to get the file

1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Riemann.
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
En el caso de la integral de Riemann para funciones reales de una variable real, se puede demostrar
un teorema de cambio de variable de forma muy sencilla utilizando los teoremas fundamentales
del cálculo, en condiciones “buenas” sobre la función que se quiere integrar y sobre la función de
cambio de variable:
Supongamos que g : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y con
derivada continua, y que f : R −→ R es una función continua. Entonces el teorema de cambio
de variable asegura que
Z g(b)
Z b
f =
(f ◦ g) · g 0
g(a)
Teorema de Cambio . . .
a
En efecto, si F es una primitiva de f en [g(a), g(b)], se tiene que
Z g(b)
f = F (g(b)) − F (g(a))
g(a)
JJ
II
J
I
Por otro lado, la regla de la cadena asegura que (F ◦ g)0 = (F 0 ◦ g) · g 0 = (f ◦ g) · g 0 , es decir,
F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g) · g 0 , y se tiene también
Z b
(f ◦ g) · g 0 = F ◦ g(b) − F ◦ g(a) = F (g(b)) − F (g(a))
a
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Se pueden dar teoremas más generales de cambio de variable, con condiciones menos fuertes
sobre la función f (sólo integrable) y más fuertes en la función g (difeomorfismo de clase C 1
en (a, b)), a los que llegaremos como caso particular del teorema de cambio de variable para
funciones de varias variables que vamos a demostrar.
La situación en el caso de funciones en Rn será en términos generales la siguiente: tendremos
un conjunto medible-Jordan N , una función biyectiva y diferenciable g : N −→ Rn , y una función
integrable f definida en g(N ) = M . Y se tratará de demostrar que, en ciertas condiciones, se
verifica la igualdad
Z
Z
f=
(f ◦ g) · |Jg|
M
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
N
donde |Jg| es el valor absoluto del Jacobiano de g.
Para ello habrá que asegurar primero que g(N ) es un conjunto medible-Jordan, para que tenga
sentido la integral de f sobre M = g(N ); en segundo lugar habrá que demostrar que la función
(f ◦ g) · |Jg| es integrable; y por último habrá que comprobar la igualdad de las integrales.
Iremos resolviendo cada uno de estos problemas en varios pasos, empezando por casos sencillos
sobre las funciones f y g. El primer teorema va encaminado a establecer condiciones suficientes
sobre la función g para asegurar que transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles.
Por la mayor comodidad que supone en la utilización de las bolas como rectángulos, utilizaremos en Rn la norma infinito: si x = (x1 , . . . , xn ), la norma infinito de x es
kxk∞ = max{|x1 |, . . . , |xn |}
Con esta norma, la bola de centro x y radio r > 0 es
B(x, r) = {y ∈ Rn : max{|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |} ≤ r}
que es el rectángulo [x1 − r, x1 + r] × · · · × [xn − r, xn + r]
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
n=2
1
1
−1
Teorema de Cambio . . .
n=3
−1
B(0, 1)
JJ
II
J
I
B(0, 1)
Antes de nada, conviene tener en cuenta la siguiente observación:
Observación 1. En las definiciones de conjuntos de contenido cero y de medida cero, se pueden
sustituir los rectángulos por cubos (rectángulos con todos lados de la misma longitud).
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
En efecto, basta tener en cuenta que para todo > 0, un rectángulo R de Rn se puede
incluir en otro rectángulo R0 de modo que v(R0 ) ≤ v(R) + , y tal que las longitudes de los
lados de R0 sean números racionales. De esta forma, si R0 = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], con
bi − ai = ri ∈ Q, podemos escribir ri = ki /m poniendo común denominador, lo que quiere decir
que cada segmento [ai , bi ] se puede subdividir en ki intervalos de longitud m−1 ; por tanto R0 se
puede dividir en k1 · · · · · kn cubos de lado m−1 , y la suma de los volúmenes de estos cubos es
igual al volumen de R0 .
R
R
Teorema de Cambio . . .
1/m
1/m
JJ
II
J
I
En consecuencia para todo > 0,
rectángulo R en Rn está contenido en una familia finita
Pun
k
de cubos Q1 , . . . , Qk de modo que i=1 v(Qi ) ≤ v(R) + Utilizaremos también la siguiente definición:
Definición (Función Lipschitziana). Sea U un conjunto en Rn , y G : U −→ Rm una función.
Se dice que G es lipschitziana si existe una constante K > 0 tal que para todo par de puntos x
e y en Rn se verifica
kG(x) − G(y)k ≤ K kx − yk
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Por ejemplo, las aplicaciones lineales son funciones lipschitizianas en todo Rn , y si F es una
función diferenciable en un punto x0 de un abierto U , entonces es localmente lipschitziana, es
decir, existe una bola centrada en x0 y contenida en U donde F es lipschitziana.
Teorema 1.
1. Sea H ⊂ Rn un conjunto de medida cero (resp. de contenido cero) y sea
g : H −→ Rm (n ≤ m) una aplicación lipschitziana. Entonces g(H) tiene medida cero
(resp. contenido cero).
2. Sea A ⊂ Rn abierto, y g : A −→ Rm (n ≤ m) una función de clase C 1 en A. Sea
H ⊂ A un conjunto de medida cero (resp. contenido cero) tal que H esté contenido en
A. Entonces g(H) tiene medida cero(resp. contenido cero).
3. Sea A ⊂ Rn abierto y g : A −→ Rm (n ≤ m) una función de clase C 1 en A. Sea H ⊂ A
un conjunto de medida cero. Entonces g(H) tiene medida cero.
Observación 2. El último apartado del teorema no es cierto sustituyendo medida cero por
contenido cero.
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Para poner un ejemplo, considérese la función g : ( −π
, π ) −→ R, definida por g(x) = tan(x)
2 2
y el conjunto H = { π2 − n1 , n ∈ IN }.
, π ), H es un conjunto de contenido
g es una función de clase C 1 en el abierto A = ( −π
2 2
nulo, pues es una sucesión convergente en R, y verifica H ⊂ A, y sin embargo g(H) no puede
tener contenido nulo ya que no es un conjunto acotado (g( π2 − n1 ) = tan( π2 − n1 ) tiende a infinito
cuando n tiende a infinito).
