ρ π ρ π ρ π

Relación de problemas: Tema 8
1.- El faradio es una unidad de capacidad enorme. Para ilustrar este hecho, considérese
la Tierra como una esfera conductora de radio 6,37·106 m y encuéntrese su capacidad.
Q


V
C = 4πε 0 R como ε 0 =8.854 ⋅10-12 ⇒ C=7.09 ⋅10-4 F

1 Q
V=
4πε 0 R 
C=
C=7.09 ⋅10-4 F
2.- Un conductor esférico macizo, de radio ra, está rodeado por una carcasa conductora
esférica de radio interior rb y radio exterior rc. Inicialmente ambos conductores están
descargados. Si al conductor interior se le suministra una carga Q, encuéntrese la
distribución final de carga estática. Calcúlese el potencial para todos los puntos y
represéntese gráficamente en función del radio.
La carga en la superficie interior del conductor exterior (rb)
es –Q, ya que esta superficie envuelve la carga del conductor
interior.
La superficie exterior del conductor exterior tiene una carga
Q, ya que el conductor en su conjunto debe ser neutro
(inicialmente era neutro).
Debido a la simetría esférica del problema, la carga se
distribuirá uniformemente en las superficies.
En la superficie de radio ra ⇒ ρ a =
Q
4π ra 2
En la superficie de radio rb ⇒ ρb = −
En la superficie de radio rc ⇒ ρ c =
Q
4π rb 2
Q
4π rc 2
Q
4π ra 2
Q
ρb = −
4π rb 2
Q
ρc =
4π rc 2
ρa =
Debido a la simetría esférica, el potencial en la región ra ≤ r ≤ rb es:
V=
1 Q
4πε 0 r
1
Como los conductores son superficies equipotenciales:
 1

 4πε 0
 1

4πε 0
V = 
 1
 4πε 0

 1
 4πε
0

Q
ra
Q
r
Q
rb
Q
r
r ≤ ra
ra ≤ r ≤ rb
rb ≤ r ≤ rc
rc ≤ r
3.- Una bobina toroidal de radio medio 20 cm y 630 vueltas se llena con un material
cuya susceptibilidad magnética χ es 100. Si la corriente es de 3 A, encuentre el valor del
campo magnético (supuesto uniforme).
B=
µ0 χ NI
2π r
con:
N = 630
χ = 100
B=0.189T
r = 0.2 m
µ0 = 4π ⋅10−7 N / A2
I =3A
4.- Una esfera conductora de 90 cm de radio se carga a un potencial de 1000 V.
Calcular:
a) La cantidad de carga que ha adquirido.
b) A continuación se conecta con otra esfera descargada de 45 cm de radio, ¿cuál será
el potencial de esta esfera y cuánta carga habrá adquirido? (εo = 8.85⋅10-12 C2N-1m-2).
a)
V=
Q
4πε 0 R
→ Q = V 4πε 0 R = 10−7 C
Q = 10−7 C
2
b)
q1 R1
Al conectar las esferas pasa carga desde la esfera que está a
mayor potencial a la de menor potencial, hasta que se
igualan los potenciales. Además se cumple la conservación
de la carga.
Q = q1 + q2
q1
q2
q q
V1 =
=
= V2 → 1 = 2
4πε 0 R1 4πε 0 R2
R1 R2
q2 R2
como R1 = 2 R2 → q1 = 2q2 
10−7
C
 q2 =
3
Q = q1 + q2

2
q1 = 10−7 C
3
El potencial final será:
V1 = V2 =
q2
4πε 0 R2
= 666.6 V
5.- Se tiene una esfera metálica de 20 cm de radio que se ha cargado a 104 V. Con otra
esfera metálica de 4 cm de radio, inicialmente descargada, se toca la grande y después
de separarlas, se descarga la pequeña. Este proceso se repite así 7 veces en total. ¿Cuál
es el voltaje final de la esfera grande?
Inicialmente:
-
Para la esfera grande (R=20 cm):
V0 =
-
1 Q0
→ Q0 = 4πε 0 RV0
4πε 0 R
Para la esfera pequeña: q0=0
Al tocar por primera vez la esfera grande con la pequeña descargada, Q0 se repartirá
entre ambas de modo que ambas quedan al mismo potencial V1:
Q0 = Q1 + q1 = ( 4πε 0 RV1 ) + ( 4πε 0 rV1 ) = 4πε 0 ( R + r )V1
V1 =
R
V
R+r 0
Análogamente, después del segundo contacto:
3
2


