Teorıa de Galois. Curso 2016-17 • Un anillo conmutativo y unitario

Teorı́a de Galois.
Curso 2016-17
I. RESULTADOS PRELIMINARES
I.1 ANILLOS CONMUTATIVOS Y UNITARIOS
• Un anillo conmutativo y unitario es un conjunto R junto con dos operaciones: adición (a, b) 7→ a + b y multiplicación
(a, b) 7→ a · b, y dos elementos distintos 0, 1 ∈ R tales que, para todo a, b, c ∈ R:
(i) (a + b) + c = a + (b + c);
(ii) a + b = b + a;
(iii) a + 0 = 0 + a;
(iv) existe −a ∈ R tal que a + (−a) = 0;
(v) (ab)c = a(bc);
(vi) ab = ba;
(vii) a1 = a;
(viii) a(b + c) = ab + ac.
• El anillo de polinomios R[X], donde R es un anillo conmutativo y unitario: Sea f (X) ∈ R[X],
f (X) = an X n + · · · a1 X + a0
con ai ∈ R (i = 0, . . . , n) y an 6= 0.
El coeficiente director de f es cd(f ) = an ; el grado de f es gr(f ) = n (el polinomio nulo no tiene grado); f es mónico
si an = 1; el término constante de f es a0 ; f es (un polinomio) constante si n = 0 o f es le polinomio nulo. f es
(un polinomio) lineal , cuadrático, cúbico, cuártico, quı́ntico si f tiene grado 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. La derivada
(formal) de f es f 0 (X) = nan X n−1 + · · · + 2a2 X + a1 .
• Sea R un anillo conmutativo y unitario. R es un dominio (de integridad) si para todo a, b ∈ R, ab = 0 =⇒ a = 0 o
b = 0; el conjunto de unidades de R es
U (R) = {a ∈ R : existe b ∈ R tal que ab = 1}.
• Propiedades de anillos. Sea R un anillo conmutativo y unitario.
(1) ∀a ∈ R, 0a = 0;
(2) ∀a ∈ R, −a = (−1)a;
(3) ∀a ∈ R, (−1)(−a) = a;
(4) R es un dominio si y solo si ∀a, b, c ∈ R con c 6= 0, ac = bc =⇒ b = c;
(5) si R es un dominio entonces R[X] es un dominio;
(6) si R es un dominio entonces para todo f (X), g(X) ∈ R[X] tal que cd(g) ∈ U (R) existen unos únicos q(x), r(x) ∈
R[X] (cociente y resto) tales que
f (X) = q(X)g(X) + r(X)
con
r(X) = 0
o
gr(r) < gr(g);
(7) si R es un dominio, a, b, u.v ∈ R tales que a = ub y b = va entonces uv = 1 (y por lo tanto u, v ∈ U (R)).
• Un cuerpo K es un dominio tal que U (K) = K \ {0}. Un subanillo de un anillo conmutativo y unitario R es un conjunto
S ⊆ R tal que 1 ∈ S y ∀a, b ∈ S, a − b ∈ S y ab ∈ S. Un subcuerpo de un cuerpo K es un subanillo de K que es un cuerpo.
• Cuerpo de fracciones de un dominio R. En R × (R \ {0}) se define la siguiente relación de equivalencia:
(a, b) ∼ (c, d) si ad = bc, para todo (a, b), (c, d) ∈ R × (R \ {0}).
a/b denota la clase de equivalencia de (a, b). El conjunto cociente cf (R) = {a/b : a, b ∈ R, b 6= 0} con las operaciones
a/b + c/d = (ad + bc)/bd y (a/b)(c/d) = ac/bd es un cuerpo: el cuerpo de fracciones de R.
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I.2 HOMOMORFISMOS E IDEALES
• Sean R y S son anillos conmutativos unitarios. Sea ψ : R → S una aplicación. ψ es un homomorfismo (de anillos
unitarios) si ψ(1) = 1 y para todo a, b ∈ R, ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b) y ψ(ab) = ψ(a)ψ(b). El núcleo de ψ es ker(ψ) =
{a ∈ R : ψ(a) = 0}. Un homomorfismo ψ es isomorfismo si es biyectiva, y automorfismo si es un isomorfismo y R = S.