Como consecuencia del teorema anterior veamos ahora que un difeomorfismo de clase C 1
en un conjunto abierto de Rn transforma conjuntos medibles en conjuntos medibles. De hecho
lo demostramos en condiciones un poco más generales, que incluyen la mayorı́a de los casos
prácticos.
Proposición 1. Sea A un abierto de Rn y sea g : A −→ Rn una función de clase C 1 en A. Sea
H un conjunto medible-Jordan, tal que H ⊂ A y tal que la restricción de g a H 0 , interior de H,
sea un difeomorfismo de clase C 1 . Entonces g(H) es medible-Jordan.
g(A)
A
g
H0
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
g(H 0 )
g|H 0
Demostración:
Si H es medible-Jordan, en particular es acotado y por tanto su adherencia H es compacto.
Entonces como g(H) ⊂ g(H), y g(H) es compacto por ser la imagen por una función continua
de un conjunto compacto, se tiene que g(H) es acotado.
Además, g(H) es el menor cerrado que contiene a g(H), y por tanto g(H) ⊂ g(H).
Por otro lado, la hipótesis de que g|H 0 : H 0 −→ g(H 0 ) es un difeomorfismo de clase C 1
implica, como consecuencia del teorema de la función inversa, que g(H 0 ) es abierto, y por tanto
que g(H 0 ) ⊂ g(H)0 .
Por último,
F r(g(H)) = g(H) \ g(H)0 ⊂ g(H) \ g(H 0 ) ⊂ g(H \ H 0 ) = g(F r(H))
Aplicando el teorema anterior al conjunto F r(H), que es un subconjunto cerrado de A de
contenido cero, se tiene que g(F r(H)) tiene contenido cero, y por tanto también F r(g(H)) tiene
contenido cero.
En consecuencia, g(H) es medible-Jordan.
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Otra aplicación sencilla del teorema anterior es la siguiente demostración de que todo subespacio vectorial propio de Rn (un subespacio vectorial se llama “propio” si no es el vacı́o ni el
total) es un conjunto de medida nula, que utilizaremos más adelante.
Proposición 2. Todo subespacio vectorial propio de Rn tiene medida cero.
Demostración:
Sea H un subespacio de Rn dePdimensión k < n, y sea {v1 , . . . , vk } una base de H. Cada vector
v de H será de la forma v = ki=1 λi vi con (λ1 , . . . , λk ) ∈ IRk . Definamos entonces la función
g : IRk+1 −→ Rn
k
X
(λ1 , . . . , λk , λ) −→
λi v i
i=1
Es claro que podemos poner H = g(IRk × {0}).
Ahora bien, IRk × {0} tiene medida cero en IRk+1 :
k
En efecto, (IR × {0}) ⊂
∞
[
Qi donde
i=1
k
}|
{
z
Qi = [−i, i] × · · · × [−i, i] ×[
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
y
∞
X
i=1
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
−
,
]
(2i)k · 2i+1 (2i)k · 2i+1
v(Qi ) =
∞
X
i=1
(2i)k
(2i)k
=
· 2i+1
Y, por último, g : IRk+1 −→ Rn es lipschitziana:
kg(λ1 , . . . , λk , λ) − g(µ1 , . . . , µk , µ)k∞ =
k
k
X
X
=k
(λi − µi )vi k∞ ≤
|λi − µi |kvi k ≤
i=1
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
i=1
≤ máx{|λi − µi |, 1 ≤ i ≤ k} ·
k
X
kvi k
i=1
≤ k(λ1 , . . . , λk , λ) − (µ1 , . . . , µk , µ)k∞ · L
P
siendo L = ki=1 kvi k.
Aplicado el teorema se deduce que H = g(IRk × {0}) tiene medida nula.
Teorema de Cambio . . .
Antes de seguir adelante con la demostración de una primera versión de cambio de variable,
para aplicaciones lineales, vamos a destacar algunas observaciones técnicas que se repiten en las
demostraciones siguientes.
JJ
II
J
I
Observación 3. Si Q es una familia finita de conjuntos medibles en Rn que no se solapan (es
decir, Mi0 ∩ Mj0 = ∅, para todo i 6= j), entonces
[
X
v(
M) =
v(M )
M ∈Q
M ∈Q
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
En efecto, podemos poner
!
v(
[
M) = v (
M ∈Q
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
[
0
M )∪(
M ∈Q
[
F r(M ))
M ∈Q
S
S
Aquı́, ( M ∈Q M 0 ) y ( M ∈Q F r(M )) son conjuntos disjuntos. Además, S
para cada M ∈ Q,
la frontera F r(M ) de M tiene contenido cero, por lo que el conjunto ( M ∈Q F r(M )) tiene
contenido cero. Entonces
v(
[
M ∈Q
M ) = v(
[
M ∈Q
M) =
X
M ∈Q
v(M 0 ) =
X
v(M )
M ∈Q
Observación 4. Sea Q una familia de conjuntos
medibles en Rn que no se solapan, y sea U un
S
abierto en Rn tal que el conjunto M = ( N ∈Q N ) verifique M ⊂ U . Sea g una función de clase
C 1 de U en Rn , tal que la restricción a M 0 sea un difeomorfismo de clase C 1 . Entonces
X
v(g(M )) =
v(g(N ))
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
N ∈Q
g(U )
U
g
g(N )
N
Teorema de Cambio . . .
M
JJ
II
J
I
g(M )
En efecto, por un lado
!
v(g(M )) = v g(
[
N)
!
= v g(
N ∈Q
[
[
N 0 ) ∪ g(
N ∈Q
F r(N ))
=
N ∈Q
!
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
=v
[
g(N 0 ) ∪
g(F r(N ))
[
N ∈Q
=
X
≤ v(
[
g(N 0 )) + 0
N ∈Q
N ∈Q
0
v(g(N ))
N ∈Q
S
puesto que, por el teorema
S 1, N ∈Q0 g(F r(N )) tiene contenido cero.