V2 = R V1 =  R  V0
R+r
 R+r 
Y después de siete contactos:


V7 =  R 
 R+r 
7
7
V0 → V7 =  20  104
 20 + 4 
V7 = 2790 v
6.- Un condensador plano de 2 µF de capacidad se conecta a una diferencia de potencial
de 100 V.
a) ¿Cuánto vale la carga adquirida?
b) Si la distancia entre las placas se redujese a la mitad, ¿aumentaría o disminuiría la
capacidad? ¿Y la carga? Razone las respuestas.
a)
Q = CV = 2 ⋅10−6 ⋅102
Q = 0.2 mC
b)
S
d
si d se reduce a la mitad d ′ =
d
2
S
C ′ = ε = 2C → C ′ se hace el doble de C
d′
Q′ = C ′V = 0.4 mC
C =ε
Q′ = 0.4 mC
4
7.-Se desea construir un condensador de placas plano-paralelas, usando vidrio como
dieléctrico. El vidrio tiene una permitividad dieléctrica ε = 8εo y el campo eléctrico
máximo que es capaz de soportar es de 2⋅107 V/m. El condensador debe tener un
capacidad de 0.20 µF y debe soportar una diferencia de potencial máxima de 104 V.
¿Cuál es el área mínima que pueden tener las placas del condensador para cumplir las
especificaciones anteriores? (εo = 8.85⋅10-12 C2N-1m-2).
ε = 8ε 0

7
 Emax = 2 ⋅10 V m
Datos 
C = 0.20 ⋅10−6 F

4
Vmax = 10 V
Vmax
104
→d =
= 0.5 ⋅10−3 m
7
d
2 ⋅10
Cd
S=
= 1.41 m2
Emax =
ε
S = 1.41m2
8.-Un condensador de placas plano paralelas cuadradas, de lado 14 cm y separadas 2
mm, se conecta a una batería de 12 V. Posteriormente se desconecta la batería y se
aumenta la separación entre placas a 3,5 mm.
a) ¿Cuánto valen la carga y la energía iniciales del condensador?
b) ¿Cuánto vale el incremento de la carga y de la energía almacenada en el condensador
tras el aumento de la separación entre las placas?
c) Explicar cualitativamente de dónde proviene el incremento de energía del apartado
anterior.
Datos: Constante dieléctrica del vacío, ε0 = 8,85·10-12 C2N-1m-2.
a)
l =14 cm
di= 2 mm
V=12 v
S = 196 cm2 = 0.0196 m2
S
C = ε 0 = 86.7 pF
d
Qi = VC = 1.04 nC
1
U i = QV
= 6.24 nJ
2 i
Qi = 1.04 nC
U i = 6.24 nJ
5
b)
Como se desconecta la batería para aumentar la distancia entre las placas, el proceso
que se realiza es a carga constante.
Qi = Q f = 1.04 nC → ∆Q = 0
C f = ε0
Vf =
d
S
S di
S di
= ε0
= ε0
= C i = 0.57 C = 49.5 pF
df
d f di
di d f
df
Qf
= 21v
Cf
1
Q V = 10.9 nJ → ∆U = U f − U i = 4.66 nJ
2 f f
∆U = 4.66 nJ
Uf =
c)
Separar las placas implica realizar un trabajo mecánico, trabajo que se comunica al
condensador en forma de energía almacenada en el mismo.
9.- Dos planos conductores cuadrados, de lado L, están inicialmente separados una
distancia d y conectados a una diferencia de potencial constante ∆V0. A continuación se
comienza a introducir un dieléctrico de constante ε hasta una altura h. En ese instante se
desconecta la diferencia de potencial y se sigue introduciendo el dieléctrico hasta que
llena completamente el espacio entre los planos. Calcule la carga final en los planos y la
diferencia de potencial.
C0 =
ε 0 L2
d
y Q0 = C0 ∆V0 =
ε 0 L2
d
∆V0
Se comienza a introducir un dieléctrico ε hasta una altura h.
C = C1 + C2 =
ε 0 L ( L − h ) ε Lh
d
+
d
=
L
ε 0 ( L − h ) + ε h 
d
Como la diferencia de potencial sigue siendo la misma:
∆V
Q = C ∆V0 = 0 L ε 0 ( L − h ) + ε h 
d
Ahora se desconecta, luego esta será la carga final.
Q=
∆V0 
L ε ( L − h ) + ε h 
d  0
6
Al final:
C=
ε L2
d
∆V f =
luego ∆V f =
Q ∆V0 Ld ε 0 ( L − h ) + ε h 
=
C
d ε L2
∆V0 ε 0 ( L − h ) + ε h 
εL
10.- Dos conductores cilíndricos coaxiales e infinitamente largos, de radios rb y ra,
tienen el espacio entre ellos lleno de un dieléctrico de constante dieléctrica variable
ε= αρn , con α y n constantes y ρ la distancia al eje de los cilindros. Cuando se
encuentran conectados a una diferencia de potencial ∆V, calcúlese D y E en todos los
puntos de la región comprendida entre los conductores. ¿En qué circunstancia el módulo
del campo eléctrico será constante en toda la región?
ε = αρ n
Para el campo D :
∫ D ⋅ ds = Qv
Debido a su simetría:
0
 ρ r
D =  s a ρˆ
 ρ
0
La diferencia de potencial sería:
rb
ρ r r − n − r − n ρ r
a
∆V = − ∫ E ⋅ d ρ = s a b
= sa
α
αn
n
ra
r < ra
0
 ρ r
ra ≤ r ≤ rb ⇒ E =  s na+1 ρˆ
α ρ
0
r > rb
r < ra
ra ≤ r ≤ rb
r > rb
 1
1 
 n− n
ra 
 rb
luego
ρs =
∆V α nrb n ra n
ra ( ra n − rb n )
y sustituyendo:
0 r < ra y r>rb

