Potencial de una carga

ANTENAS
1
Potencial de una carga
Una carga Q está situada en el origen de coordenadas. Obtener el
potencial en todos los puntos del espacio, y representar gráficamente
el potencial en el intervalo 0.1 m a 1 m en los siguientes casos
a) La carga no varía con el tiempo
b) La carga varía en forma armónica, a una frecuencia de de 1GHz.
Representar gráficamente el potencial para distintos instantes del
período.
c) La carga toma el valor Q en el tiempo comprendido entre 0 y 1ns
Representar gráficamente el potencial para t=1.5ns, y t=3ns
Solución
Potencial en estática
La expresión para el potencial es
Φ=
1
G G
G
G (r , r ') ρ (r ')dv '
ε ∫∫∫
v'
La función de Green en el espacio libre
G G
− jk r − r '
e
e − jkR
G G
G (r , r ') =
=
G G
4π r − r ' 4π R
En el caso de una carga situada en el origen, en el caso k=0, la
expresión del potencial y la gráfica normalizada son:
Φ=
Q
4πε r
10
10
8
6
1
r
4
2
1
0
0.1
r
1
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
ANTENAS
2
Potencial, variación armónica
Particularizando en el caso indicado, el potencial es
Q
Φ(r ) =
e − jkr
4πε r
Q
⎛ Q − jkr jω t ⎞
e e ⎟=
Φ (r , t ) = Re ⎜
cos (ω t − kr )
⎝ 4πε r
⎠ 4πε r
Frecuencia
Pulsación
Longitud de Onda
Cte. Propagación
Período
f=1 GHz
ω=2πf
λ=1/f
k=2π/λ
T=1/f = 1ns
La representación gráfica del potencial en distintos instantes del
período es
t=0
t=T/4
t=T/2
t=3T/4
10
10
6
Φ ( r , 0)
⎛
⎝
T⎞
Φ ⎛⎜ r ,
T⎞
2⎠
Φ ⎜ r,
⎝
4⎠
⎛ 3T ⎞
Φ ⎜ r,
⎝ 4 ⎠
2
2
6
− 10 10
0.1
r
1
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3
Potencial, variación con el tiempo
La expresión del potencial escalar retardado es
G G
r −r '
G
ρ (r ', t −
)
G
c
Φ (r , t ) = ∫∫∫
dv '
G G
4πε r − r '
v'
La expresión se simplifica en el caso de tener una sóla carga situada
en el origen.
r
Q(t − )
c
Φ (r , t ) =
4πε r
La representación gráfica del potencial en función de la distancia,
para t=1.5 ns. Y t=3 ns es:
10
10
6
Φ1( r , 1.5T )
2
Φ1( r , 3 ⋅T )
2
6
− 10 10
0.1
r
1
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia