Productos notables

PRODUCTOS NOTABLES
Es el nombre que reciben aquellos algoritmos algebraicos cuya aplicación
simplifica y sistematiza la resolución de muchas operaciones habituales; son
fórmulas matemáticas que permiten simplificar la resolución de
algunos polinomios sin tener que realizar la operación completa.
Los
productos
notables
están
relacionados
con
las
fórmulas
de factorización estudiadas en los primeros cursos de álgebra, ya que cada
producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo,
el producto de binomios conjugados corresponde a la regla de factorización
de diferencia de cuadrados.
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común.
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene
aplicando la propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El
área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero
también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).
Ejemplo:
Binomio al cuadrado
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se
suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de los mismos.
Es decir:
forma:
, un trinomio
, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
de
la
Cuando el segundo término es negativo la fórmula que se obtiene es
Ejemplo:
Producto de binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el
cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de
los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo:
Binomios Conjugados
Producto de binomios conjugados.Dos binomios que sólo se diferencien en el
signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar
binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos,
obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo:
Polinomio al cuadrado
Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los
cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de
los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo:
Binomio al cubo
Descomposición volumétrica del binomio al cubo. Para calcular el cubo de un
binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
. Cuando la operación del binomio es
resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el
cuadrado
del
segundo, menos el
cubo
del
segundo
término.
Ejemplo
.
Otras identidades Dado que la notabilidad de un producto es un concepto
ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los
únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas,
que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser
consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:
Suma de cubos
.
Resta de cubos
.
Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas
de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente
simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio
al cubo). La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y
diferencias de potencias n-ésimas:
Suma de potencias n-ésimas.
, aunque la
fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar.
Diferencia de potencias n-ésimas
.