D =  ∆V α nrb n ra n
ρˆ ra ≤ r ≤ rb
 (r n − r n ) ρ
b
 a
0 r < ra y r>rb

E =  ∆V α nrb n ra n
ρˆ
 ( r n − r n ) ρ n +1
a
b

ra ≤ r ≤ rb
7
0 r < ra y r>rb
0 r < ra y r>rb


n n
D =  ∆V α nrb n ra n
⇒ E =  ∆V α nrb ra
ˆ
ˆ
 r n − r n ρ ρ ra ≤ r ≤ rb
 r n − r n ρ n+1 ρ
a
a
b
b


(
)
(
Luego en el caso n = -1, es decir, ε =
)
ra ≤ r ≤ rb
α
, el campo E es constante en toda la región.
ρ
11.- Una esfera dieléctrica de radio ra posee carga libre de densidad constante ρo.
Calcúlese D y E para todos los puntos dentro de la esfera. Calcúlese el potencial en
todos los puntos.
Debido a la simetría esférica:
4
2
3
∫ D ⋅dS = 4π R D = 3 π R ρ0
Luego:
 ρ0 R ˆ
 ρ0 R ˆ
R
R
R
r
≤
a

 3
 3ε
D=
⇒E=
3
3
ρ
r
 0 a Rˆ R > r
 ρ 0 ra Rˆ
a
 3ε 0 R 2
 3R 2
 ρ0 R ˆ
 ρ0 R ˆ
R R ≤ ra
R
R
≤
r
a
 3
 3ε
⇒E=
D=
3
3
ρ
r
 0 a Rˆ R > r
 ρ0 ra Rˆ R > r
a
a
 3R 2
 3ε 0 R 2

 R ρ0 ra 3
dR R > ra
− ∫
2
R  ∞ 3ε 0 ρ
V = − ∫ E ⋅ dR ⇒ V =  ra
R
3
∞
− ρ 0 ra dR − ρ 0 R
∫ 3ε
 ∫ 3ε R 2
ra
 ∞ 0
 ρ ra 2
R ≥ ra
 0
 3ε 0 R
V =
2
ρ0  R 2 − ra 2 
 ρ0 ra
−