El homomorfismo evaluación en c ∈ R es
X
X
evc : R[X] → R : f (X) =
ai X i 7→ f (c) =
ai ci ;
c ∈ R es raı́z de f (X) ∈ R[X] si f (c) = 0.
• Propiedades de homomorfismos. Sea ψ : R → S un homomorfismo de anillos unitarios.
(1) Si a ∈ R es una unidad de R entonces
Pn ψ(a)i es una
Pn unidad dei S;
(2) la aplicación ψ 0 : R[X] → S[X] :
i=0 ai X 7→
i=0 ψ(ai )X es un homomorfismo, y es isomorfismo si ψ lo es.
(3) Im(ψ) es un subanillo de S;
(4) Ker(ψ) es un subanillo de R;
(5) ψ es inyectiva si y solo si ker(ψ) = {0}.
• Sea R un anillo conmutativo y unitario. Un ideal de R es un conjunto I ⊆ R tal que 0 ∈ I, ∀a, b ∈ I, a − b ∈ I y
∀a ∈ R, ∀b ∈ I, ab ∈ I. Si b ∈ R, el ideal principal generado por b es (b) = {ab : a ∈ R}. Si b1 . . . , bm ∈ R, el ideal
generado por {b1 , . . . , bm } es (b1 , . . . , bm ) = {a1 b1 + · · · + am bm : ai ∈ R, i = 1, . . . , m}.
• Propiedades de ideales I. Sea R un anillo conmutativo y unitario.
(1) R contiene al menos dos ideales {0} y R;
(2) si ψ : R → S es un homomorfismo de anillos unitarios entonces ker(ψ) es un ideal de R;
(3) si u ∈ U (R) e I un ideal de R entonces u ∈ I =⇒ I = R, y (ub) = (b), para todo b ∈ R;
(4) si R es un dominio y b1 , b2 ∈ R, entonces (b1 ) = (b2 ) si y solo si b1 = ub2 , para algún u ∈ U (R);
(5) R es un cuerpo si y solo si sus único ideales son {0} y R.
• Sea R un anillo conmutativo y unitario y sea I un ideal de R. En R se define la siguiente relación de equivalencia: a ∼ b
si y solo si a − b ∈ I. El conjunto cociente R/I = {a + I : a ∈ R} con las operaciones (a + I) + (b + I) = (a + b) + I y
(a + I)(b + I) = (ab) + I es un anillo conmutativo y unitario que se llama anillo cociente de R módulo I.
• Propiedades de anillos cocientes. Sea R un anillo conmutativo y unitario e I un ideal de R.
(1) La proyección natural π : R → R/I : a 7→ a + I es un homomorfismo de anillos;
(2) existe una biyección entre el conjunto de ideales intermedios I ⊆ J ⊆ R y el conjunto de ideales de R/I, dada
por
J 7→ π(J) = J/I = {a + I : a ∈ J},
además si J ⊆ J 0 son ideales intermedios entonces π(J) ⊆ π(J 0 );
(3) si S es un anillo unitario y ψ : R ∼
= S entonces R/I ∼
= S/ψ(I) : a + I 7→ ψ(a) + ψ(I).
• Primer teorema de isomorfı́a. Si ψ : R → S es un homomorfismo de anillos unitarios entonces existe un isomorfismo
de anillos unitarios
R/ker(ψ) → Im(ψ) : a + I 7→ ψ(a).
• Sea R un anillo conmutativo y unitario. R es un dominio de ideales principales si cada ideal de R es principal. Un ideal
I de R es primo si I 6= R y ab ∈ I =⇒ a ∈ I o b ∈ I. Un ideal I de R es maximal si I 6= R y no existe J ⊆ R ideal tal
que I ⊂ J ⊂ R.
• Propiedades de ideales II. Sea R un anillo conmutativo y unitario e I un ideal de R.
(6) Si R es un cuerpo entonces el anillo de polinomios R[X] es un dominio de ideales principales;
(7) I es un ideal primo si y solo si R/I es un dominio;
(8) I es un ideal maximal si y solo si R/I es un cuerpo;
(9) si I es un ideal maximal entonces I es un ideal primo;
(10) si R es un dominio de ideales principales e I es un ideal primo I 6= {0} entonces I es un ideal maximal.