Por otro lado, como N ∈Q g(N ) es un subconjunto de g(M ), es claro que
Teorema de Cambio . . .
v(
[
g(N 0 )) ≤ v(g(M ))
N ∈Q
JJ
II
J
I
Por tanto,
v(g(M )) =
X
v(g(N 0 )) =
N ∈Q
=
X
N ∈Q
X
N ∈Q
v(g(N ))
v(g(N 0 )) + v(g(F r(N )))
como querı́amos demostrar.
Por último nos interesa destacar una propiedad de descomposición de los isomorfismos lineales
de Rn , (aplicaciones lineales biyectivas de Rn en o Rn ):
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Observación 5. Todo isomorfismo lineal L : Rn −→ Rn se puede descomponer como composición de aplicaciones lineales “elementales” de los tres tipos siguientes:
Si x = (x1 , · · · , xn ) y Lx = ((Lx)1 , · · · , (Lx)n )
• Tipo A: Existe λ ∈ R y existe i, 1 ≤ i ≤ n tal que (Lx)i = λxi , y (Lx)j = xj para todo
j 6= i.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
• Tipo B: Existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n, tales que (Lx)i = xk , (Lx)k = xi , y (Lx)j = xj , para
todo j 6= i, k.
• Tipo C: Existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n tales que (Lx)k = xi + xk y (Lx)j = xj para todo
j 6= k.
Este resultado, que no vamos a demostrar, es el fundamento del método de Gauss para la
inversión de matrices.
Con estas observaciones, podemos demostrar el siguiente teorema:
Teorema 2. Toda aplicación lineal L : Rn −→ Rn transforma conjuntos medibles-Jordan en
conjuntos medibles-Jordan. Además, para cada conjunto medible-Jordan M en Rn se tiene
v(L(M )) = | det L| · v(M )
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Demostración:
Toda aplicación lineal en Rn es una función de clase C 1 en todo el espacio Rn . Distinguiremos
dos casos: cuando L es un isomorfismo y cuando no lo es.
Caso primero: Supongamos que L no es un isomorfismo. Entonces la imagen L(Rn ) es un
subespacio vectorial propio de Rn , y por tanto, por la proposición 2, L(Rn ) tiene medida cero.
Además todo subespacio vectorial es un cerrado, y por otro lado, si M es medible-Jordan en
particular es acotado y L(M ) es también acotado.
Ası́ que tenemos L(M ) ⊂ L(M ) ⊂ L(Rn ), donde L(M ) es un subconjunto compacto de un
conjunto de medida nula. En consecuencia L(M ) tiene contenido nulo, y también L(M ) tiene
contenido nulo.
En particular L(M ) es medible, y v(L(M )) = 0. Como por otro lado el determinante det L
es cero, por no ser L un isomorfismo, también se verifica que | det L| · v(M ) = 0, y se tiene el
resultado.
Caso segundo: Supongamos ahora que L es un isomorfismo en Rn .
En primer lugar, todo isomorfismo lineal es un difeomorfismo de clase C 1 en todo Rn , por lo
que, aplicando la proposición 1, L transforma conjuntos medibles-Jordan en conjuntos mediblesJordan.
En segundo lugar, demostraremos que basta probar el teorema en el caso en que L es una
aplicación lineal elemental como las definidas en la observación anterior. En efecto, si L es un
isomorfismo, existe una descomposición de L de la forma L = L1 ◦ L2 ◦ · · · ◦ Lk , donde Li
son aplicaciones elementales, 1 ≤ i ≤ k. Si suponemos que el resultado es cierto para estas
aplicaciones elementales, y M es un conjunto medible en Rn , se tiene
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
v(L(M )) = v(L1 (L2 ◦ · · · ◦ Lk (M ))) =
= | det L1 |v(L2 ◦ · · · ◦ Lk (M )) = · · · = | det L1 | . . . | det Lk | · v(M ) =
= | det L|v(M )
y por tanto el resultado serı́a cierto también para L.
Y en tercer lugar vamos a ver que dada una aplicación elemental L, basta demostrar el
resultado cuando el conjunto medible M es un rectángulo.
En efecto, supongamos que el resultado es cierto para rectángulos, y sea M un conjunto
medible-Jordan cualquiera. Sea A un abierto en Rn tal que M ⊂ A.
Dado > 0, sea P una partición de A tal que
S(χM , P ) − S(χM , P ) < S
S
Si llamamos E1 = {R ∈ P, R ∩ M 6= ∅} y E2 = {R0 , R ∈ P, R ⊂ M }, se tiene:
a) E1 y E2 son medibles-Jordan, por ser unión finita de conjuntos medibles. Además E2 ⊂
M ⊂ E1 , y por tanto v(E2 ) ≤ v(M ) ≤ v(E1 ).
b)
X
X
v(R) = v(E1 )
S(χM , P ) =
MR (χM )v(R) =
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
R∈P
R∈P,R∩M 6=∅
puesto que si R ∩ M = ∅ la función caracterı́stica de M vale cero en cada punto de R, y
MR (χM ) = 0, y por otro lado, si R ∩ M 6= ∅ entonces hay al menos un punto de R en el que
χM vale uno, y MR (χM ) = 1.
Y análogamente
X
X
S(χM , P ) =
mR (χM )v(R) =
v(R) =
R∈P
=
X
R∈P,R⊂M
v(R0 ) = v(E2 )
R∈P,R⊂M
JJ
II
J
I
S
S
c) L(E1 )) = L( {R ∈ P, R ∩ M 6= ∅}) = {L(R), R ∈ P, R ∩ M 6= ∅} y por tanto, si
el resultado es cierto para rectángulos,
X
v(L(E1 )) =
v(L(R)) = | det L|v(E1 )
R∈P, R∩M 6=∅
S
Y análogamente, L(E2 ) = {L(R0 ), R ∈ P, R ⊂ M }, y
X
v(L(E2 )) =
v(L(R0 )) = | det L|v(E2 )
R∈P, R⊂M
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
d) Por otro lado, de la desigualdad E2 ⊂ M ⊂ E1 se deduce que también L(E2 ) ⊂ L(M ) ⊂
L(E1 ), y por tanto
v(L(E2 )) ≤ v(L(M )) ≤ v(L(E1 ))
Sustituyendo v(L(E2 )) y v(L(E1 )) por los valores obtenidos en (c), se tiene
| det L|v(E2 ) ≤ v(L(M )) ≤ | det L|v(E1 )
I
Teorema de Cambio . . .