 3ε
3ε  2 
0

R ≤ ra
R < ra
8
12.- Una partícula cargada se encuentra moviéndose con una velocidad v0 siguiendo una
trayectoria circular de radio R0 en un recipiente vacío, en el cual actúa un campo
magnético B constante. A continuación se añade cuidadosamente un fluido de
permeabilidad magnética µ. Sabiendo que el momento angular de la partícula no ha
variado en el proceso, calcular el radio y la velocidad final de la partícula.
Inicialmente la partícula gira debido a una fuerza
F0 = qv0 B, como gira: F0 = m
B=
v0 2
R0
m v0
q R0
Al añadir el líquido:
Bf =
µ0
B
µ
y la fuerza: Ff = qv f B f
Como el momento lineal no ha cambiado: L0 = L f
mv0 R0 = mv f R f ⇒ v0 R0 = v f R f
como gira: Ff = m
vf 2
Rf
= qv f B f ⇒
vf
Rf
=
q
q µ0
Bf =
B
m
m µ
luego:
vf
Rf
=
Rf
µ0 v0
µ vf
µ R0
⇒
=
=
µ R0
R0 µ0 v0 µ0 R f
Por lo tanto:
Rf =
µ
R0
µ0
vf =
µ0
v0
µ
9
13.- Dos planos conductores iguales, de superficie A, se colocan horizontalmente,
inicialmente descargados. El plano inferior se encuentra fijo, mientras que el superior
cuelga a una distancia d del plano inferior de un muelle de constante k, cuyo extremo
superior está fijo. En esta situación, los planos se conectan a una diferencia de potencial
desconocida y se observa que la distancia entre los planos disminuye a un tercio de la
original. Calcule la diferencia de potencial entre los planos.
Las fuerzas que sufre la placa de arriba cuando no está cargada son:
− mg + k ( l − l0 ) = 0
Cuando las placas se cargan, la fuerza que la placa de abajo realiza sobre la de arriba es:
F=
Q2
2ε 0 S
La placa se mueve hacia abajo una distancia d/3, luego esta será la distancia que el
muelle se estira respecto de la anterior posición.
El equilibrio queda:
d  Q2

− mg + k  l − l0 +  −
=0
3  2ε 0 S

luego:
kd
Q2
=
3 2ε 0 S
2
Q d
2
ε 0 Skd
como ∆V = 3 y Q =
εS
3
obtenemos:
∆V =
2d
3
2kd
3ε 0 S
10
14.- Dos conductores planos cuadrados, cargados con cargas Q y -Q, de lado L y
separados una distancia d se colocan verticalmente y el espacio entre ellos se llena con
un dieléctrico de constante dieléctrica ε, densidad de masa ρm y que encaja
perfectamente, de forma que el dieléctrico puede desplazarse verticalmente. Se suelta el
dieléctrico y éste baja debido a la acción del peso. Calcule hasta qué altura bajará.
Este sistema puede verse como dos condensadores en paralelo con :
C1 =
ε 0 Lz
d
y C2 =
C = C1 + C2 =
ε L(L − z)
d
L
(ε 0 z + ε ( L − z ) )
d
La energía potencial del condensador es:
1
1 Q2 1
Q 2d
=
E p = Q∆V =
2
2 C 2 L (ε 0 z + ε ( L − z ) )
La fuerza que se genera es:
dE
Fz = − p
dz
ε − ε0
1 Q2d
Fz =
2 L ε 0 z + ε ( L − z )  2


Esta fuerza debe contrarrestar el peso:
P = ρ m L2 dg
Fz = P ⇒
ε − ε0
1 Q2d
= ρ m L2 dg
2
2 L ε 0 z + ε ( L − z ) 


