aportar al proceso de producción los
recursos justos, eliminando el recurso sobrante.
Supongamos que la reducción de recursos se hace a partes iguales entre todos los
agentes, siendo entonces la aportación de cada individuo del tercer recurso la siguiente:
Recurso 3
Jugadores
1
2
3
117,638 212,638 202,638
N
532,91
La tabla óptima dual del problema sería:
430
410
532,91
0
0
0
u1(N)
u2(N)
u3(N)
hd2
hd3
hd1
0
0
-3,597
1
0,0448 -0,687 0,0223
0
hd1
410
u2(N)
0
1
0,4701
0
0,0522 -0,134 0,2761
430
u1(N)
1
0
0,7911
0
-0,1343 0,0597 0,4328
0
0
0
0
-36,3432 -29,4 299,328
Como vemos en la tabla, cuando utilizamos recursos justos aparece solución múltiple,
ya que la variable u3 puede entrar en la base con una aportación nula a la función
objetivo. Así puede forzarse una valoración positiva del tercer bien, obteniéndose otra
solución básica del problema dual en la que ahora es nula la valoración del primer bien:
430
410
532,91
0
0
0
u1(N)
u2(N)
u3(N)
hd2
hd3
hd1
4,5472
0
0
1
-0,5661 -0,415 1,9905
0
hd1
410
u2(N)
-0,594
1
0
0
0,1321
-0,17 0,0188
533
u3(N)
1,2642
0
1
0
-0,1698 0,0755 0,5472
0
0
0
0
-36,3432 -29,4 299,328
Tenemos entonces una solución múltiple para los vectores de precios de los recursos.
Denotemos por Û al conjunto de soluciones,
Uˆ ( N ) = {uˆ ( N ) = λ (0,4328, 0,2761, 0) + (1 − λ )(0, 0,0188, 0,5472), λ ∈ [0,1]}.
Cualquier reparto, Owˆ en( N , v) , consistente en valorar los recursos que aporta cada
jugador a cualquiera de los precios duales, uˆ ( N ) ∈ Uˆ
, es decir,
t
Owˆ en(i ) = uˆ ( N )bˆ i , i = 1,2,3 , es un reparto del núcleo del juego que se define
análogamente con las nuevas aportaciones. De ellos algunos son repartos del núcleo del
juego inicial; por ejemplo si λ = 1, uˆ ( N ) = u * ( N ) y el reparto Owˆ en( N , v) es el reparto
del núcleo Owen(N,v) descrito anteriormente. Vamos a analizar para qué otros valores
del parámetro λ, los precios duales uˆ ( N ) nos proporcionan también repartos del núcleo
del juego inicial. Para ello imponemos que uˆ ( N )bˆ( S ) ≥ v( S ), ∀S ⊂ N y resulta λ ∈
[0,8659 , 1]. En la tabla siguiente podemos comprobar como el reparto obtenido al
considerar el extremo inferior del intervalo, λ = 0,8659, proporciona un reparto del
núcleo del juego inicial.
S
{1}
{2}
{3}
{1,2}
{1,3}
{2,3}
N
73,774 102,336 98,142 198,528 194,868 200,507 299,328
v(S)
Owen(S) 94,556 104,4604 100,3132 199,0163 194,868 204,7723 299,328
Obsérvese que en este caso se obtienen una infinidad de repartos de Owen.
2.3. Los Conjuntos de Owen en el caso vectorial
En muchos casos el Problema de Producción tiene en cuenta más de un criterio.
Considerar que en un problema de producción deben tenerse en cuenta, además de la
maximización de los beneficios otros criterios como la maximización del empleo o la
máxima reducción de la contaminación ambiental es razonable. Además en ocasiones
no es posible agregar los criterios a una misma escala y el tratamiento multiobjetivo es,
cada vez más, la opción elegida en muchos casos.
El Problema de Producción Multiobjetivo se estudia entre otros en Nishizaki y Sakawa
(2001) y en Hinojosa et al. (2001).
Ahora consideramos un problema de producción en el que varios decisores aportan
recursos al proceso de producción para fabricar distintos productos, en un ambiente
multiobjetivo. El modelo de producción se supone lineal, pudiéndose formular como un
problema de producción lineal multiobjetivo.
El problema de la producción lineal multiobjetivo se formula como:
max Cx