• Sea R es un anillo conmutativo y unitario. Sean a, b ∈ R. a divide a b [a|b] si existe c ∈ R tal que ac = b (⇔ (b) ⊆ (a)).
• Propiedades de raı́ces de polinomios I.
(1) Sea R un dominio,f (X) ∈ R[X] y a ∈ R. a es raı́z de f si y solo si x − a|f (X).
• Un a ∈ R es una raı́z múltiple de un polinomio f (X) ∈ R[X] si (X − a)2 |f (X).
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I.3 ANILLOS DE POLINOMIOS SOBRE UN CUERPO
F un cuerpo. Todos los polinomios en esta sección I.3 son elementos de F [X].
• El máximo común divisor [mcd] de f (X) y g(X), es un polinomio d(X) tal que:
(i) d(X)|f (X) y d(X)|g(X);
(ii) si c(X)|f (X) y c(X)|g(X) entonces c(X)|d(X), y
(iii) d(X) es mónico.
Notación: d(X) = (f (X), g(X)).
f (X) y g(X) son coprimos si (f (X), g(X)) = 1.
• Propiedades del mcd.
(1) Sean f (X) y g(X) con g(X) 6= 0, entonces existe d(X), mcd de f (X) y g(X), y existen a(X), b(X) tales que
d(X) = a(X)f (X) + b(X)g(X);
Algoritmo de Euclides: existe un algoritmo para calcular el mcd de dos polinomios y expresarlo como una combinación
lineal de los polinomios;
(2) si (f (X), g(X)) = 1 y f (X) divide a g(X)h(X) entonces f (X) divide a h(X) en F [X].
(3) si F es un subcuerpo de un cuerpo E entonces el mcd de f (X) y g(X) calculado en F [X] es el mismo que el
calculado en E[X].
• Sea R un dominio. Un polinomio no nulo p(X) ∈ R[X] es irreducible sobre R si p(X) 6∈ U (R[X]) y no existe una
factorización p(X) = f (X)g(X) en R[X] con f (X), g(X) 6∈ U (R[X]). Si R es un cuerpo esto equivale a que gr(p(X)) ≥ 1
y no existan f (X) y g(X) en R[X] con gr(f (X)) < gr(p(X)) y gr(g(X)) < gr(p(X)) tales que p(X) = f (X)g(X).
• Propiedades de polinomios irreducibles I.
(1) si gr(p(X)) es 2 o 3, p(X) es irreducible sobre F si y solo si p(X) no tiene raı́ces en F ;
(2) si p(X) es irreducible sobre F y g(X) ∈ F [X] no es constante entonces, o bien (p(X), g(X)) = 1 o p(X)|g(X);
(3) si p(X) es irreducible sobre F y
p(X)|q1 (X) · · · qs (X)
entonces
p|qj (X)
para algún j;
(4) p(X) es irreducible sobre F si y solo si (p(X)) es un ideal maximal de F [X];
(5) si f (X) ∈ F [X] es no nulo entonces existen p1 (X), . . . , ps (X) ∈ F [X] mónicos e irreducibles sobre F (no
necesariamente distintos) y a ∈ F no nulo tales que
f (X) = ap1 (X) · · · ps (X)
la factorización es única salvo el orden;
(6) si f (X) = ap1 (X)k1 · · · pt (X)kt y g(X) = bp1 (X)n1 · · · pt (X)nt , donde ki ≥ 0, ni ≥ 0, a, b ∈ F ∗ y los pi (X)
polinomios irreducibles sobre F mónicos y distintos, entonces
(f (X), g(X)) = p1 (X)m1 · · · pt (X)mt ,
donde mi = min{ki , ni }.
• Los anillos F [X1 , . . . , Xn ] son dominios de factorización única.
• Un polinomio f (X) ∈ F [X] se descompone sobre F si es producto de factores lineales.
• Propiedades de raı́ces de polinomios II. Sea F un cuerpo y f (X), g(X) ∈ F [X].
(2) f (X) se descompone en F si y solo si tiene todas sus raı́ces en F ;
(3) para todo a ∈ F existe q(X) ∈ F [X] tal que f (X) = q(X)(x − a) + f (a);
(4) si gr(f (X)) = n, f (X) tiene a lo más n raı́ces en F ;
(5) si f (a) = g(a) para todo a ∈ F y F tiene al menos max{gr(f (X)), gr(g(X))} + 1 elementos (en particular, si
F es infinito), entonces
Qn f (X) = g(X).