Q 2d (ε − ε 0 )
⇒
(ε 0 − ε ) z + ε L =
2 L3 d
⇒z=
Q
1
εL
−
L 2 L ( ε − ε 0 ) g ρm ε − ε 0
11
15.- Una carcasa conductora cilíndrica larga, de radio rb y longitud L, contiene otra
carcasa cilíndrica conductora de radio ra e igual longitud. Se introduce hasta una altura
h un dieléctrico de constante dieléctrica ε, que encaja perfectamente en el espacio entre
los dos conductores. Cuando los conductores se cargan con carga Q y -Q, calcule la
fuerza generada por las cargas en los conductores sobre el dieléctrico en esta situación.
¿La fuerza tiende a introducir el dieléctrico o a expulsarlo?
El sistema se puede ver como una asociación de condensadores en paralelo con:
C1 =
2πε 0 ( L − h )
2π hε
y C2 =
r
r
ln b
ln b
ra
ra
C = C1 + C2 =
2π
(ε ( L − h ) + ε h )
rb 0
ln
ra
La energía potencial es:
Ep =
rb
ra
1Q
Q2
=
2 C
4π ε 0 ( L − h ) + ε h
Fp = −
dE p
ln
F=
ln
2
dh
ln
=
rb
ra
rb
ra
Q 2 (ε − ε 0 )
4π ε 0 ( L − h ) + ε h  2


Q 2 (ε − ε 0 )
4π ε 0 ( L − h ) + ε h  2
Hacia arriba.
12
16.- Una esfera dieléctrica de radio a y constante dieléctrica ε, posee en su interior una
densidad de carga ρ =Ar, donde A es una constante y r la distancia desde su centro a un
punto interior de la esfera. Fuera de la esfera hay vacío. Determinar:
a) El campo eléctrico en cualquier punto del espacio.
b) El potencial en el centro de la esfera.
a)
Aplicando el teorema de Gauss a un punto interior de la esfera contenido en otra esfera
de radio r concéntrica con ella:
r
r
0
0
D 4π r 2 = ∫ ρ dv = ∫ Ar 4π r 2 dr
Ar Ar 2 D=
r→ E=
r
4
4ε
ε
ρ=Ar
2
ε0
Para un punto exterior: r>a
a
D 4π r = ∫ A4π r 3dr = Aπ a 4
2
0
D=
Aa 4 Aa 4 r→ E=
r
4r 2
4ε 0 r 2
b)
El potencial en el centro de la esfera será:
0 ∞
a
Vr =0 = − ∫ E (r ) d r = ∫ Eint ( r ) dr + ∫ Eext ( r ) dr =
∞
a
0
∞
4
a
3
A 2
Aa 1
Aa
r dr + ∫
dr =
(3ε + ε 0 )
2
4
4
12
ε
ε
εε
r
0
0
0
a
=∫
Vr =0 =
Aa3
(3ε + ε 0 )
12εε 0
13
17.-Muchos aparatos de radio utilizan un condensador plano variable de placas
semicirculares como parte de un circuito resonante que permite la sintonización de las
diferentes emisoras. Suponiendo que las placas tienen un radio a = 1 cm, y están
separadas una distancia d = 1 mm, calcular la capacidad de dicho condensador, cuando
entre ambas placas existe aire. Para variar la capacidad de dicho condensador se
introduce entre sus placas un dieléctrico semicircular del mismo radio a y espesor d que
se gira cuando se mueve el dial del aparato de radio para sintonizar una emisora.
Calcular la capacidad del condensador cuando:
a) Todo el espacio entre las placas del condensador esta lleno de dieléctrico.
b) El dieléctrico sólo ocupa un ángulo α = 30º del espacio entre las placas, quedando el
resto lleno de aire. ¿A que asociación de condensadores equivale esta nueva situación?
Datos: εaire ≈ ε0 = 8.85·10−12C2N−1m−2. εdieléctrico = 3ε0.
α
εr
ε0
a)
a2
S
C = ε = ε 2 = 4.17 pF
d
d
π
C = 4.17 pF
b)
Se forman dos condensadores en paralelo: C1 (aire) y C2 (dieléctrico).
α = 30º → α =
π
6
rad
5
6
α ′ = 150º → α ′ = π rad