Por último, si en la desigualdad obtenida en (a) multiplicamos por | det L|, se tiene
| det L|v(E2 ) ≤ | det L|v(M ) ≤ | det L|v(E1 )
JJ
II
J
I
II
Restando I y II, se obtiene
| det L|(v(E2 ) − v(E1 )) ≤ v(L(M )) − | det L|v(M ) ≤
≤ | det L|(v(E1 ) − v(E2 ))
de donde
|v(L(M )) − | det L|v(M )| ≤ | det L|(v(E1 ) − v(E2 )) =
= | det L|(S(χM , P ) − S(χM , P )) ≤ | det L|
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Como esto es cierto para todo > 0, tiene que ser
v(L(M )) = | det L|v(M )
Luego, efectivamente, si el resultado se demuestra para rectángulos, entonces es cierto para
cualquier conjunto medible-Jordan.
Sea entonces R un rectángulo, R = [a1 , b1 ] × . . . , ×[an , bn ], y L una aplicación lineal elemental.
Primer caso: Si L es de tipo A, es decir, existe i, 1 ≤ i ≤ n tal que (Lx)i = λxi para algún
número real λ, y (Lx)j = xj para todo j 6= i, la matriz de la aplicación lineal es de la forma
i

Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.





i 





1
..
0
.










1
λ
1
0
..
.
1
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
donde son cero todos los términos fuera de la diagonal, y unos todos los términos de la diagonal
excepto el de lugar ii que vale λ. En particular, | det L| = |λ|.
Por otro lado, la imagen del rectángulo R es un rectángulo
L(R) = {L(x1 , . . . , xi , . . . , xn ), (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ R} =
= {(x1 , . . . , λxi , . . . , xn ), (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ R} =
= [a1 , b1 ] × · · · × [λai , λbi ] × · · · × [an , bn ]
que tiene volumen v(L(R)) = |λ|v(R) = | det L|v(R), y se tiene el resultado.
Segundo caso: Si L es de tipo B, es decir, existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n tales que (Lx)i =
xk , (Lx)k = xi y para todo j 6= i, k (Lx)j = xj , la matriz de L es de la forma
i

Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
i
k











k

1
..
0
.
0
1
..
1
0











.
0
..
.
1
Teorema de Cambio . . .
donde son unos todos los elementos de la diagonal excepto los de los lugares ii y kk, que pasan
a las posiciones ik y ki, y son cero todos lor términos que no están indicados explı́citamente.
Es claro entonces que | det L| = 1. Por otro lado, la imagen del rectángulo R es un rectángulo
L(R) = {L(x1 , . . . , xi , . . . , xk , . . . , xn ), (x1 , . . . , xi , . . . , xk , . . . , xn ) ∈ R} =
JJ
II
J
I
= {(x1 , .., xi−1 , xk , xi+1 , .., xk−1 , xi , xk+1 , .., xn ), (x1 , .., xi , .., xk , .., xn ) ∈ R} =
= [a1 , b1 ] × · · · × [ai−1 , bi−1 ] × [ak , bk ] × [ai+1 , bi+1 ] × . . .
· · · × [ak−1 , bk−1 ] × [ai , bi ] × [ak+1 , bk+1 ] × · · · × [an , bn ]
que tiene el mismo volumen que R. Por tanto también en este caso
v(L(R)) = v(R) = | det L|v(R)
Tercer caso: Si L es de tipo C, es decir, existen i, k, 1 ≤ i, k ≤ n tales que (Lx)k = xi + xk ,
y para todo j 6= k (Lx)j = xj , la matriz de L es de la forma
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
i

i
Teorema de Cambio . . .
k












1
..
0
.











1
..
1
0
.
1
..
.
1
JJ
II
J
I
donde son unos todos los términos de la diagonal y el de posición ki, y son cero todos los
términos que no aparecen indicados explı́citamente. En particular el determinante de L verifica
| det L| = 1.
Por otro lado, la imagen de R está contenida en el rectángulo
L(R) = {L(x1 , . . . , xk , . . . , xn ), (x1 , . . . , xk , . . . , xn ) ∈ R} =
= {(x1 , ..., xk−1 , xi + xk , xk+1 , ..., xn ), (x1 , ..., xk−1 , xk , xk+1 , ..., xn ) ∈ R} ⊂
⊂ [a1 , b1 ] × ... × [ak−1 , bk−1 ] × [ai + ak , bi + bk ] × [ak+1 , bk+1 ] × ... × [an , bn ]
= R0
Llamemos R00 al rectángulo
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
R00 = [a1 , b1 ] × · · · × [ak−1 , bk−1 ] × [ak+1 , bk+1 ] × · · · × [an , bn ]
Aplicando el Teorema de Fubini para calcular v(L(R)), se tiene
Z
Teorema de Cambio . . .
(*)
v(L(R)) =
χL(R) =
R0
Z Z
=
χL(R) (y1 , .., yk , .., yn )dyk d(y1 , .., yk−1 , yk+1 , .., yn )
R00
JJ
II
J
I
[ai +ak ,bi +bk ]
Ahora bien, fijo (y1 , . . . , yk−1 , yk+1 , . . . , yn ) en R00 , la función χR) vale uno en (y1 , . . . , yk−1 , yk , yk+
si y sólo si este punto está en L(R), es decir, si y sólo si existe un punto (x1 , . . . , xi , . . . , xk , . . . , xn ) ∈
R tal que
y1 = x1 ; . . . ; yi = xi ; . . .
yk = xi + x k = yi + x k
. . . ; yn = xn
lo que equivale a que yk ∈ [yi + ak , yi + bk ]. Sustituyendo estos lı́mites en la integral (*), se tiene
Z Z yi +bk
1dyk d(y1 , . . . , yk−1 , yk+1 , . . . , yn ) =
v(L(R)) =
R00
yi +ak
Z
(bk − ak )d(y1 , . . . , yk−1 , yk+1 , . . . , yn ) =
=
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
R00
= (bk − ak )v(R00 ) = v(R)
lo que prueba que también en este último caso v(L(R)) = | det L|v(R), y termina la demostración
del teorema.