(6) si f (X) = i=1 (x−ai ), f no tiene raı́ces múltiples ⇐⇒ f y f 0 no tienen un cero común ⇐⇒ (f (X), f 0 (X)) = 1.
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I.4 CRITERIOS DE IRREDUCIBILIDAD
• Propiedades de transferencia de irreducibilidad.
(1) Sean R y S dominios,
ψ:R→S
un homomorfismo y ψ 0 : R[X] → S[X] el homomorfismo inducido por ψ.
(1.1) Si
(i) ψ 0 (p(X)) ∈ S[X] es irreducible sobre S, y
(ii) gr(ψ 0 (p(X))) = gr(p(X))
entonces
p(X) no es producto de dos polinomios de grado menor que el de p(X).
(1.2) Si ψ es un isomorfismo, entonces el homomorfismo inducido ψ 0 : R[X] → S[X] es un isomorfismo, y
ψ 0 (p(X)) ∈ S[X] es irreducible sobre S si y solo si p(X) es irreducible sobre R.
(2) Sea
π : Z → Fp
la proyección natural,
si p(X) ∈ Z[X] es mónico y π(p(X)) irreducible sobre Fp , entonces p(X) es irreducible sobre Z.
(3) Sea R un dominio y a ∈ R, entonces la aplicación
ψa : R[X] → R[X] : f (X) 7→ f (X + a)
es un automorfismo del dominio R[X] y por tanto
p(X) ∈ R[X] es irreducible sobre R si y solo si p(X + a) es irreducible sobre R.
• Un polinomio f (X) = an X n + . . . a1 X + a0 ∈ Z[X] es primitivo si el mcd de sus coeficientes es 1.
• Propiedades de polinomios primitivos.
(1) El producto de polinomios primitivos es un polinomio primitivo;
(2) todo f (X) ∈ Q[X] no nulo tiene una única factorización
f (X) = c(f )f ∗ (X),
donde contenido de f [c(f )] es racional y c(f ) > 0, y f ∗ (X) ∈ Z[X] es primitivo;
(3) si f (X) ∈ Z[X], c(f ) ∈ Z y es el mcd de los coeficientes de f ;
(4) si f (X) ∈ Q[X] se factoriza como f (X) = g(X)h(X) en Q[X], entonces c(f ) = c(g)c(h) y f ∗ (X) = g ∗ (X)h∗ (X);
(5) si f (X) ∈ Z[X] no es producto de dos polinomios de Z[X] de grado menor que el de f (X), entonces f (X) es
irreducible sobre Q.
• Criterio de Eisenstein. Sea f (X) = an X n + . . . a1 X + a0 ∈ Z[X].
Si existe un primo p ∈ N tal que
(i) p|ai para todo i < n,
(ii) p 6 |an y p2 6 |a0 ,
entonces f (X) es irreducible sobre Q.
• Sea p un número primo. El p-ésimo polinomio ciclotómico es
Φp (X) = (xp − 1)/(x − 1) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1.
•Propiedades de polinomios irreducibles II.
(6) Para cada p primo, el p-ésimo polinomio ciclotómico es irreducible sobre Q;
(7) para todo a ∈ Z, a 6= ±1 y a libre de cuadrados, y para todo n ≥ 2, el polinomio
xn − a
es irreducible sobre Q;
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I.5 GRUPOS FINITOS
Sea G un grupo finito y p ∈ N primo.
Tma.G1. Un subgrupo de un grupo cı́clico es cı́clico.
Tma.G2. (i) Si a ∈ G tiene orden n, entonces am = 1 si y solo si n|m.
(ii) Si G = hai es un grupo cı́clico de orden n, entonces ak es un generador de G si y solo si mcd(k, n) = 1
Tma.G3 (Teorema de Lagrange). Si H es un subgrupo de G, entonces
|G| = [G : H]|H|.
Cor. Si H es un subgrupo normal de G, entonces |G/H| = |G|/|H|.