a2
2
π
5
a
2 =ε

C1 = ε 0
0
d
12d  C = C + C = 2 ε π a 2 → C = 1.85 pF
 p
p
1
2
3 0 d
a2

α
3π a 2 
C2 = ε 2 = ε 0
d
12d 
α′
14
18.- Considere un condensador formado por dos chapas esféricas conductoras
concéntricas de radios a = 2 cm y b = 4 cm. Entre ambas esferas hay un material
dieléctrico de constante dieléctrica relativa igual a 3. Si se establece una diferencia de
potencial V= 10 V conectando una pila entre ambas esferas, calcular:
a) La expresión del campo eléctrico en las regiones: r<a y a<r<b.
b) La capacidad del condensador.
c) El valor de la carga que adquiere el condensador.
d) ¿Qué le ocurriría a la capacidad si los radios de las dos chapas esféricas se redujeran
a la mitad?
Dato: εo = 8.85⋅10-12 C2N-1m-2.
a)
Notación en esféricas: r ≡ R
R<a→ E=0
a< R<b
Q E=
R
4πε R 2
b)
Para calcular la capacidad antes hay que calcular V:
b
b
Q
1
Q
∫a dV = Vb − Va = V = 4πε ∫a R 2 dR = 4πε
C=
Q
ab
= 4πε
V
b−a
y Q = V 4πε
Q b−a
1 1
 a − b  = 4πε ab


ab
b−a
Por lo que E en el apartado anterior se puede expresar:
ab
E = V b −2a R
R
C = 13.3 pF
15
c)
Q = CV
Q = 133 pF
d)
C ′ = Capacidad del condensador con
a b


4πε  2 2 
C′
=
C
4πε
a b
y de radios.
2 2
b a
2−2 1

 = → C ′ = C → C ′ = 6.65 pF
ab
b−a
2
2
19.-Considere un solenoide recto indefinido, con n vueltas por unidad de longitud,
recorridas por una intensidad I y con un núcleo de material magnético de permeabilidad
magnética µ. Calcular los vectores intensidad magnética e inducción magnética en el
interior del solenoide.
I
µ
B = µ H ; ∫ H ⋅ dl = I total
HL = nLI → H = nI
H está confinado en el interior del solenoide por ser ∞.
Fuera B y H son cero.
H = nI k
B = µ nI k
16
20.-Considere un cable coaxial cuya sección transversal se muestra en la figura. Las
zonas rayadas corresponden a los conductores y la región entre a y b es de un material
magnético con permeabilidad magnética µ. Suponiendo que por el conductor de radio a
circula una intensidad de corriente I y por la cáscara conductora comprendida entre b y
c circula la misma intensidad, pero en sentido contrario, calcular:
a) La intensidad magnética en la región comprendida entre a y b.
b) La intensidad magnética en el exterior del cable.
3
4
2
1
Supondremos que la corriente está uniformemente distribuida y distinguiremos las
cuatro zonas especificadas en la figura.
Zona 1: Aplicamos la ley de Ampere a una circunferencia de radio ρ.
2πρ B = µ0
B=
µ0 I
I
2
ρ
2 πρ ⇒ B =
2π a 2
πa
µ0 I ρϕ (en cilíndricas)
2π a 2
La energía magnética:
1

a
W = µ0 ∫ B 2 dv 
energía por unidad 
µ0 I 2
1

2
2 V
πρ
ρ
2
=
B
d
Wl = 
=
2µ0 ∫0
16π
de longitud.


dv = 2πρ d ρ dz 
Wl =
µ0 I 2
16π
17
Zona 2: Ley de Ampere.
2πρ B = µ0 I ⇒ B =
1
Wl =
2 µ0
µ0 I
I ⇒ H=
ϕ
2πρ
2πρ
µ0 2 I 2
µ0 I 2 b
∫a ( 2π )2 ρ 2 2πρ d ρ ⇒ Wl = 4π ln a
b
Zona 3:
µ I µ I π (ρ −b )
B= 0 − 0
2πρ 2πρ π ( c 2 − b 2 )
2
B=
2
µ0 I  ρ 2 − b 2 
1 −

2πρ  c 2 − b 2 

µ0 I 2 
c4
b 3c 2 − b 2 
ln −
Wl =
B dv =
2 µ0 ∫b
4π  ( c 2 − b 2 )2 c 4 ( c 2 − b 2 ) 


1
c
2
Zona 4:
Apantallamiento magnético
B=0
H =0
Para calcular la autoinducción por unidad de longitud, recordemos que:
1
Ll I 2
2
Ll ≡ autoinducción por unidad de longitud.
∑W
l
Ll =
=
2∑ Wl
I2

µ
µ
b µ
= 2  0 + 0 ln + 0
16π 4π a 4π



2
2 
c4

 ln b + b − 3c 
 ( c 2 − b 2 )2  c 4 ( c 2 − b 2 ) 



18