[P ] s.a. Ax ≤ b
x ≥ 0 
donde C ∈ (kxp es la matriz de los coeficientes (cada fila representa los k objetivos del
problema); A ∈ (mxp es la matriz tecnológica; b ∈ (m es el vector de recursos; x es el
vector de producción. Denotaremos por F(P) al espacio de decisión del problema [P]:
F ( P) = {x ∈ ℜ p : Ax ≤ b, x ≥ 0}
El concepto de solución habitual para problemas multiobjetivo es el de solución
eficiente o solución de Pareto:
ε ( P ) = {x ∈ ℜ p : ∃ y ∈ F ( P) verificando Cy ≥ Cx, Cy ≠ Cx}
Como las distintas soluciones eficientes no proporcionan el mismo valor en el espacio
de objetivos consideramos el conjunto de la valoraciones asociadas a las soluciones
eficientes:
Z ( P) = {z ( x) ∈ ℜ k : z ( x) = Cx, x ∈ ε ( P)}
Cuando consideramos que la aportación de recursos al proceso de producción es
controlada por n agentes distintos, esta situación se modela como un juego. Suponemos
que el jugador i dispone de un vector de recursos b i = (b1i , b2i , …, bmi ) t , i = 1,2,…, n . Si se
forma una coalición, S, ésta controla cantidades de recursos representadas por
b( S ) = ∑ b i . Con estos recursos la coalición S produce de acuerdo con el siguiente
i∈S
problema de producción lineal:

[PS ] s.a. x ∈ F ( PS )

x≥0

donde el espacio de decisión, F(PS), es:
max Cx
{
}
F ( PS ) = x ∈ ℜ p : Ax ≤ b( S ), x ≥ 0
Si resolvemos este problema, la coalición S obtiene un vector de pagos conjunto:
{
}
Z ( PS ) = z ∈ ℜ k : z = Cx, x ∈ ε ( PS )
Definamos el juego de la producción lineal multiobjetivo:
Definición. El juego de la producción lineal multiobjetivo es un juego cooperativo de
utilidad transferible (N,V) donde N = {1,2,...,n} es el conjunto de jugadores y V es la
función característica, que viene dada por:
V (φ ) = 0
V ( S ) = Z ( PS ),
∀S ⊆ N .
Donde la función característica asocia a cada coalición un conjunto de vectores en vez
de un único vector.
Una vez definido el juego, el siguiente paso es realizar el reparto del beneficio total
obtenido en la producción conjunta, entre los jugadores . Si todos los jugadores deciden
cooperar, la cuestión es cómo repartir entre todos los agentes un vector no dominado de
V(N) de una manera “justa”.
La idea de reparto en el caso de un problema multiobjetivo consiste en usar un matriz de
pagos, (un elemento de (kxn) con k filas (criterios) y n columnas (jugadores).
 x11 x12

 x1 x 2
X = 2 2

 x1 x 2
 k k
(
La columna i-ésima, X i = x1i , x 2i ,
)
x1n 

x 2n 
.

n
xk 
t
, x ki , en la matriz X representa los pagos para el
jugador i-ésimo en cada criterio, y la fila j-ésima, X j = (x 1j , x 2j ,
)
, x nj , de la matriz X
constituye un reparto entre los jugadores del pago total obtenido en el criterio j. La
suma X ( S ) = ∑ X i es el pago total que obtiene la coalición S.
i∈S
La matriz X constituye un reparto del juego multiobjetivo (N,V) si
X ( N ) = ∑ X i ∈ V ( N ) . El conjunto de todos los repartos del juego se denota por
i∈N
I*(N,V).
Entre todos los repartos del juego, nos interesan aquellos que no son superados por el
valor que pueden garantizarse las coaliciones. En juegos escalares, que un reparto sea
superado respecto a una coalición, significa que puede encontrarse otro reparto que le
asigna más valor a los miembros de la coalición. Ahora necesitamos extender la idea de
mejora. No todos los repartos son aceptables por los jugadores, que aplicarán los
principios de racionalidad individual y colectiva. Las coaliciones aceptan pagos de
compromiso que no son dominados por ninguno de los pagos en el conjunto de vectores
que la coalición puede garantizarse por si misma.
Si la coalición S admite pagos no dominados por ninguno de los pagos en su conjunto
de pagos alcanzables, esto nos lleva al concepto de núcleo vectorial, definido como:
{
}
Core( N , V ) = X ∈ I ∗ ( N ,V ) : ∃ S ⊂ N , z ∈ V ( S ), z ≥ X ( S )
A continuación introducimos el concepto de Conjuntos de Owen para el caso de juegos
de producción lineal múltiple.
2.3.1. Conjuntos de Owen
Para obtener el conjunto de Owen, al igual que ocurría en el caso escalar, nos basaremos
en la teoría de la dualidad. Para ello incluimos a continuación los principales resultados
obtenidos por Iserman (1978).
Consideremos un problema de producción para una coalición S ⊆ N, PS, representado en
forma standard, es decir, añadiendo m variables de holgura.