El centro de G es Z(G) = {g ∈ G : gh = hg para todo h ∈ G}. El centro de G es un subgrupo normal de G. Un grupo
simple es un grupo que no tiene subgrupos normales, excepto el trivial y el total. Un p-grupo (finito) es un grupo con
orden una potencia de p.
Lem.G4. Sea ψ : G → H un homomorfismo de grupos. Entonces, ψ es inyectiva si y solo si ker(ψ) = {1}.
Tma.G5 (Primer teorema de isomorfı́a). Sea ψ : G → H un homomorfismo de grupos. Entonces
G/ker(ψ) ∼
= Im(ψ).
Lem.G6 y G32. Si H y K son subgrupos de G entonces
|HK| = |H||K|/|H ∩ K|,
donde HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K}.
Si además K es normal en G entonces KH = HK y HK es el subgrupo de G generado por H ∪ K.
Cor. Si H y K son subgrupos de G con K normal en G, entonces {hK : h ∈ H} = KH/K y es subgrupo de G/K.
Tma.G7 (Segundo teorema de isomorfı́a). Sean K y H subgrupos de G con K normal en G. Entonces, K ∩ H es
un subgrupo normal de H y
H/(K ∩ H) ∼
= KH/K.
Tma.G8 (Tercer teorema de isomorfı́a). Sean K y H subgrupos normales de G con H ⊆ K, entonces K/H es un
subgrupo normal de G/H y
(G/H)/(K/H) ∼
= G/K.
Tma.G9 (Teorema de correspondencia). Sea K un subgrupo normal de G. Sea H ∗ un subgrupo de G∗ := G/K.
(i) Existe un único H subgrupo intermedio de G (K ⊆ H ⊆ G) tal que H/K = H ∗ ;
(ii) si H ∗ es normal en G∗ entonces H es normal en G;
(iii) [G∗ : H ∗ ] = [G : H];
(iv) si T ∗ es normal en H ∗ , entonces T es normal en H y H ∗ /T ∗ ∼
= H/T.
Tma.G13+ (Teoremas de Sylow). Sea G es un grupo de orden pk m, donde p es primo y no divide a m. Entonces,
(i) para cada j ≤ k, G contiene un subgrupo de orden pj (los de orden pk son los p-subgrupos de Sylow de G);
(ii) los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados dos a dos;
(iii) el número de p-subgrupos de Sylow de G, np , divide a m y np ≡ 1 (p).
Cor.G14 (Teorema de Cauchy). Si p es un primo que divide el orden de G, entonces G tiene un elemento de orden p.
Lem.G15. Si G es abeliano y no trivial entonces contiene un subgrupo de ı́ndice primo.
• Grupos simétricos.
Para cada n ≥ 3, el n-ésimo grupo simétrico es Sn = {σ : In → In : σ biyección }, el n-ésimo grupo alternado
es An = {σ ∈ Sn : σ permutación par }; el n-ésimo grupo diédrico es Dn = ha, bi, donde an = 1, b2 = 1 y aba = b.
|Sn | = n!, An E Sn |An | = n!/2. Todo elemento de Sn es producto de ciclos disjuntos y Sn = h{(ij) : i < j, i, j ∈ In }i.
Tma.G24 (Cayley). Si G tiene orden n, entonces G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico Sn .
Lem.G25. El grupo alternado An está generado por los 3-ciclos.
Lem.G27. Si γ = (i1 , . . . , ik ) es un k-ciclo en Sn y α ∈ Sn , entonces αγα−1 es también un k-ciclo (αγα−1 =
(α(i1 ), . . . , α(ik ))). Recı́procamente, si δ = (j1 , . . . , jk ) es otro k-ciclo, entonces existe β ∈ Sn tal que δ = αγα−1 .
Ası́, dos permutaciones de Sn son conjugadas en Sn si y solo si tienen la misma estructura cı́clica (como producto de
ciclos disjuntos).
Tma.G28. An es el único subgrupo de Sn que tiene ı́ndice 2.
Lem.G29. (i) Hay 20 3-ciclos en S5 ; (ii) Todos los 3-ciclos son conjugados en A5 .
Tma.G31. An es un grupo simple, para todo n ≥ 5.
Cor.G33. Los únicos subgrupos normales de S5 son {1}, A5 y S5 .
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