Este teorema que acabamos de demostrar es el primer teorema de cambio de variable. Si
pensamos en la aplicación lineal L como una función de cambio de variable, L es una función
de clase C 1 en todo Rn , tal que para cada x ∈ Rn la diferencial de L en x es la propia función
L (dL(x) = L). El teorema asegura que L transforma conjuntos medibles-Jordan en conjuntos
medibles-Jordan, y, expresando los volúmenes mediante la integral de la función caracterı́stica,
que
Z
Z
1 = v(L(M )) = | det L|v(M ) = | det L|
1=
L(M )
M
Z
Z
=
1 · | det L| =
1 ◦ L · |JL|
M
M
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
donde JL es el Jacobiano de L, que es la fórmula de cambio de variable para la función integrable
f ≡ 1 y la función de cambio g = L.
El siguiente paso en la demostración del teorema de cambio de variable general es el caso en
que f es la función constantemente uno, y g es una función de clase C 1 . Para este resultado
utilizaremos un lema de tipo técnico sobre el comportamiento de una función en relación con
su diferencial, que suele utilizarse también en las demostraciones de los teoremas de la función
inversa y de la función implı́cita del cálculo diferencial.
Lema 1. Sean U un abierto de Rn , y g : U −→ Rn una función de clase C 1 en U . Sea a ∈ U
tal que dg(a) = I, la identidad en Rn , y sea r > 0 tal que la bola cerrada de centro a y radio r,
B(a, r), esté contenida en U . Supongamos que existe , 0 < < 1, tal que kdg(x) − dg(z)k ≤ para todos x, z ∈ B(a, r). Entonces
B(g(a), (1 − )r) ⊂ g(B(a, r)) ⊂ B(g(a), (1 + )r)
(1 + )r
g
JJ
J
II
I
a
B(a, r)
r
(1 − )r
g(a)
g(B(a, r))
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Demostración:
Empecemos con el primer contenido, y veamos en primer lugar que basta demostrarlo en el caso
a = g(a) = 0.
En efecto, si definimos h(x) = g(x+a)−b, donde b = g(a), definida en el abierto V = U −a,
h es una función de clase C 1 en V , con h(0) = 0 y dh(0) = dg(a) = I. Supongamos que h
cumple el teorema; entonces, como g(y) = h(y − a) + b para cada y ∈ U , si
z ∈ B(g(a), (1 − )r) = B(b, (1 − )r) = b + B(0, (1 − )r)
se tiene que z = b + w con w ∈ B(0, (1 − )r). Por hipótesis, B(0, (1 − )r) ⊂ h(B(0, r)), y por
tanto, existe x ∈ B(0, r) tal que w = h(x); y tomando y = x + a se tiene y ∈ B(a, r) y además
z = b + h(y − a) = g(y)
Es decir, B(g(a), (1 − )r) ⊂ g(B(a, r))
Ası́ pues, supongamos que g es una función de clase C 1 en un abierto U de Rn que contiene a 0,
con g(0) = 0 y dg(0) = I, y sean r > 0, 0 < < 1 tales que B(0, r) ⊂ U , y kdg(x)−dg(z)k ≤ para todos x, z ∈ B(0, r). Hay que probar que para todo y ∈ B(0, (1 − )r) existe x ∈ B(0, r)
tal que y = g(x).
Dado y ∈ B(0, (1 − )r), definimos la función
gy (x) = x − g(x) + y
en B(0, r). La función gy transforma B(0, r) en sı́ misma, pues para todo x ∈ B(0, r)
kgy (x)k = kx − g(x) + yk ≤ kx − g(x)k + kyk =
= kg(x) − g(0) + dg(0)(x)k + kyk ≤
≤ kxk · sup kdg(z) − dg(0)k + kyk ≤
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
z∈B(0,r)
≤ r · + (1 − ) · r = r
aplicando el teorema del valor medio a la función h(x) = g(x) − dg(0)(x).
El conjunto B(0, r) es un espacio métrico completo, al ser un subconjunto cerrado de Rn ,
que es completo. Y además gy es contractiva:
kgy (x) − gy (z)k = kx − z + g(x) − g(z)k =
= kdg(0)(x − z) − g(x) − g(z)k ≤
≤ kx − zk · sup kdg(0) − dg(u)k ≤
u∈B(0,r)
≤ kx − zk
aplicando el teorema el valor medio a la función h(x) = dg(0)(x) − g(x). Como 0 < < 1 por
hipótesis, efectivamente la función gy es contractiva, y podemos aplicar el teorema del punto fijo
para asegurar que existe un único punto x ∈ B(0, r) tal que
x = gy (x) = x − g(x) + y
Para este punto se tiene entonces g(x) = y, como querı́amos demostrar.
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Para el segundo contenido, dado y ∈ g(B(a, r)), existe x ∈ B(a, r) tal que y = g(x), y
entonces
kg(x) − g(a)k ≤ sup kdg(z)k · kx − ak
z∈B(a,r)
aplicando el teorema del valor medio a la función g; por hipótesis, para cada z ∈ B(a, r)
Teorema de Cambio . . .
kdg(z)k ≤ kdg(z) − dg(a)k + kdg(a)k ≤ 1 + y por tanto y ∈ B(g(a), (1 + )r), lo que termina la demostración del teorema.
JJ
II
J
I
Proposición 3. Sea R un rectángulo en Rn , y U un abierto tal que R ⊂ U . Sea g una función
de U en Rn , que sea un difeomorfismo de clase C 1 en U . Entonces
Z
v(g(R)) =
|Jg|
R
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Demostración:
Si g es una aplicación lineal, el resultado es consecuencia inmediata del teorema 2, como ya
observamos después de su demostración.
