Ejercicio 6 de la práctica 4 A) Resolución de las ecuaciones con las herramientas propias de Mathematica H∗1∗LDSolve@H1 + E ^ xL ∗ y@xD ∗ y '@xD == E ^ x, y@xD, xD ::y@xD → − 2 C@1D + Log@1 + x D >, :y@xD → 2 C@1D + Log@1 + x D >> H∗2∗L DSolve@H4 x + 3 y@xDL + H2 y@xD − 3 xL ∗ y '@xD 0, y@xD, xD Solve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way. à 3 ArcTanB y@xD 2 x SolveB− F + LogB2 + 2 y@xD2 x2 F C@1D − 2 Log@xD, y@xDF H∗3∗L DSolve@−1 + y@xD ∗ E ^ Hx ∗ y@xDL + y@xD ∗ Cos@x ∗ y@xDD + H−1 + x ∗ E ^ Hx ∗ y@xDL + x ∗ Cos@x ∗ y@xDDL ∗ y '@xD 0, y@xD, xD Solve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way. à SolveAx y@xD − x + Sin@x y@xDD − y@xD C@1D, y@xDE H∗4∗L DSolve@y '@xD + 2 x ∗ y@xD 2 x ∗ E ^ Hx ^ 2L, y@xD, xD ::y@xD → x 2 2 + −x C@1D>> 2 H∗5∗L DSolve@x ∗ y '@xD + y@xD y@xD ^ 2 ∗ Log@xD, y@xD, xD ::y@xD → 1 1 + x C@1D + Log@xD >> B) Resolución de las ecuaciones con los métodos clásicos 1) Esta ecuación es de variables separadas: y HxL y ' HxL = Ahora integramos respecto de x: Ÿ yHxL y' HxL „ x=Ÿ ‰x 1+‰ x Integrate B „x x 1 + x , xF x 1 + x 2 Ejercicio 6. Práctica 4.nb Log@1 + x DH∗Este comando nos da una primitiva. El conjunto de todas las primitivas se obtiene sumando la constante C∗L Integrate @y, yD y2 2 Por lo tanto, y2 = 2 HLog@1 + ‰x D + CL 2) Esta ecuación es homogénea : (4 x + 3 y) + (2 y - 3 x)y'ã 0 y' = -4 - 3 y ê x 2 yêx - 3 y Hacemos el cambio u = , es decir, u x = y. Derivando respecto de x, x tenemos : u' x + u = y'. Sustituyendoen la ecuación diferencial nos queda : u' x + u = u' x = In[1]:= -4 - 3 u 2u-3 −4 − 3 u − u; u ' x = 2u−3 Integrate B 3 ArcTanB −2 u + 3 4 + 2 u2 u 2 Out[1]= 2 , que es una ecuación diferencial de variables separadas. F − 1 2 2 −4 − 3 u − 2 u2 + 3 u 2u−3 ; u' x = −4 − 2 u2 2u−3 ; −2 u + 3 4 + 2 u2 , uF LogA2 + u2 E H∗Esta integral se descompone como suma de una integral del tipo logaritmo más una integral del tipo arcotangente∗L ‡ −2 u + 3 u' x = − 4 + 2 u2 1 2 ‡ 4u 4 + 2 u2 u + 3 4 2 · 1í 1+J 2 u 2 N u 2 Por lo tanto : y 3 ArcTanB x 2 In[5]:= In[7]:= Out[7]= In[9]:= Out[9]= 2 F − 2 y 2 LogB2 + K O F = C + log » x » 2 x 1 H∗3∗L p@x_, y_D := −1 + y ∗ E ^ Hx ∗ yL + y ∗ Cos@x ∗ yD q@x_, y_D := −1 + x ∗ E ^ Hx ∗ yL + x ∗ Cos@x ∗ yD D@p@x, yD, yD x y + x y x y + Cos@x yD − x y Sin@x yD D@q@x, yD, xD x y + x y x y + Cos@x yD − x y Sin@x yD ∑p Como p y q tienen derivadas parciales de primer orden continuas y además ∑q ∑x Hx, yL entonces tenemos un forma diferencial exacta. ∑y Hx, yL = u' = 1 x Ejercicio 6. Práctica 4.nb Integrate @p@t, yD, 8t, x0, x<D + Integrate@q@x0, tD, 8t, y0, y<D In[10]:= x y − x0 y0 − x + x0 − y + y0 + Sin@x yD − Sin@x0 y0D Out[10]= Agrupando las constantes, la solución de la ecuación diferencial es : ‰x y - x - y + Sin@x yD = C H*4*L y' + 2 xy = 2 x‰x 2 Esta ecuación es lineal. Se resuelve por el método de variación de constantes Primero, resolvemosla ecuación : y' + 2 xy = 0; y' = -2 xy -> y' = -2 x Ø log » y » = -x2 + C Ø y = k‰-x y 2 Ahora, hacemos variar la constante para hallar una solución particular : y = k HxL ‰-x 2 Derivamos : y' = k' ‰-x + k HxL ‰-x H-2 xL 2 2 Por otra parte, de la ecuación diferencial : y' + 2 xk HxL ‰-x = 2 x‰x 2 2 Así : k' ‰-x + k HxL ‰-x H-2 xL + 2 xk HxL ‰-x = 2 2 2 2 x‰x -> k' ‰-x = 2 x‰x Ø k' = 2 x‰2 x . Integrando y tomando como constante el cero : k HxL = 2 2 2 2 Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial es : y HxL = k‰-x + 2 1 ‰x 1 ‰2 x 2 2 2 2 H∗5∗Lxy ' + y = y2 log HxL Esta ecuación diferencial es de Bernouilli Hacemos el cambio u = -x u' u2 + 1 = u 1 y Ø y' = - u' u2 ; HSupongamosy, u distintos de ceroL 2 1 log HxL; u Multiplicando por u2 : -xu' + u = log HxL, que es una ecuación lineal. -xu' + u = 0 Ø u' ê u = 1 ê x Ø log » u » = log » x » +C Ø u = kx, ahora hacemos variar la constante para hallar una solución particular : -x Hk' x + kL + kx = log HxL Ø -x2 k' = log HxL Ø k' = tenemos k HxL = In[12]:= + x + -x2 . Integrando por partes, Allamando dv = -1 ë x2 dxE , log HxL x Integrate B 1 Out[12]= 1 log HxL x Log@xD −x2 , xF Log@xD x La solución de la ecuación diferencial es : y HxL = 1 u HxL = 1 kx + J 1x + log HxL Nx x = 1 kx + 1 + log HxL 3