max C x
PS

s.a. x ∈ F ( P S ) 
[ ]
donde las últimas m columnas de
F ( P S ) , es ahora:
C ∈ ℜ k x ( p + m) son nulas y el conjunto de decisión,
{
}
F ( P S ) = x ∈ ℜ p + m : ( A; I )x = b( S ), x ≥ 0
El problema dual de este problema lineal se define como:
max Ub(S) 
[DS ]

s.a. U ∈ T 
{
}
donde T = U ∈ ℜ k x m : UAw ≤ Cw para ningún w ∈ ℜ p , w ≥ 0 .
Este par de problemas primal-dual tienen propiedades que extienden a las conocidas en
dualidad escalar (Isermann, 1978), esto es:
1. Si x ∈ F(PS) y U ∈ T, entonces la desigualdad C x ≥ Ub(S ) no se cumple.
2. Consideramos el par PS y DS de problemas duales. Entonces son equivalentes:
a) Cada problema tiene una solución eficiente.
b) Cada problema tiene una solución eficiente y existe al menos un par
(x*,U*) de soluciones eficientes tales que C x ∗ = U ∗b(S ) .
3. x ∗ ∈ F ( PS ) es una solución eficiente de PS, si y sólo si, existe una solución
factible U* del problema DS tal que C x ∗ = U ∗b(S ) . U* es entonces una solución
eficiente de DS.
A partir de estos resultados, podemos definir el conjunto de Owen para el juego (N,V)
de la siguiente manera:
Owen( N ,V ) = U ∗ b( N )
{
}
donde U* es una solución óptima del problema [DN].
Es posible encontrar elementos de Owen(N,V) asociados a cada z* ∈ V(N), donde
z* = Cx*, x* ∈ ε(PN) como se prueba a continuación.
Sea (b1,b2,...,bn) ∈ (k x n una matriz cuya i-ésima columna es el vector de recursos del
jugador i, i = 1, 2, ..., n.
Teorema. Para cada z* = Cx* ∈ V(N), existe un reparto X* ∈ Owen(N,V) dado por
X* = U*(b1,b2,... ,bn), donde U* es la solución del problema dual asociado a la solución
x* .
Demostración: Por el Lema 3 en Isermann (1978) si x* y U* son un par de soluciones
n
duales, entonces Cx ∗ = U ∗ b(N ) . Como b( N ) = ∑ b i , X ∗ ( N ) = Cx ∗ = z ∗ .
*
i =1
Más aún, U es también una solución factible en todos los problemas duales de PS,
S ⊂ N. Por lo tanto, no existe ninguna solución x ∈ ε(PS) que cumpla
U ∗b( S ) ≤ Cx,U ∗ b( S ) ≠ Cx . Así, U ∗b( S ) = X ∗ ( S ) es un pago no dominado para la
coalición S, como queríamos demostrar.
Este resultado proporciona un método directo para obtener repartos del Conjunto de
Owen, Owen(N,V). De hecho, la matriz U* está constituida por las columnas asociadas a
las variables de holgura en la matriz de costes reducidos de la tabla del simplex
multiobjetivo de x*. En otras palabras, U ∗ = C B B −1 , donde B es la base que define x*.
Conclusiones
Cada vez son más las aplicaciones de la teoría de juegos en diversos campos de la
ciencia en general y en las Ciencias Sociales en particular. En este trabajo se expone un
problema de la Investigación Operativa que puede plantearse desde el punto de vista de
la Teoría de Juegos Cooperativos TU buscando dar solución al problema adicional del
reparto de los beneficios/costes óptimos entre los distintos agentes que participan. En el
caso particular del problema de producción lineal, Owen prueba que la valoración de los
recursos de cada agente a los precios duales del problema cuando se produce la
cooperación total entre todos es una manera de obtener repartos “justos”. En este trabajo
se apuntan dos ideas novedosas. Una es que si en el proceso de producción óptimo no se
agotan los recursos, pueden obtenerse muchos repartos “justos” utilizando esta idea de
valoración a los precios duales de los recursos. La otra es que esta valoración a los
precios duales puede extenderse al ámbito del problema de producción multicriterio
aplicando la dualidad de Iserman.
Bibliografía
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