El caso general se demuestra aproximando g por su diferencial. Supondremos primero que R
es un cubo en Rn , es decir, que tiene todos sus lados de la misma longitud. Entonces para cada
N ∈ IN , se puede dividir R en una partición de N n cubos de lado N −1 , y considerando en Rn
la norma infinito, cada cubo se puede poner
P a la vez como una bola para la norma. Si llamamos
S a estos cubos, se tiene que v(g(R)) = S v(g(S)), ası́ que basta demostrar el resultado para
cada cubo S, y se puede suponer que el radio de S es todo lo pequeño que sea necesario.
Como g es un difeomorfismo de clase C 1 , la función x −→ kdg(x)−1 k es continua en U , y
alcanzará en R su supremo por ser R compacto. Existirá entonces una constante C > 0 tal que
kdg(x)−1 k ≤ C para todo x ∈ R.
Por otro lado, dado , 0 < < 1, como la función x −→ kdg(x)k es uniformemente continua
en R, podemos tomar N suficientemente grande para que se verifique kg(x) − g(z)k ≤ /C para
todo x, z ∈ S.
Sea a el centro de S; se tiene
kdg(a)−1 ◦ dg(x) − dg(a)−1 ◦ dg(z)k ≤ kdg(a)−1 k ·
≤
C
Por el lema anterior, dg(a)−1 ◦ g(S) contiene una bola de radio (1 − ) por el radio de S,
y está contenido en una bola de radio (1 + ) por el radio de S; como estas bolas son a su vez
cubos, las llamaremos Q y Q0 respectivamente, de modo que
Q ⊂ dg(a)−1 ◦ g(S) ⊂ Q0
y aplicando a cada conjunto la función dg(a)
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
dg(a)(Q) ⊂ g(S) ⊂ dg(a)(Q0 )
Como dg(a) es una aplicación lineal y dg(a)(Q) es un conjunto medible-Jordan, aplicando el
lema 1, si s es el radio de S, el volumen de dg(a)(Q) verificará
v(dg(a)(Q)) = |Jg(a)|v(Q) = |Jg(a) (1 − )n sn =
= |Jg(a)| · v(S) − · C1 · v(S)
Teorema de Cambio . . .
para una cierta constante C1
n
((1 − ) = 1 +
n
X
(nk )(−1)n−k n−k =
k=1
JJ
II
J
I
n
X
= 1 − (
(nk )(−1)n−k−1 n−k−1 ) = 1 − · C1
k=1
Análogamente dg(a)(Q0 ) es un conjunto medible de volumen
v(dg(a)(Q0 )) = |Jg(a)|v(Q0 ) = |Jg(a)| · v(S) + · C2 · v(S)
para una cierta constante C2 .
En consecuencia
|Jg(a)|v(S) − C1 ≤ v(g(S)) ≤ |Jg(a)|v(S) + C2 v(S)
Tomando ı́nfimos y supremos cuando a recorre S,
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
mS (|Jg|) · v(S) − C1 v(S) ≤ v(g(S)) ≤ MS (|Jg|) · v(S) + C2 v(S)
Y sumando en S,
S(|Jg|, P ) − C1 v(R) ≤ v(g(R)) ≤ S(|Jg|, P ) + C2 v(R)
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Como esto vale para todo , 0 < < 1, y la función |Jg| es integrable al ser una función
continua, se tiene que cumplir
Z
Z
|Jg| ≤ v(g(R)) ≤
|Jg|
R
R
lo que prueba el resultado.
En la demostración de la proposición habı́amos supuesto que R era un cubo. En el caso
general en que R es un rectángulo, definimos δ = d(R, U c ) = inf{kx − yk, x ∈ R, y ∈ U c },
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
la distancia de R al complementario de U , que es un número estrictamente positivo al ser R un
compacto contenido en el abierto U (la demostración se deja como ejercicio), y consideramos el
conjunto K = R + B(0, δ/2), que es un compacto contenido en U y que contiene a R. Dado
> 0 podemos escoger un rectángulo R1 tal que R ⊂ R1 ⊂ K, v(R1S
) ≤ v(R) + , y de
1
1
forma que R se puede descomponer como unión finita de cubos, R = ki=1 Qi (como en la
observación 1).
U
R
U
R1
K
R
R2
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Entonces
1
v(g(R)) ≤ v(g(R )) =
k
X
v(g(Qi )) =
i=1
Z
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
n Z
X
i=1
Z
|Jg| =
Qi
|Jg| =
R1
Z
|Jg| +
=
|Jg| ≤
R1 \R
R
Z
≤
1
Z
|Jg| + C · v(R \ R) ≤
R
|Jg| + C · R
siendo C una cota de |Jg| en K, que existe por ser, por hipótesis, |Jg| una función continua en
U , y K ⊂ U compacto.
Y análogamente, podemos escoger un rectángulo R2 contenido en R, tal queS
v(R) ≤ v(R2 )+
, y de modo que R2 se pueda descomponer como unión finita de cubos R2 = m
j=1 Qj (con un
proceso análogo al definido en la observación 1). De este modo
Z
Z
Z
|Jg| ≤
|Jg| +
|Jg| ≤ v(g(R2 )) + C · v(R \ R2 ) ≤
R
R2
R\R2
≤ v(g(R)) ≤ v(R) + C · Se deduce entonces que para todo > 0
Z
−C · ≤ v(R) −
|Jg| ≤ C · R
y por tanto que v(R) =
R
R
|Jg|
Como consecuencia se obtiene con relativa facilidad el siguiente resultado, que es la tercera
versión del teorema de cambio de variable:
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Proposición 4. Sea R un rectángulo en Rn , y U un abierto tal que R ⊂ U . Sea g : U −→ Rn
un difeomorfismo de clase C 1 de U en g(U ). Y sea f una función integrable en g(R). Entonces
(f ◦ g) es integrable en R y
Z
Z
f = (f ◦ g)|Jg|
g(R)
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
R
Demostración:
En primer lugar, veamos que la función (f ◦ g) es integrable: si notamos por D(h) el conjunto
de puntos de discontinuidad de una función h, en general, tenemos
D(f ◦ g) =
=
=
=
{x ∈ U, f ◦ g no es continua en x} =
{x ∈ U, f no es continua en g(x)} =
g −1 ({y ∈ g(U ), f no es continua en y}) =
g −1 (D(f ))
Como g −1 : g(U ) −→ U es una función de clase C 1 , por la hipótesis sobre g, transforma
conjuntos de medida cero en conjuntos de medida cero, y en particular el conjunto D(f ), que tiene
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
medida cero por ser f integrable, en el conjunto de puntos de discontinuidad de la composición
f ◦ g que tendrá medida cero.
En consecuencia, también es integrable la función (f ◦ g) · |Jg| por ser producto de funciones
integrables.
En segundo lugar, dada una partición cualquiera P de R, para cada rectángulo S definido por
P y cada y ∈ g(S) se tiene
mS (f ◦ g) = mg(S) (f ) ≤ f (y) ≤ Mg(S) (f ) = MS (f ◦ g)
(con la interpretación habitual de mA (f ) = inf{f (t), t ∈ A}, y MA (f ) = sup{f (t), t ∈ A})
Z
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Z
mS (f ◦ g) · |Jg| =
mg(S) (f ) · |Jg| =
S
Z
Z
= mg(S) (f ) |Jg| = mg(S) (f )v(g(S)) =
mg(S) (f ) ≤
S
g(S)
Z
≤
f≤
g(S)
Z
Z
≤
Mg(S) (f ) = Mg(S) (f )v(g(S)) = Mg(S) (f ) |Jg| =
g(S)
S
Z
Z
=
Mg(S) (f ) · |Jg| =
MS (f ◦ g) · |Jg|
S
S
S
Y también se tiene, trivialmente
Z
Z
Z
mS (f ◦ g) · |Jg| ≤ (f ◦ g)|Jg| ≤
MS (f ◦ g) · |Jg|
S
S
S
Restando las dos desigualdades, y sumando en S,
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Z
Z
X
f − (f ◦ g)|Jg| ≤
(MS (f ◦ g) − mS (f ◦ g)) |Jg| ≤
g(R)
R
S
S
X
(MS (f ◦ g) − mS (f ◦ g)) v(S) =
≤ C·
Z
S
= C · S((f ◦ g), P ) − S((f ◦ g), P )
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
siendo C una cota de |Jg| en R. Como hemos probado ya que (f ◦g) es integrable, esta diferencia
puede hacerse tan pequeña como se quiera, lo que implica que
Z
Z
f = (f ◦ g)|Jg|
g(R)
R
como querı́amos demostrar.
Por último, vamos a demostrar la versión definitiva del teorema de cambio de variable para
la integral de Riemann de funciones de varias variables:
Teorema 3 (Cambio de Variable en Rn).
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
Sea U un abierto de Rn, y sea g : U −→ Rn una función de
clase C 1 en U . Sea M un conjunto medible-Jordan tal que M ⊂ U ,
y supongamos que la restricción de g al interior de M , g|M 0 es un
difeomorfismo de clase C 1. Sea f una función integrable en g(M ).
Entonces (f ◦ g) es integrable en M , y
Z
Z
f=
(f ◦ g)|Jg|
g(M )
JJ
II
J
I
M
Demostración:
I (Saltar al final de la demostración)
Podemos suponer para la demostración que M es cerrado: en efecto, como M es acotado,
entonces M es compacto y por tanto g(M ) = g(M ); se tiene entonces
Z
Z
Z
f=
f=
f=
(1)
g(M )
g(M )
g(M )
y si el resultado es cierto para conjuntos medibles cerrados
Z
Z
(1)
=
(f ◦ g)|Jg|
(f ◦ g)|Jg| =
M
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
M
Sea entonces M un conjunto medible-Jordan, cerrado (y por tanto compacto), tal que M ⊂
U . Veamos en primer lugar que la función (f ◦ g) es integrable en M , estudiando el conjunto de
puntos de discontinuidad.
Sea δ = d(M, U c ), la distancia de M al complementario de U , que es un número estrictamente
positivo al ser M compacto, U c cerrado y M ⊂ U ; consideramos el conjunto K = M +B(0, δ/2),
que es un compacto que contiene a M en su interior, y que está contenido en U .
Como por hipótesis F r(M ) tiene contenido S
cero, dado 0P< < (δ/2)n , existe una familia
finita de cubos S1 , . . . , Sk tales que F r(M ) ⊂ ki=1 Si0 , y ki=1 v(Si ) ≤ ; podemos suponer
además que para todo i, Si ∩ F r(M ) 6= ∅ (si no eliminarı́amos ese rectángulo), con lo que
necesariamente Si ∩ M 6= ∅. En particular el volumen de cada Si es menor que , y por tanto, si
1
li es la longitud del lado de Si , li ≤ n ≤ δ/2, y por tanto cada Si está contenido en K.
Consideramos A un cubo en Rn que contenga a K, y definimos una partición P de A
prolongando los lados de los cubos Si , 1 ≤ i ≤ k.
A
A
K
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Si
M
K
Si
M
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Sea Q1 la familia de los rectángulos definidos por P que no cortan al interior de ningún Si ,
pero están contenidos en el interior de M , y sea Q2 la familia de los rectángulos definidos por P
que están contenidos en algún Si , 1 ≤ i ≤ k.
A
K
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
M
Si
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
Q1
Q2
Obsérvese que si R es un rectángulo de los definidos por P que corta a M , necesariamente
está en algunas de las dos familias:
En efecto, si R ∈ P, y R 6∈ Q2 , entonces R ∩ Si0 = ∅ para todo ,i, 1 ≤ i ≤ k, y por tanto
R ∩ F r(M ) = ∅. Se tiene entonces que
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
R ∩ M = R ∩ (M 0 ∪ F r(M )) =
= (R ∩ M 0 ) ∪ (R ∩ F r(M )) = (R ∩ M 0 )
de modo que si R ∩ M es no vacı́o, serı́a a la vez abierto y cerrado en R como subespacio métrico
de Rn , y como R es conexo, tiene que ser el vacı́o o el total R; en el primer caso R no corta a
M , y en el segundo R estarı́a contenido en M 0 , y por tanto estarı́a en Q1 .
Llamemos
[
[
M1 = {R ∈ Q1 } = {R, R ∈ P, R ⊂ M 0 }
M2 = M \ M1 ⊂
[
{R ∈ Q2 } =
k
[
Si
i=1
JJ
II
J
I
y sean D(f ◦ g) el conjunto de puntos de discontinuidad de f ◦ g, y D(f ) el conjunto de puntos
de discontinuidad de f . Se tiene
D(f ◦ g) = (D(f ◦ g) ∩ M1 ) ∪ (D(f ◦ g) ∩ M2 )
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
D(f ◦ g) ∩ M1 =
=
=
=
{x ∈ M1 , f ◦ g no es continua en x} =
{x ∈ M1 , f no es continua en g(x)} =
(g|M1 )−1 ({y ∈ g(M1 ), f no es continua en y}) =
(g|M1 )−1 (D(f ) ∩ g(M1 ))
D(f ) tiene medida cero, ya que por hipótesis f es integrable en g(M ), y (g|M1 )−1 es una
función de clase C 1 en g(M 0 ), que es un abierto que contiene a g(M1 ), por la hipótesis de que g
es un difeomorfismo de clase C 1 en M 0 . Entonces (g|M1 )−1 (D(f ) ∩ g(M1 )) tiene medida cero,
y existirá una familia numerable de rectángulos {Ri } tal que
−1
Teorema de Cambio . . .
(g|M1 ) (D(f ) ∩ g(M1 )) ⊂
∞
[
Ri
i=1
y
JJ
II
∞
X
J
I
i=1
v(Ri ) ≤ Por otro lado,
D(f ◦ g) ∩ M2 = {x ∈ M \ M1 , f no es continua en g(x)}
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I
S
es un subconjunto de M2 , que está contenido en ki=1 Si , unión finita de cubos, cuya suma de
volúmenes es menor que .
En consecuencia, D(f ◦ g) está contenido en una unión numerable de rectángulos, con suma
de volúmenes menor o igual que 2.
Como esto se puede hacer para cualquier > 0, se tiene que D(f ◦ g) tiene medida cero, y
que f ◦ g es integrable.
Como |Jg| es una función continua en U , en particular es continua y acotada en el compacto
M , y por tanto es integrable en M ; luego la función (f ◦ g) · |Jg| es también integrable en M .
Para demostrar el teorema queda por probar la igualdad de las integrales.
Sea > 0, y consideremos A, P , Q1 y Q2 , M1 y M2 como antes.
Como MS1 , M2 , g(M1 ) y g(M2 ) son medibles-Jordan, M = M1 ∪M2 , g(M ) = g(M1 )∪g(M2 ),
y g(M1 ) = R∈Q1 g(R), se tiene
Z
Z
Z
f =
f+
g(M )
g(M1 )
X Z
=
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
R∈Q1
R∈Q1
Z
f+
g(R)
X Z
=
f=
g(M )\g(M1 )
f=
g(M )\g(M1 )
Z
(f ◦ g)|Jg| +
R
Z
Z
(f ◦ g)|Jg| +
=
M1
Teorema de Cambio . . .
de donde
Z
Z
f−
g(M )
JJ
II
J
I
f=
g(M )\g(M1 )
f
g(M )\g(M1 )
Z
(f ◦ g)|Jg| =
M1
f
g(M )\g(M1 )
y
Z
Z
f−
(f ◦ g)|Jg| = f ≤
g(M )
M1
g(M )\g(M1 )
Z
Z
≤
|f | ≤
|f | ≤
(*)
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Z
g(M )\g(M1 )
[
≤ C1 · v(g(M2 )) = C1 · v(g( {Si ∩ M, 1 ≤ i ≤ k})) =
= C1 ·
k
X
v(g(Si ∩ M )) ≤ C1 ·
i=1
Teorema de Cambio . . .
g(M2 )
k
X
v(g(Si ))
i=1
teniendo en cuenta que g(M )\g(M1 ) ⊂ g(M2 ) y |f | es una función positiva, y utilizando después
la observación 4; la constante C1 es una cota de |f | en el compacto K que contiene a M .
Aplicando el teorema del valor medio a la función g en cada rectángulo Si , si a es el centro
de R, y C2 es una cota de kdgk en K, se tiene que para cada x ∈ Si existe z ∈ Si tal que
kg(x) − g(a)k ≤ kdg(z)k · kx − ak ≤ C2 · kx − ak
JJ
II
J
I
es decir, g(Si ) está contenido en un cubo de centro g(a) y lado C2 veces el lado de Si ; de este
modo, v(g(Si )) ≤ C2n · v(Si ), para cada i, 1 ≤ i ≤ k. Por tanto
Z
k
X
|f | ≤ C
v(Si ) ≤ C
(**)
g(M2 )
i=1
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
para una cierta constante C = C1 · C2n .
Por otro lado,
Z
Z
Z
=
=
(f ◦ g)|Jg| −
(f
◦
g)|Jg|
(f
◦
g)|Jg|
M \M1
M1
M
Z
Z
= (f ◦ g)|Jg| ≤
|f ◦ g| · |Jg| ≤
M2
M2
≤ C1 · C3 v(M2 ) ≤ C 0 · (***)
donde C3 es una cota de |Jg| en K, y C 0 = C1 · C3 .
Como consecuencia de las desigualdades (*), (**), y (***),
Z
Z
− · C ≤
f−
(f ◦ g)|Jg| ≤ · C
g(M )
M1
y
0
Z
− · C ≤
JJ
II
J
I
Z
(f ◦ g)|Jg| −
M1
(f ◦ g)|Jg| ≤ · C 0
M
y sumando las dos desigualdades
0
Z
−(C + C ) ≤
Z
f−
g(M )
M
(f ◦ g)|Jg| ≤ (C + C 0 )
Como esto es cierto para cualquier > 0, se tiene la igualdad de las integrales y el fin de la
demostración del teorema.
J(Volver al enunciado)
Cambio de
Variable en la
integral
Riemann.
Teorema de Cambio . . .
JJ
II
J
I